Страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.5. На рисунке 9.6 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$. Докажите, что $AB = AD$.

Рис. 9.6

Дано:

Четырехугольник $ABCD$, в котором проведена диагональ $AC$.

$\angle 1 = \angle 2$ (что соответствует $\angle BAC = \angle DAC$).

$\angle 3 = \angle 4$ (что соответствует $\angle BCA = \angle DCA$).

Доказать:

$AB = AD$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, образованные диагональю $AC$.

Сравним эти два треугольника:

1. Угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DAC$ ($\angle 1 = \angle 2$ по условию).

2. Угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DCA$ ($\angle 3 = \angle 4$ по условию).

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle ADC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников ($\triangle ABC \cong \triangle ADC$) следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle BCA$ (угла 3), а сторона $AD$ в треугольнике $\triangle ADC$ лежит напротив угла $\angle DCA$ (угла 4). Так как $\angle 3 = \angle 4$, то и противолежащие им стороны в равных треугольниках равны. Также, сторона $AB$ соответствует стороне $AD$, так как они прилегают к равным углам $\angle BAC$ и $\angle DAC$ и противолежат равным углам $\angle BCA$ и $\angle DCA$.

Следовательно, $AB = AD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство сторон $AB = AD$ доказано.

9.6. На рисунке 9.7 угол $\angle DBC$ равен углу $\angle DAC$, $BO = AO$. Докажите, что угол $\angle C$ равен углу $\angle D$ и $AC = BD$.

Рис. 9.7

Рис. 9.8

Для доказательства обоих утверждений выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим треугольник $ \triangle AOB $. По условию задачи, отрезки $ BO $ и $ AO $ равны ($ BO = AO $). Это означает, что $ \triangle AOB $ является равнобедренным.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $ \angle OAB = \angle OBA $. Поскольку точка $ O $ является точкой пересечения отрезков $ AC $ и $ BD $, эти углы можно также записать как $ \angle CAB = \angle DBA $.

3. По условию также дано, что $ \angle DBC = \angle DAC $. Сложим это равенство с равенством, полученным в предыдущем пункте: $ \angle DBC + \angle DBA = \angle DAC + \angle CAB $. Суммы этих углов образуют углы $ \angle CBA $ и $ \angle DAB $ соответственно. Таким образом, мы доказали, что $ \angle CBA = \angle DAB $.

4. Теперь сравним треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle BAC $. У них общая сторона $ AB $. Прилежащие к ней углы в $ \triangle ABD $ это $ \angle DAB $ и $ \angle DBA $. В $ \triangle BAC $ это $ \angle CBA $ и $ \angle CAB $. Мы доказали, что $ \angle DAB = \angle CBA $ и $ \angle DBA = \angle CAB $. Следовательно, $ \triangle ABD \cong \triangle BAC $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

5. Из равенства треугольников $ \triangle ABD \cong \triangle BAC $ следует равенство их соответствующих элементов. Соответствующими углами являются $ \angle ADB $ и $ \angle BCA $, значит $ \angle D = \angle C $. Соответствующими сторонами являются $ BD $ и $ AC $, значит $ BD = AC $.

Таким образом, мы доказали, что угол $ C $ равен углу $ D $ и $ AC = BD $.

Ответ: Утверждения, что $ \angle C = \angle D $ и $ AC = BD $, доказаны.

9.7. На рисунке 9.8 изображена фигура, у которой $AD = CF$, угол $\angle BAC$ равен углу $\angle EDF$, угол $\angle 1$ равен углу $\angle 2$. Докажите, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ равны.

Рис. 9.8

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $DEF$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для этого нам нужно доказать равенство одной стороны и двух прилежащих к ней углов у данных треугольников.

Сначала докажем, что сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна стороне $DF$ треугольника $DEF$. Сторона $AC$ состоит из отрезков $AD$ и $DC$, то есть $AC = AD + DC$. Сторона $DF$ состоит из отрезков $DC$ и $CF$, то есть $DF = DC + CF$. По условию задачи, $AD = CF$. Подставим это равенство в выражение для стороны $AC$: $AC = CF + DC$. Сравнивая полученное выражение с выражением для $DF$, видим, что $AC = DF$.

Теперь рассмотрим углы треугольников. По условию, $\angle BAC = \angle EDF$. Это первая пара равных прилежащих углов.

