Вопросы, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Этот признак также известен как признак «угол-сторона-угол» (УСУ), так как равная сторона находится между двумя равными углами.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Согласно второму признаку, если сторона $AC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $A_1C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, и углы, прилежащие к этой стороне (то есть углы, концами которых являются концы этой стороны), также соответственно равны, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$, то треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны.
Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$AC = A_1C_1$
$\angle A = \angle A_1$
$\angle C = \angle C_1$
Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство (методом наложения):
1. Наложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ на треугольник $\triangle ABC$ так, чтобы сторона $A_1C_1$ совпала с равной ей стороной $AC$. При этом вершина $A_1$ совместится с вершиной $A$, а вершина $C_1$ — с вершиной $C$, так как $AC = A_1C_1$.
2. Поскольку $\angle A = \angle A_1$, то луч $A_1B_1$ пойдет по направлению луча $AB$.
3. Аналогично, так как $\angle C = \angle C_1$, то луч $C_1B_1$ пойдет по направлению луча $CB$.
4. Вершина $B_1$ является точкой пересечения лучей $A_1B_1$ и $C_1B_1$. Вершина $B$ является точкой пересечения лучей $AB$ и $CB$. Так как лучи совпали, то их точки пересечения также должны совпасть. Следовательно, вершина $B_1$ совместится с вершиной $B$.
5. Таким образом, все три вершины треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ совместятся с соответствующими вершинами треугольника $\triangle ABC$ ($A_1$ с $A$, $C_1$ с $C$, $B_1$ с $B$). Это означает, что треугольники полностью совпали, а значит, они равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.