Номер 14.11, страница 82 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.11. Докажите, что если две наклонные, проведенные из данной точки к данной прямой, имеют равные проекции, то они равны (рис. 14.6).

Рис. 14.6

Рис. 14.7

Пусть из точки $A$, не принадлежащей прямой $l$, проведены перпендикуляр $AB$ и две наклонные $AC$ и $AD$ к этой прямой. Отрезки $BC$ и $BD$ являются ортогональными проекциями наклонных $AC$ и $AD$ на прямую $l$ соответственно.

Дано:
$AC$ и $AD$ — наклонные, проведенные из точки $A$ к прямой $CD$.
$AB \perp CD$ (то есть $AB$ — перпендикуляр).
$BC$ — проекция наклонной $AC$.
$BD$ — проекция наклонной $AD$.
По условию, проекции равны: $BC = BD$.

Доказать:
Наклонные равны: $AC = AD$.

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$.
Поскольку отрезок $AB$ является перпендикуляром к прямой $CD$, углы $\angle ABC$ и $\angle ABD$ — прямые. Следовательно, $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ являются прямоугольными треугольниками.
Сравним эти два треугольника:
1. Катет $BC$ равен катету $BD$ по условию задачи ($BC = BD$).
2. Катет $AB$ является общей стороной для обоих треугольников.
Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ равны по двум катетам. (Это частный случай первого признака равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними, так как угол между катетами прямой и равен $90^\circ$).
Из равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle ABD$) следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, гипотенуза $AC$ треугольника $\triangle ABC$ равна гипотенузе $AD$ треугольника $\triangle ABD$.
Следовательно, $AC = AD$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если две наклонные, проведенные из одной точки к прямой, имеют равные проекции, то и сами наклонные равны.