Номер 8.16, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.16. На рисунке 8.12 точки $A, B, C$ принадлежат одной прямой. Точки $D_1$ и $D_2$ лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники $ABD_1$ и $ABD_2$ равны, то треугольники $BCD_1$ и $BCD_2$ тоже равны.

Рис. 8.12

Рис. 8.13

Дано:
Точки $A, B, C$ лежат на одной прямой.
Точки $D_1$ и $D_2$ лежат по разные стороны от прямой $AC$.
$\triangle ABD_1 = \triangle ABD_2$.

Доказать:
$\triangle BCD_1 = \triangle BCD_2$.

Доказательство.

По условию, $\triangle ABD_1 = \triangle ABD_2$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов. Следовательно, сторона $BD_1$ равна стороне $BD_2$, и угол $\angle ABD_1$ равен углу $\angle ABD_2$.

Точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, значит угол, образованный лучами $BA$ и $BC$, является развернутым, то есть равен $180^\circ$. Углы $\angle ABD_1$ и $\angle CBD_1$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Отсюда, $\angle CBD_1 = 180^\circ - \angle ABD_1$. Аналогично, углы $\angle ABD_2$ и $\angle CBD_2$ являются смежными, и $\angle CBD_2 = 180^\circ - \angle ABD_2$. Так как из условия мы знаем, что $\angle ABD_1 = \angle ABD_2$, то и $180^\circ - \angle ABD_1 = 180^\circ - \angle ABD_2$, а значит $\angle CBD_1 = \angle CBD_2$.

Рассмотрим треугольники $BCD_1$ и $BCD_2$. Сравним их, используя первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
1. $BD_1 = BD_2$ (как соответственные стороны равных треугольников $ABD_1$ и $ABD_2$).
2. $\angle CBD_1 = \angle CBD_2$ (как смежные с равными углами, что было доказано выше).
3. $BC$ — общая сторона для обоих треугольников.
Таким образом, все условия первого признака равенства треугольников выполняются, следовательно, $\triangle BCD_1 = \triangle BCD_2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $BCD_1$ и $BCD_2$ доказано.