Номер 10.2, страница 56 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.2. Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок $AB$, а вершина $C$ находится в одном из узлов сетки (рис. 10.6).

а)

б)

Рис. 10.6

а) Чтобы треугольник $ABC$ был равнобедренным с основанием $AB$, необходимо, чтобы его боковые стороны $AC$ и $BC$ были равны: $AC = BC$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Следовательно, вершина $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Кроме того, по условию, точка $C$ должна быть узлом сетки.

В данном случае отрезок $AB$ горизонтален и его длина составляет 4 единицы (длины стороны клетки сетки). Середина отрезка $AB$ находится на расстоянии 2 единиц от точек $A$ и $B$. Серединный перпендикуляр будет вертикальной линией, проходящей через середину отрезка $AB$.

Выберем в качестве вершины $C$ любой узел сетки, лежащий на этой вертикальной линии (кроме точки на самом отрезке $AB$). Например, можно выбрать узел, который находится на 2 клетки выше середины отрезка $AB$. Построим треугольник $ABC$ с этой вершиной.

Проверим равенство сторон $AC$ и $BC$ с помощью теоремы Пифагора. Пусть сторона клетки равна 1. Каждая из боковых сторон ($AC$ и $BC$) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2.

Длина боковой стороны: $AC = BC = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$.

Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ:

б) Аналогично пункту а), вершина $C$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AB$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

В этом случае отрезок $AB$ вертикален, и его длина составляет 2 единицы. Середина отрезка $AB$ делит его пополам. Серединный перпендикуляр — это горизонтальная линия, проходящая через середину отрезка $AB$.

Выберем в качестве вершины $C$ любой узел сетки, лежащий на этой горизонтальной линии (кроме точки на самом отрезке $AB$). Например, можно выбрать узел, который находится на 2 клетки правее середины отрезка $AB$. Построим треугольник $ABC$.

Проверим равенство сторон $AC$ и $BC$ по теореме Пифагора. Пусть сторона клетки равна 1. Каждая из боковых сторон ($AC$ и $BC$) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1.

Длина боковой стороны: $AC = BC = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ: