Номер 15.17, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.17. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Дано:
Прямые $a, b, c$.
$a \parallel c$ (прямая $a$ параллельна прямой $c$)
$b \parallel c$ (прямая $b$ параллельна прямой $c$)
Доказать:
$a \parallel b$

Доказательство:

Для доказательства этого утверждения можно использовать два основных подхода.

Способ 1. Доказательство от противного.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Если две прямые на плоскости не параллельны, они должны пересекаться. Обозначим точку их пересечения буквой $M$.

Таким образом, получается, что через точку $M$ проходят две различные прямые ($a$ и $b$), каждая из которых, по условию задачи, параллельна третьей прямой $c$.

Это противоречит аксиоме параллельных прямых (также известной как пятый постулат Евклида), которая гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Поскольку наше предположение привело к противоречию с аксиомой, оно является неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, а это означает, что они параллельны: $a \parallel b$.

Способ 2. Доказательство с использованием секущей.

Проведём секущую $d$, которая пересекает прямые $a$, $b$ и $c$. При пересечении образуются различные углы. Рассмотрим соответственные углы $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$, как показано на рисунке.

1. Так как по условию $a \parallel c$, то по свойству параллельных прямых соответственные углы, образованные секущей $d$, равны: $\angle 1 = \angle 3$.

2. Так как по условию $b \parallel c$, то по тому же свойству соответственные углы также равны: $\angle 2 = \angle 3$.

3. Из равенств $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 3$ следует, что $\angle 1 = \angle 2$.

4. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются соответственными при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $d$. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

5. Таким образом, $a \parallel b$.

Ответ: Утверждение доказано. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Что и требовалось доказать.