Номер 16.34, страница 92 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.34. Острый угол $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $30^\circ$. Гипотенуза $AB = 12$ см. Найдите проекцию катета $BC$ на гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол при вершине $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$). Согласно условию задачи, острый угол $\angle A = 30^\circ$, а длина гипотенузы $AB = 12$ см.

Проекцией катета $BC$ на гипотенузу $AB$ является отрезок $HB$, где $H$ — это основание высоты, опущенной из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.

Для нахождения длины проекции $HB$ выполним следующие шаги:

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ лежит напротив угла $\angle A = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:

$BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

2. Найдем второй острый угол треугольника $ABC$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, следовательно:

$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$, так как $CH$ — высота). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $BC = 6$ см и прилежащий к искомому катету $HB$ угол $\angle B = 60^\circ$.

4. По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике, отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу этого угла:

$\cos(\angle B) = \frac{HB}{BC}$

Отсюда выражаем длину $HB$:

$HB = BC \cdot \cos(\angle B) = 6 \cdot \cos(60^\circ)$.

Так как значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$HB = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Таким образом, длина проекции катета $BC$ на гипотенузу равна 3 см.

Ответ: 3 см.