Номер 9.4, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.4. На рисунке 9.5 $BC = CD$, $\angle B = \angle D$. Докажите, что $AC = CE$.

Рис. 9.5

Рис. 9.6

Для доказательства равенства $ AC = CE $ рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle EDC $.

1. По условию задачи дано, что $ BC = CD $.

2. Также по условию угол $ B $ равен углу $ D $. Из рисунка видно, что это прямые углы, то есть $ \angle ABC = \angle EDC = 90^\circ $.

3. Углы $ \angle ACB $ и $ \angle ECD $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $ AE $ и $ BD $. По свойству вертикальных углов, они равны: $ \angle ACB = \angle ECD $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle EDC $ сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны: $ BC = CD $, $ \angle ABC = \angle EDC $ (прилежит к стороне BC) и $ \angle ACB = \angle ECD $ (прилежит к стороне BC). Аналогично для $ \triangle EDC $.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \triangle ABC = \triangle EDC $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $ AC $ лежит напротив угла $ \angle B $, а сторона $ CE $ лежит напротив угла $ \angle D $. Поскольку $ \angle B = \angle D $, то и противолежащие им стороны равны.

Значит, $ AC = CE $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ AC = CE $ доказано на основании равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle EDC $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).