Номер 11.16, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.16. Докажите, что если в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$, медиана $CM$ равна медиане $C_1M_1$ (рис. 11.18), то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Рис. 11.18

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Согласно условию задачи, у этих треугольников равны две соответствующие стороны и медианы, проведенные из вершины между этими сторонами: $AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$ и $CM = C_1M_1$. Требуется доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Для доказательства равенства треугольников используем метод дополнительного построения. Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $CM = MD$. Соединим точку $D$ с точкой $A$. Рассмотрим четырехугольник $ACBD$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, которая является серединой каждой из них ($AM = MB$ по определению медианы, $CM = MD$ по построению). Следовательно, $ACBD$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, $AD = BC$. Аналогично, для $\triangle A_1B_1C_1$ построим параллелограмм $A_1C_1B_1D_1$, продлив медиану $C_1M_1$ до точки $D_1$. В этом параллелограмме $A_1D_1 = B_1C_1$.

Теперь сравним $\triangle ACD$ и $\triangle A_1C_1D_1$. В них:
1. $AC = A_1C_1$ (по условию).
2. $CD = 2 \cdot CM$ и $C_1D_1 = 2 \cdot C_1M_1$. Так как $CM=C_1M_1$ (по условию), то $CD=C_1D_1$.
3. $AD = BC$ и $A_1D_1 = B_1C_1$. Так как $BC=B_1C_1$ (по условию), то $AD=A_1D_1$.
Таким образом, $\triangle ACD \cong \triangle A_1C_1D_1$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников $ACD$ и $A_1C_1D_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$. Поскольку точки $M$ и $M_1$ лежат на отрезках $CD$ и $C_1D_1$ соответственно, то $\angle ACM = \angle A_1C_1M_1$.

Также из равенства $\triangle ACD \cong \triangle A_1C_1D_1$ следует, что $\angle ADC = \angle A_1D_1C_1$. В параллелограмме $ACBD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $CD$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы $\angle ADC$ и $\angle BCD$ равны. Аналогично, в параллелограмме $A_1C_1B_1D_1$ $\angle A_1D_1C_1 = \angle B_1C_1D_1$. Из этих равенств следует, что $\angle BCM = \angle B_1C_1M_1$.

Теперь найдем угол при вершине $C$ в каждом из исходных треугольников. $\angle ACB = \angle ACM + \angle BCM$. Аналогично, $\angle A_1C_1B_1 = \angle A_1C_1M_1 + \angle B_1C_1M_1$. Так как мы доказали, что $\angle ACM = \angle A_1C_1M_1$ и $\angle BCM = \angle B_1C_1M_1$, то $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$.

Рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы имеем: $AC = A_1C_1$ (по условию), $BC = B_1C_1$ (по условию) и угол $\angle ACB$ равен углу $\angle A_1C_1B_1$ (по доказанному). Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Что и требовалось доказать.