gdz.top
Номер 10.10, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2017 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-0873-0
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 7 классе
Глава 2. Треугольники. Параграф 10. Равнобедренные треугольники - номер 10.10, страница 59.
№10.9
№10.10 (с. 59)
Условие. №10.10 (с. 59)
10.10. На продолжении сторон правильного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ (рис. 10.14). Докажите, что треугольник $A_1B_1C_1$ правильный.
Рис. 10.14
Решение. №10.10 (с. 59)
Решение 2. №10.10 (с. 59)
Доказательство.
По условию, треугольник $ABC$ — правильный. Это означает, что все его стороны и углы равны:
$AB = BC = CA$
$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$
На продолжениях сторон отложены равные отрезки $AA_1 = BB_1 = CC_1$.
Рассмотрим три треугольника: $\triangle A_1BB_1$, $\triangle B_1CC_1$ и $\triangle C_1AA_1$. Докажем, что они равны.
Найдем стороны и углы этих треугольников.
1. Углы $\angle C_1CA$, $\angle A_1AB$ и $\angle B_1BC$ являются смежными с углами правильного треугольника $ABC$. Следовательно, каждый из них равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
$\angle C_1CA = \angle A_1AB = \angle B_1BC = 120^\circ$.
2. Рассмотрим треугольники $\triangle C_1CA$, $\triangle A_1AB$ и $\triangle B_1BC$.
- Сторона $CA = AB = BC$ (так как $\triangle ABC$ правильный).
- Сторона $CC_1 = AA_1 = BB_1$ (по условию).
- Угол между этими сторонами $\angle C_1CA = \angle A_1AB = \angle B_1BC = 120^\circ$.
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов:
$C_1A = A_1B = B_1C$
$\angle AC_1C = \angle BA_1A = \angle CB_1B$ и $\angle C_1AC = \angle A_1BA = \angle B_1CB$.
3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle C_1A_1A$, $\triangle A_1B_1B$ и $\triangle B_1C_1C$. Сравним их по первому признаку равенства (СУС).
- $C_1A = A_1B = B_1C$ (доказано в п. 2).
- $AA_1 = BB_1 = CC_1$ (по условию).
- Найдем углы между этими сторонами: $\angle C_1AA_1$, $\angle A_1BB_1$, $\angle B_1CC_1$.
Аналогично, $\angle A_1BB_1 = 180^\circ - \angle A_1BA$ и $\angle B_1CC_1 = 180^\circ - \angle B_1CB$.
Так как из п. 2 мы знаем, что $\angle C_1AC = \angle A_1BA = \angle B_1CB$, то и смежные с ними углы равны:
$\angle C_1AA_1 = \angle A_1BB_1 = \angle B_1CC_1$.
Таким образом, в треугольниках $\triangle C_1A_1A$, $\triangle A_1B_1B$ и $\triangle B_1C_1C$ две стороны и угол между ними соответственно равны. Следовательно, $\triangle C_1A_1A \cong \triangle A_1B_1B \cong \triangle B_1C_1C$.
4. Из равенства этих треугольников следует равенство их третьих сторон:
$C_1A_1 = A_1B_1 = B_1C_1$.
Поскольку все стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны, он является правильным.
Ответ: Треугольник $A_1B_1C_1$ является правильным, что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7 класс, для упражнения номер 10.10 расположенного на странице 59 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №10.10 (с. 59), авторов: Смирнов (Владимир Алексеевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.