Номер 16.24, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.24. В треугольнике $ABC$ $\angle A$ равен $60^\circ$, $\angle B$ равен $70^\circ$, $CH$— высота (рис. 16.10). Найдите разность углов $\angle ACH$ и $\angle BCH$.

Рис. 16.10

Рис. 16.11

Решение:
По условию задачи в треугольнике $ABC$ известны два угла: $\angle A = 60^\circ$ и $\angle B = 70^\circ$. $CH$ — это высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$.

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle C$. Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ$.
Поскольку все три угла треугольника $ABC$ являются острыми (меньше $90^\circ$), то треугольник $ABC$ — остроугольный. В остроугольном треугольнике все высоты лежат внутри него, поэтому основание высоты $H$ находится на отрезке $AB$.

Высота $CH$ перпендикулярна стороне $AB$, что означает $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$. Таким образом, высота делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно:
$\angle ACH + \angle A = 90^\circ$
Отсюда можем найти $\angle ACH$:
$\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCH$. Аналогично, сумма его острых углов равна $90^\circ$:
$\angle BCH + \angle B = 90^\circ$
Отсюда находим $\angle BCH$:
$\angle BCH = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$.

Последний шаг — найти разность углов $\angle ACH$ и $\angle BCH$.
$|\angle ACH - \angle BCH| = |30^\circ - 20^\circ| = 10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$.