Номер 10.3, страница 57 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.3. Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок $AB$, а вершина $C$ находится в одном из узлов сетки (рис. 10.7).

а)

б)

Рис. 10.7

Для того чтобы треугольник $ABC$ был равнобедренным с основанием $AB$, необходимо, чтобы длины боковых сторон $AC$ и $BC$ были равны. Геометрически это означает, что вершина $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Задача состоит в том, чтобы найти такую точку $C$ в узле сетки, которая удовлетворяет этому условию.

а) Введем систему координат, приняв левый верхний узел сетки за начало (0, 0). Тогда точка $A$ имеет координаты (0, 1), а точка $B$ — (2, 3).
1. Найдем координаты середины $M$ отрезка $AB$:
$M = (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{0+2}{2}, \frac{1+3}{2}) = (1, 2)$.
2. Найдем угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой $AB$:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - 1}{2 - 0} = \frac{2}{2} = 1$.
3. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра $k_{\perp}$ связан с $k_{AB}$ соотношением $k_{\perp} = -1/k_{AB}$.
$k_{\perp} = -1/1 = -1$.
4. Уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку $M(1, 2)$ с угловым коэффициентом -1, имеет вид $y - y_M = k_{\perp}(x - x_M)$, то есть $y - 2 = -1(x - 1)$, что упрощается до $y = -x + 3$.
5. Теперь найдем целочисленные решения этого уравнения (узлы сетки), которые лежат на данной прямой. Подставляя целые значения $x$, находим соответствующие значения $y$:
При $x=0$, $y=3$. Точка (0, 3).
При $x=2$, $y=1$. Точка (2, 1).
При $x=3$, $y=0$. Точка (3, 0).
Любая из этих точек может быть выбрана в качестве вершины $C$. Выберем, например, точку $C(2, 1)$. Построим треугольник $ABC$.

Ответ:

б) Аналогично введем систему координат с началом в левом верхнем узле. Координаты точек: $A(0, 1)$ и $B(3, 2)$.
1. Найдем координаты середины $M$ отрезка $AB$:
$M = (\frac{0+3}{2}, \frac{1+2}{2}) = (1.5, 1.5)$.
2. Найдем угловой коэффициент прямой $AB$:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 1}{3 - 0} = \frac{1}{3}$.
3. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра:
$k_{\perp} = -1/k_{AB} = -1/(1/3) = -3$.
4. Уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку $M(1.5, 1.5)$ с угловым коэффициентом -3: $y - 1.5 = -3(x - 1.5)$, что упрощается до $y = -3x + 6$.
5. Найдем узлы сетки, лежащие на этой прямой:
При $x=1$, $y=-3(1)+6 = 3$. Точка (1, 3).
При $x=2$, $y=-3(2)+6 = 0$. Точка (2, 0).
Обе эти точки находятся в узлах сетки. Выберем, например, точку $C(2, 0)$ и построим треугольник $ABC$.

Ответ: