Номер 10.24, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.24. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена медиана $BD$. Найдите ее длину, если периметр треугольника $ABC$ равен 50 м, а периметр треугольника $ABD$ равен 40 м.

Для решения задачи воспользуемся определениями периметра треугольника, равнобедренного треугольника и медианы.

1. Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, что означает равенство его боковых сторон: $AB = BC$. Таким образом, периметр можно выразить как $P_{ABC} = 2 \cdot AB + AC$. Согласно условию, $P_{ABC} = 50$ м, следовательно:

$2 \cdot AB + AC = 50$

2. $BD$ — медиана, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$. По определению, медиана делит противоположную сторону пополам. Следовательно, точка $D$ является серединой отрезка $AC$, и $AD = DC$. Это позволяет выразить длину основания $AC$ через длину отрезка $AD$: $AC = AD + DC = 2 \cdot AD$.

3. Подставим выражение $AC = 2 \cdot AD$ в формулу периметра треугольника $ABC$ из пункта 1:

$2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 50$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2 \cdot (AB + AD) = 50$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму длин сторон $AB$ и $AD$:

$AB + AD = 25$ м.

4. Периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = AB + AD + BD$. По условию задачи, $P_{ABD} = 40$ м.

$AB + AD + BD = 40$

5. В предыдущем шаге мы нашли, что сумма $AB + AD$ равна 25 м. Подставим это значение в формулу для периметра треугольника $ABD$:

$25 + BD = 40$

Чтобы найти длину медианы $BD$, вычтем 25 из 40:

$BD = 40 - 25$

$BD = 15$ м.

Ответ: 15 м.