Номер 15.14, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 15. Параллельность прямых. Глава 3. Взаимное расположение прямых - номер 15.14, страница 86.

Условие.

15.14. Концы отрезка $AB$ лежат на параллельных прямых $a$ и $b$. Прямая, проходящая через середину $O$ этого отрезка, пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $C$ и $D$. Докажите, что $CO = OD$.

Решение.

Решение 2.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Концы отрезка $AB$ лежат на этих прямых, то есть точка $A$ находится на прямой $a$, а точка $B$ — на прямой $b$. Точка $O$ является серединой отрезка $AB$. Через точку $O$ проведена прямая, которая пересекает прямую $a$ в точке $C$ и прямую $b$ в точке $D$. Необходимо доказать, что $CO = OD$.

Для доказательства равенства отрезков $CO$ и $OD$ рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

1. Сторона $AO$ равна стороне $BO$ ($AO = OB$), так как по условию точка $O$ является серединой отрезка $AB$.

2. Угол $\angle AOC$ равен углу $\angle BOD$ ($\angle AOC = \angle BOD$), так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$.

3. Угол $\angle CAO$ равен углу $\angle DBO$ ($\angle CAO = \angle DBO$), так как они являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $AB$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $CO$ в $\triangle AOC$ соответствует стороне $OD$ в $\triangle BOD$. Значит, $CO = OD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $CO = OD$ доказано. Для этого мы рассмотрели треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ и установили их равенство по второму признаку (по стороне $AO=BO$ и двум прилежащим углам $\angle AOC = \angle BOD$ и $\angle CAO = \angle DBO$).