Номер 11.17, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.17. На рисунке 11.19 $AB = CD$ и $AD = BC$. Докажите, что углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны.

Рис. 11.19

Для доказательства равенства углов $ \angle BAC $ и $ \angle DCA $ рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $.

1. Сторона $ AB $ треугольника $ \triangle ABC $ равна стороне $ CD $ треугольника $ \triangle CDA $ по условию задачи ($ AB = CD $).
2. Сторона $ BC $ треугольника $ \triangle ABC $ равна стороне $ AD $ треугольника $ \triangle CDA $ по условию задачи ($ BC = AD $).
3. Сторона $ AC $ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $ \triangle ABC $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle CDA $.

Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. Угол $ \angle BAC $ в треугольнике $ \triangle ABC $ лежит напротив стороны $ BC $. Угол $ \angle DCA $ в треугольнике $ \triangle CDA $ лежит напротив стороны $ AD $. Так как стороны $ BC $ и $ AD $ равны по условию, то и противолежащие им углы $ \angle BAC $ и $ \angle DCA $ также равны.

Итак, мы доказали, что $ \angle BAC = \angle DCA $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $ \angle BAC $ и $ \angle DCA $ доказано на основе равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $ по третьему признаку (по трем сторонам).