Номер 10.8, страница 58 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.8. На рисунке 10.12 $AB = BC$, $CD = DE$. Докажите, что угол $A$ равен углу $E$.

Рис. 10.12

Рис. 10.13

Для доказательства утверждения рассмотрим последовательно два треугольника, изображенных на рисунке.

Сначала рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. Согласно условию задачи, его стороны $ AB $ и $ BC $ равны ($ AB = BC $). Это означает, что $ \triangle ABC $ является равнобедренным треугольником с основанием $ AC $. Из рисунка также следует, что угол при вершине B — прямой, то есть $ \angle ABC = 90^\circ $. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $ \angle BAC = \angle BCA $.

Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $. Для $ \triangle ABC $ можно записать:

$ \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ $

Подставим известные значения в это уравнение:

$ 2 \cdot \angle BAC + 90^\circ = 180^\circ $

$ 2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ $

$ 2 \cdot \angle BAC = 90^\circ $

$ \angle BAC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $

Таким образом, угол A (то есть $ \angle BAC $) равен $ 45^\circ $.

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle CDE $. По условию его стороны $ CD $ и $ DE $ равны ($ CD = DE $), что делает его равнобедренным с основанием $ CE $. Из рисунка видно, что угол при вершине D — прямой, то есть $ \angle CDE = 90^\circ $. Углы при основании этого треугольника также равны: $ \angle DCE = \angle DEC $.

Сумма углов в $ \triangle CDE $ также составляет $ 180^\circ $:

$ \angle DCE + \angle DEC + \angle CDE = 180^\circ $

Подставим известные значения:

$ 2 \cdot \angle DEC + 90^\circ = 180^\circ $

$ 2 \cdot \angle DEC = 180^\circ - 90^\circ $

$ 2 \cdot \angle DEC = 90^\circ $

$ \angle DEC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $

Таким образом, угол E (то есть $ \angle DEC $) равен $ 45^\circ $.

Сравнив величины углов A и E, мы видим, что $ \angle A = 45^\circ $ и $ \angle E = 45^\circ $. Следовательно, $ \angle A = \angle E $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.