Номер 11.20, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.20. На рисунке 11.20 $AD = BC$ и $AC = BD$. Докажите, что углы $ADC$ и $BCD$ равны.

Рис. 11.20

Чтобы доказать, что углы $\angle ADC$ и $\angle BCD$ равны, рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$.

Сравним эти два треугольника по их сторонам:

1. Сторона $AD$ треугольника $\triangle ADC$ равна стороне $BC$ треугольника $\triangle BCD$ по условию задачи ($AD = BC$).
2. Сторона $AC$ треугольника $\triangle ADC$ равна стороне $BD$ треугольника $\triangle BCD$ также по условию ($AC = BD$).
3. Сторона $DC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ADC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle BCD$. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$ равны, то есть $\triangle ADC \cong \triangle BCD$.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. Угол $\angle ADC$ в треугольнике $\triangle ADC$ лежит напротив стороны $AC$. Угол $\angle BCD$ в треугольнике $\triangle BCD$ лежит напротив стороны $BD$. Поскольку стороны $AC$ и $BD$ равны, то и противолежащие им углы $\angle ADC$ и $\angle BCD$ также равны.

Следовательно, $\angle ADC = \angle BCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Углы $ADC$ и $BCD$ равны, поскольку они являются соответствующими углами в равных треугольниках $ADC$ и $BCD$. Равенство треугольников $\triangle ADC \cong \triangle BCD$ доказано по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как $AD = BC$ (по условию), $AC = BD$ (по условию) и сторона $DC$ является общей.