Номер 13.9, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.9. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов.

Для доказательства того, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого из его катетов, можно использовать два различных метода. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Сторона $AB$ (обозначим ее длину как $c$) является гипотенузой, а стороны $AC$ (длина $b$) и $BC$ (длина $a$) — катетами. Требуется доказать, что $c > a$ и $c > b$.

Способ 1: Использование свойства о соотношении сторон и углов треугольника

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В нашем прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, сумма двух других углов составляет $\angle A + \angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Поскольку углы $A$ и $B$ являются углами треугольника с положительными длинами сторон, их градусные меры также должны быть положительными. Это означает, что каждый из этих углов является острым, то есть $\angle A < 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$.

Из этого следует, что прямой угол $\angle C$ является наибольшим углом в треугольнике. Согласно теореме о соотношении между сторонами и углами треугольника, напротив большего угла лежит большая сторона.
1. Сравнивая углы $\angle C$ и $\angle A$, получаем $\angle C > \angle A$. Следовательно, сторона, лежащая напротив угла $C$ (гипотенуза $c$), больше стороны, лежащей напротив угла $A$ (катет $a$). Таким образом, $c > a$.
2. Сравнивая углы $\angle C$ и $\angle B$, получаем $\angle C > \angle B$. Следовательно, сторона, лежащая напротив угла $C$ (гипотенуza $c$), больше стороны, лежащей напротив угла $B$ (катет $b$). Таким образом, $c > b$.
Мы доказали, что гипотенуза больше каждого из катетов.

Ответ: Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого из его катетов, поскольку она лежит напротив наибольшего угла в этом треугольнике (прямого угла, равного $90^\circ$), в то время как катеты лежат напротив острых углов, которые всегда меньше $90^\circ$.

Способ 2: Использование теоремы Пифагора

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ справедливо равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.

Длины сторон любого треугольника являются положительными величинами, поэтому $a > 0$ и $b > 0$. Из этого следует, что их квадраты также строго положительны: $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$.

Рассмотрим равенство $c^2 = a^2 + b^2$.
1. Так как $b^2$ является положительным числом, то сумма $a^2 + b^2$ будет строго больше, чем $a^2$. То есть, $c^2 > a^2$. Поскольку длины сторон $c$ и $a$ положительны, извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $c > a$.
2. Аналогично, так как $a^2$ является положительным числом, то сумма $a^2 + b^2$ будет строго больше, чем $b^2$. То есть, $c^2 > b^2$. Поскольку длины сторон $c$ и $b$ положительны, извлекая квадратный корень, получаем $c > b$.
Таким образом, мы доказали, что гипотенуза $c$ больше каждого из катетов $a$ и $b$.

Ответ: По теореме Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$), квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Так как квадрат длины любого катета — это положительное число, квадрат гипотенузы всегда будет больше квадрата любого из катетов. Следовательно, и сама гипотенуза больше любого из катетов.