Страница 58 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.5. Сколько всего равнобедренных треугольников изображено на каждом из рисунков 10.9? Назовите равные отрезки на каждом из этих рисунков.

Рис. 10.9

а)

Равнобедренные треугольники: $ \triangle A_1OB_1 $ (так как $ \angle A_1 = \angle B_1 $).

Равные отрезки: $ OA_1 = OB_1 $.

б)

Равнобедренные треугольники: $ \triangle EFG $ (так как $ \angle EFG = \angle EGF $), $ \triangle HFG $ (так как $ \angle HFG = \angle HGF $).

Равные отрезки: $ EF = EG $, $ HF = HG $.

в)

Равнобедренные треугольники: $ \triangle LPM $ (так как $ \angle PLM = \angle PML $), $ \triangle KPN $ (так как $ \angle PKN = \angle PNK $).

Равные отрезки: $ PL = PM $, $ PK = PN $, $ LK = MN $, $ LN = MK $.

г)

Равнобедренные треугольники: $ \triangle QER, \triangle RES, \triangle SET, \triangle TEQ $ (так как $ QE = ER = ES = ET $), $ \triangle QRS, \triangle RST, \triangle STQ, \triangle TQR $ (так как $ QR = RS = ST = TQ $).

Равные отрезки: $ QR = RS = ST = TQ $, $ QE = ER = ES = ET $, $ QS = RT $.

а) На рисунке изображены два треугольника, образованные пересечением отрезков: $\triangle OAB$ и $\triangle OA_1B_1$.

В треугольнике $\triangle OAB$ дугами отмечены равные углы при основании $AB$: $\angle OAB = \angle OBA$. По признаку равнобедренного треугольника, если углы при основании равны, то треугольник является равнобедренным. Следовательно, боковые стороны равны: $OA = OB$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle OA_1B_1$ отмечены равные углы при основании $A_1B_1$: $\angle OA_1B_1 = \angle OB_1A_1$. Следовательно, треугольник $\triangle OA_1B_1$ также является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $OA_1 = OB_1$.

Таким образом, на рисунке изображено 2 равнобедренных треугольника.

Равные отрезки: $OA = OB$ и $OA_1 = OB_1$.

Ответ: На рисунке 2 равнобедренных треугольника ($\triangle OAB$ и $\triangle OA_1B_1$). Равные отрезки: $OA = OB$, $OA_1 = OB_1$.

б) На рисунке изображены треугольники $\triangle EFG$, $\triangle FGH$ и $\triangle EFH$.

Рассмотрим треугольник $\triangle FGH$. В нем отмечены равные углы при стороне $FG$: $\angle GFH = \angle FGH$ (двойными дугами). Следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, $\triangle FGH$ является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны: $FH = GH$.

Рассмотрим большой треугольник $\triangle EFG$. Его угол при вершине $F$ состоит из двух углов: $\angle EFG = \angle EFH + \angle GFH$. Угол при вершине $G$ также состоит из двух углов: $\angle EGF = \angle EGH + \angle FGH$. На рисунке отмечено, что $\angle EFH = \angle EGH$ (одинарными дугами) и $\angle GFH = \angle FGH$ (двойными дугами). Складывая эти равенства, получаем: $\angle EFH + \angle GFH = \angle EGH + \angle FGH$, что означает $\angle EFG = \angle EGF$.Поскольку в треугольнике $\triangle EFG$ углы при основании $FG$ равны, он является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны: $EF = EG$.

Таким образом, на рисунке изображено 2 равнобедренных треугольника.

Равные отрезки: $FH = GH$ и $EF = EG$.

Ответ: На рисунке 2 равнобедренных треугольника ($\triangle FGH$ и $\triangle EFG$). Равные отрезки: $FH = GH$, $EF = EG$.

в) На рисунке изображен четырехугольник $KLMN$ с пересекающимися диагоналями в точке $P$.

На рисунке отмечены равные углы при основаниях: $\angle LKN = \angle MNK$ и $\angle KLM = \angle LMN$. Это означает, что четырехугольник $KLMN$ является равнобедренной трапецией с основаниями $LM$ и $KN$. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны ($KL=MN$) и диагонали равны ($LN=KM$).

