Номер 14.4, страница 81 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 14. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Взаимное расположение прямых - номер 14.4, страница 81.

Условие.

14.4. Может ли биссектриса треугольника быть больше высоты, проведенной из той же вершины треугольника?

Решение.

Решение 2.

Да, биссектриса треугольника может быть больше высоты, проведенной из той же вершины. Более того, за исключением одного частного случая, биссектриса всегда больше высоты.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$ и биссектрису $BL$.

По определению, высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$ (или ее продолжению). Таким образом, угол $\angle BHC$ является прямым, и треугольник $BHL$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $BHL$ сторона $BL$ является гипотенузой (так как лежит напротив прямого угла $\angle BHL$), а высота $BH$ — одним из катетов. В любом невырожденном прямоугольном треугольнике длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов. Следовательно, $BL > BH$.

Равенство $BL = BH$ возможно только в том случае, если треугольник $BHL$ является вырожденным, то есть когда длина второго катета $HL$ равна нулю. Это означает, что точки $H$ и $L$ совпадают. Такое происходит, когда биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, являются одним и тем же отрезком. Это свойство выполняется для биссектрисы угла при вершине в равнобедренном треугольнике, проведенной к основанию (в нашем случае, если $AB = BC$).

Таким образом, во всех треугольниках, кроме равнобедренных (где биссектриса и высота проведены из вершины, противолежащей основанию), биссектриса будет строго больше высоты, проведенной из той же вершины.

Ответ: Да, может.