Номер 14.9, страница 81 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 14. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Взаимное расположение прямых - номер 14.9, страница 81.

Условие.

14.9. Из точки A к прямой $b$ проведены перпендикуляр $AB$ и наклонные $AB_1$, $AB_2$. Какая из двух наклонных меньше, если:

а) $B_1$ лежит между $B$ и $B_2$;

б) $B$ лежит между $B_1$, $B_2$ и $BB_1 < BB_2$?

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных перпендикуляром, наклонными и их проекциями: $\triangle ABB_1$ и $\triangle ABB_2$. В этих треугольниках катет $AB$ является общим. Наклонные $AB_1$ и $AB_2$ являются гипотенузами. Длины проекций наклонных $AB_1$ и $AB_2$ на прямую $b$ — это отрезки $BB_1$ и $BB_2$ соответственно.

По теореме Пифагора для этих треугольников можно записать:

$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$

$AB_2^2 = AB^2 + BB_2^2$

Из этих равенств видно, что длина наклонной зависит от длины ее проекции. Поскольку длина перпендикуляра $AB$ постоянна, чем больше длина проекции, тем больше длина наклонной. Следовательно, чтобы сравнить длины наклонных $AB_1$ и $AB_2$, достаточно сравнить длины их проекций $BB_1$ и $BB_2$. Наклонная с меньшей проекцией будет короче.

а) B₁ лежит между B и B₂

В этом случае точки на прямой $b$ расположены в следующем порядке: $B$, $B_1$, $B_2$.

Из такого расположения точек следует, что отрезок $BB_1$ является частью отрезка $BB_2$. Это означает, что длина проекции $BB_1$ меньше длины проекции $BB_2$.

$BB_1 < BB_2$

Поскольку проекция $BB_1$ меньше проекции $BB_2$, то и соответствующая наклонная $AB_1$ будет меньше наклонной $AB_2$.

$BB_1 < BB_2 \implies BB_1^2 < BB_2^2 \implies AB^2 + BB_1^2 < AB^2 + BB_2^2 \implies AB_1^2 < AB_2^2 \implies AB_1 < AB_2$

Ответ: наклонная $AB_1$ меньше.

б) B лежит между B₁ и B₂ и BB₁ < BB₂

В этом случае точка $B$ (основание перпендикуляра) находится между точками $B_1$ и $B_2$ (основаниями наклонных).

Условие $BB_1 < BB_2$ напрямую сравнивает длины проекций. Нам не нужно выводить это соотношение из расположения точек, оно дано.

Так как длина проекции $BB_1$ меньше длины проекции $BB_2$, то, по ранее установленному свойству, наклонная $AB_1$ короче наклонной $AB_2$.

$BB_1 < BB_2 \implies AB_1 < AB_2$

Ответ: наклонная $AB_1$ меньше.