Рассмотрим треугольник $\triangle PKN$, образованный основанием $KN$ и частями диагоналей. В равнобедренной трапеции углы, которые каждая диагональ образует с основанием, равны. То есть, $\angle NKM = \angle LNK$. Это углы при основании $KN$ в треугольнике $\triangle PKN$. Так как углы при основании равны, $\triangle PKN$ является равнобедренным. Следовательно, $PK = PN$.

Рассмотрим треугольник $\triangle PLM$. Поскольку основания трапеции параллельны ($LM \parallel KN$), накрест лежащие углы при секущих $LN$ и $KM$ равны: $\angle PLM = \angle LNK$ и $\angle PML = \angle NKM$. Так как мы уже установили, что $\angle LNK = \angle NKM$, то отсюда следует, что $\angle PLM = \angle PML$. Значит, треугольник $\triangle PLM$ является равнобедренным, и $PL = PM$.

Таким образом, на рисунке изображено 2 равнобедренных треугольника.

Равные отрезки: $KL = MN$, $LN = KM$, $PK = PN$, $PL = PM$.

Ответ: На рисунке 2 равнобедренных треугольника ($\triangle PKN$ и $\triangle PLM$). Равные отрезки: $KL = MN$, $LN = KM$, $PK = PN$, $PL = PM$.

г) На рисунке изображен четырехугольник $QRST$ с диагоналями $QS$ и $RT$, пересекающимися в точке $E$.

Судя по отметкам, все восемь углов, образованных сторонами четырехугольника и его диагоналями, равны между собой. Обозначим величину каждого из этих углов как $\alpha$.1. Рассмотрим треугольник $\triangle QER$. В нем $\angle EQR = \alpha$ и $\angle ERQ = \alpha$. Следовательно, $\triangle QER$ — равнобедренный, и $QE = RE$.2. Аналогично, $\triangle RES$ равнобедренный ($RE = ES$), $\triangle SET$ равнобедренный ($ES = ET$), и $\triangle TEQ$ равнобедренный ($ET = EQ$).3. Из этих равенств следует, что все четыре отрезка от центра до вершин равны: $QE = RE = ES = ET$. Это означает, что диагонали четырехугольника равны ($QS=RT$) и точкой пересечения делятся пополам. Четырехугольник с такими свойствами — прямоугольник.4. Кроме того, так как диагонали делят углы четырехугольника пополам (например, $\angle RQT = \angle RQE + \angle TQE = 2\alpha$), то этот четырехугольник — ромб.5. Четырехугольник, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом, — это квадрат.Таким образом, $QRST$ — квадрат. У квадрата все стороны равны: $QR = RS = ST = TQ$.

Теперь посчитаем равнобедренные треугольники:- Четыре треугольника с вершиной в центре $E$: $\triangle QER$, $\triangle RES$, $\triangle SET$, $\triangle TEQ$. Все они равнобедренные, так как их боковые стороны — это равные между собой половины диагоналей.- Четыре треугольника, сторонами которых являются стороны квадрата: $\triangle QRS$ (равнобедренный, так как $QR=RS$), $\triangle RST$ ($RS=ST$), $\triangle STQ$ ($ST=TQ$), $\triangle TQR$ ($TQ=QR$).

Всего на рисунке 8 равнобедренных треугольников.

Равные отрезки: стороны квадрата $QR = RS = ST = TQ$ и половины диагоналей $QE = ES = RE = ET$. Из равенства половин диагоналей следует и равенство самих диагоналей $QS=RT$.

Ответ: На рисунке 8 равнобедренных треугольников ($\triangle QER, \triangle RES, \triangle SET, \triangle TEQ, \triangle QRS, \triangle RST, \triangle STQ, \triangle TQR$). Равные отрезки: $QR = RS = ST = TQ$, $QE = ES = RE = ET$ (и, как следствие, $QS = RT$).

10.6. На рисунке 10.10 $AB = BC$. Докажите, что угол $1$ равен углу $2$.

