Номер 11.3, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.3. На рисунке 11.5 $AB = DC$ и $BC = AD$, угол $BAC$ равен $31^\circ$, угол $BCA$ равен $29^\circ$. Найдите угол $ACD$.

Рис. 11.5

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, изображенный на рисунке.

По условию задачи дано, что противолежащие стороны четырехугольника попарно равны: $AB = DC$ и $BC = AD$.

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Для нахождения угла $ACD$ можно использовать два способа.

Способ 1: Использование свойств параллельных прямых

Одно из основных свойств параллелограмма заключается в том, что его противолежащие стороны параллельны. В нашем случае сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ ($AB \parallel DC$).

Диагональ $AC$ является секущей, пересекающей эти параллельные прямые.

Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ — это внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$. По свойству параллельных прямых, такие углы равны.

$\angle ACD = \angle BAC$

Из условия задачи известно, что $\angle BAC = 31^\circ$.

Следовательно, $\angle ACD = 31^\circ$.

Способ 2: Через равенство треугольников

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Сравним их элементы:

1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ ($AB = CD$ по условию).

2. Сторона $BC$ равна стороне $DA$ ($BC = DA$ по условию).

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. В треугольнике $\triangle CDA$ угол $\angle ACD$ лежит против стороны $AD$. В равном ему треугольнике $\triangle ABC$ против равной стороны $BC$ ($BC=AD$) лежит угол $\angle BAC$.

Следовательно, $\angle ACD = \angle BAC$.

Поскольку по условию $\angle BAC = 31^\circ$, то и $\angle ACD = 31^\circ$.

Стоит отметить, что данная в условии величина угла $\angle BCA = 29^\circ$ является дополнительной информацией, которая не требуется для нахождения угла $\angle ACD$, но может быть использована для вычисления других элементов параллелограмма (например, $\angle DAC = \angle BCA = 29^\circ$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$).

Ответ: $31^\circ$.