Далее, рассмотрим углы $\angle BCA$ и $\angle DFE$. Угол 1 и угол $BCA$ являются смежными, так как они образуют развернутый угол на прямой $AF$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно, $\angle BCA = 180^\circ - \angle 1$. Аналогично, угол 2 и угол $DFE$ являются смежными, поэтому $\angle DFE = 180^\circ - \angle 2$. По условию задачи, $\angle 1 = \angle 2$. Отсюда следует, что $180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - \angle 2$, а значит $\angle BCA = \angle DFE$. Это вторая пара равных прилежащих углов.

Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $DEF$ имеются равные элементы: сторона $AC$ равна стороне $DF$, прилежащий к ней угол $\angle BAC$ равен углу $\angle EDF$, и другой прилежащий угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DFE$. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $DEF$ равны, что и требовалось доказать.

9.8. На рисунке 9.9 отрезки AB и CD пересекаются в точке O, $OB = OC$ и $\angle B = \angle C$. Докажите равенство треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle DOB$.

Рис. 9.9

Рис. 9.10

Рассмотрим треугольники $AOC$ и $DOB$. Чтобы доказать их равенство, сравним их соответствующие элементы согласно условию задачи и свойствам геометрических фигур.

1. По условию задачи, сторона $OB$ равна стороне $OC$. Запишем это равенство: $OB = OC$.
2. По условию задачи, угол $B$ равен углу $C$. В треугольнике $DOB$ угол $B$ — это угол $\angle DBO$, а в треугольнике $AOC$ угол $C$ — это угол $\angle ACO$. Следовательно, $\angle DBO = \angle ACO$.
3. Углы $\angle DOB$ и $\angle AOC$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков $AB$ и $CD$ в точке $O$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle DOB = \angle AOC$.

Таким образом, мы установили, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle DOB$: сторона $OB$ и углы $\angle DBO$, $\angle DOB$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle AOC$: сторона $OC$ и углы $\angle ACO$, $\angle AOC$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольники $AOC$ и $DOB$ равны.

Ответ: Равенство треугольников $AOC$ и $DOB$ доказано. Что и требовалось доказать.

9.9. На рисунке 9.10 отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AO = OC$ и $\angle A = \angle C$. Докажите равенство треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

Рис. 9.10

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $ рассмотрим их элементы.
По условию задачи нам дано, что отрезки $ AC $ и $ BD $ пересекаются в точке $ O $, причем $ AO = OC $ и $ \angle A = \angle C $. Условие $ \angle A = \angle C $ означает, что $ \angle BAO = \angle DCO $.

Сравним треугольники $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $:
1. $ AO = OC $ — по условию задачи.
2. $ \angle BAO = \angle DCO $ — по условию задачи.
3. $ \angle AOB = \angle COD $ — как вертикальные углы, которые образуются при пересечении двух прямых ($ AC $ и $ BD $). Вертикальные углы всегда равны.

Таким образом, мы имеем равенство одной стороны и двух прилежащих к ней углов в треугольниках $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $.
Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \triangle AOB = \triangle COD $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ AOB $ и $ COD $ доказано, так как они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам ($ AO = OC $, $ \angle BAO = \angle DCO $, $ \angle AOB = \angle COD $).

9.10. На рисунке 9.11 лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$, $\angle 1$ равен $\angle 2$, $OC = OD$. Докажите, что $\angle A$ равен $\angle B$.

Рис. 9.11

Для доказательства равенства углов $ \angle A $ и $ \angle B $ рассмотрим треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $.

В этих треугольниках:

1. $ \angle AOC = \angle BOD $ как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AD$ и $BC$ в точке $O$.

2. $ OC = OD $ по условию задачи.

3. $ \angle 1 = \angle 2 $ по условию, что согласно рисунку означает $ \angle ACO = \angle BDO $.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника (сторона $OC$ и углы $ \angle AOC $ и $ \angle ACO $ в $ \triangle AOC $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника (сторона $OD$ и углы $ \angle BOD $ и $ \angle BDO $ в $ \triangle BOD $).

Следовательно, $ \triangle AOC = \triangle BOD $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Угол $ \angle A $ (он же $ \angle OAC $) в треугольнике $ \triangle AOC $ является соответствующим углу $ \angle B $ (он же $ \angle OBD $) в треугольнике $ \triangle BOD $.

Значит, $ \angle A = \angle B $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $ \angle A $ и $ \angle B $ доказано на основе равенства треугольников $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $ по второму признаку.