Рис. 10.10

Рис. 10.11

Рассмотрим треугольник $ABC$, изображенный на рисунке 10.10. По условию задачи дано, что сторона $AB$ равна стороне $BC$, то есть $AB = BC$.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. В данном случае углами при основании $AC$ являются угол $\angle BAC$ (обозначенный на рисунке как $\angle 1$) и угол $\angle BCA$ (обозначенный на рисунке как $\angle 2$).

Таким образом, $\angle BAC = \angle BCA$, а значит, $\angle 1 = \angle 2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

10.7. На рисунке 10.11 $AB = AC$ и $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $\angle 3 = \angle 4$.

Рис. 10.11

Дано:

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = AC$. Точки $D$ и $E$ лежат на стороне $BC$. Углы обозначены цифрами: $\angle CAD = \angle 1$, $\angle BAE = \angle 2$, $\angle ADC = \angle 3$, $\angle AEB = \angle 4$. Дано, что $\angle 1 = \angle 2$.

Доказать:

$\angle 3 = \angle 4$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию $AB = AC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, $\angle ABC = \angle ACB$.

3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle ACD$. Сравним их элементы:

- $AB = AC$ (по условию задачи).

- $\angle ABE = \angle ACD$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$, что было показано в п. 2).

- $\angle BAE = \angle CAD$ (так как по условию $\angle 2 = \angle 1$).

4. Таким образом, треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle ACD$ равны по стороне и двум углам (признак AAS, Angle-Angle-Side). Запишем это как $\triangle ABE \cong \triangle ACD$.

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их соответствующие углы. Углу $\angle AEB$ в треугольнике $\triangle ABE$ соответствует угол $\angle ADC$ в треугольнике $\triangle ACD$.

6. Следовательно, $\angle AEB = \angle ADC$.

7. Согласно обозначениям на рисунке, $\angle 4$ — это угол $\angle AEB$, а $\angle 3$ — это угол $\angle ADC$. Значит, мы доказали, что $\angle 3 = \angle 4$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle 3 = \angle 4$ доказано.

10.8. На рисунке 10.12 $AB = BC$, $CD = DE$. Докажите, что угол $A$ равен углу $E$.

Рис. 10.12

Рис. 10.13

Для доказательства утверждения рассмотрим последовательно два треугольника, изображенных на рисунке.

Сначала рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. Согласно условию задачи, его стороны $ AB $ и $ BC $ равны ($ AB = BC $). Это означает, что $ \triangle ABC $ является равнобедренным треугольником с основанием $ AC $. Из рисунка также следует, что угол при вершине B — прямой, то есть $ \angle ABC = 90^\circ $. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $ \angle BAC = \angle BCA $.

Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $. Для $ \triangle ABC $ можно записать:

$ \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ $

Подставим известные значения в это уравнение:

$ 2 \cdot \angle BAC + 90^\circ = 180^\circ $

$ 2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ $

$ 2 \cdot \angle BAC = 90^\circ $

$ \angle BAC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $

Таким образом, угол A (то есть $ \angle BAC $) равен $ 45^\circ $.

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle CDE $. По условию его стороны $ CD $ и $ DE $ равны ($ CD = DE $), что делает его равнобедренным с основанием $ CE $. Из рисунка видно, что угол при вершине D — прямой, то есть $ \angle CDE = 90^\circ $. Углы при основании этого треугольника также равны: $ \angle DCE = \angle DEC $.

Сумма углов в $ \triangle CDE $ также составляет $ 180^\circ $:

$ \angle DCE + \angle DEC + \angle CDE = 180^\circ $

Подставим известные значения:

$ 2 \cdot \angle DEC + 90^\circ = 180^\circ $

$ 2 \cdot \angle DEC = 180^\circ - 90^\circ $

$ 2 \cdot \angle DEC = 90^\circ $

$ \angle DEC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $

Таким образом, угол E (то есть $ \angle DEC $) равен $ 45^\circ $.

Сравнив величины углов A и E, мы видим, что $ \angle A = 45^\circ $ и $ \angle E = 45^\circ $. Следовательно, $ \angle A = \angle E $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.