Номер 9.6, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.6. На рисунке 9.7 угол $\angle DBC$ равен углу $\angle DAC$, $BO = AO$. Докажите, что угол $\angle C$ равен углу $\angle D$ и $AC = BD$.

Рис. 9.7

Рис. 9.8

Для доказательства обоих утверждений выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим треугольник $ \triangle AOB $. По условию задачи, отрезки $ BO $ и $ AO $ равны ($ BO = AO $). Это означает, что $ \triangle AOB $ является равнобедренным.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $ \angle OAB = \angle OBA $. Поскольку точка $ O $ является точкой пересечения отрезков $ AC $ и $ BD $, эти углы можно также записать как $ \angle CAB = \angle DBA $.

3. По условию также дано, что $ \angle DBC = \angle DAC $. Сложим это равенство с равенством, полученным в предыдущем пункте: $ \angle DBC + \angle DBA = \angle DAC + \angle CAB $. Суммы этих углов образуют углы $ \angle CBA $ и $ \angle DAB $ соответственно. Таким образом, мы доказали, что $ \angle CBA = \angle DAB $.

4. Теперь сравним треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle BAC $. У них общая сторона $ AB $. Прилежащие к ней углы в $ \triangle ABD $ это $ \angle DAB $ и $ \angle DBA $. В $ \triangle BAC $ это $ \angle CBA $ и $ \angle CAB $. Мы доказали, что $ \angle DAB = \angle CBA $ и $ \angle DBA = \angle CAB $. Следовательно, $ \triangle ABD \cong \triangle BAC $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

5. Из равенства треугольников $ \triangle ABD \cong \triangle BAC $ следует равенство их соответствующих элементов. Соответствующими углами являются $ \angle ADB $ и $ \angle BCA $, значит $ \angle D = \angle C $. Соответствующими сторонами являются $ BD $ и $ AC $, значит $ BD = AC $.

Таким образом, мы доказали, что угол $ C $ равен углу $ D $ и $ AC = BD $.

Ответ: Утверждения, что $ \angle C = \angle D $ и $ AC = BD $, доказаны.