Номер 16.22, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.22. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, параллельна ему (рис. 16.8).

Рис. 16.8

Рис. 16.9

Дано:

Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB$ — основание ($AC = BC$).
$CD$ — биссектриса внешнего угла при вершине $C$.

Доказать:

$CD \parallel AB$.

Доказательство:

1. Продлим сторону $BC$ за вершину $C$ и обозначим на продолжении точку $K$. Угол $\angle ACK$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$.

2. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ACK = \angle CAB + \angle CBA$.

3. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, углы при основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$.

4. Подставим это равенство в формулу для внешнего угла: $\angle ACK = \angle CAB + \angle CAB = 2 \cdot \angle CAB$.

5. По условию, луч $CD$ является биссектрисой внешнего угла $\angle ACK$. Следовательно, он делит этот угол на два равных угла: $\angle ACD = \frac{1}{2} \angle ACK$.

6. Заменим $\angle ACK$ на выражение, полученное в шаге 4: $\angle ACD = \frac{1}{2} (2 \cdot \angle CAB) = \angle CAB$.

7. Теперь рассмотрим прямые $CD$ и $AB$ и секущую $AC$. Углы $\angle ACD$ и $\angle CAB$ являются внутренними накрест лежащими углами.

8. Так как мы доказали, что $\angle ACD = \angle CAB$, то по признаку параллельности двух прямых (если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны) следует, что $CD \parallel AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что биссектриса внешнего угла при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, параллельна ему.