Номер 15.16, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.16. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано:

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, то есть $a \parallel b$.
Пусть некоторая прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$.

Доказать:

Прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим обратное: прямая $c$ не пересекает прямую $b$. По определению, две прямые на плоскости, которые не пересекаются, являются параллельными. Следовательно, из нашего предположения вытекает, что прямая $c$ параллельна прямой $b$, то есть $c \parallel b$.

Теперь рассмотрим, что у нас получилось:

1. По условию задачи, прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

2. Согласно нашему предположению, прямая $c$ также параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$).

Мы знаем, что прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$. Это означает, что точка $A$ принадлежит и прямой $a$, и прямой $c$. Поскольку $a \parallel b$, точка $A$ не может лежать на прямой $b$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что через точку $A$, не лежащую на прямой $b$, проходят две различные прямые ($a$ и $c$), каждая из которых параллельна прямой $b$.

Это утверждение напрямую противоречит аксиоме о параллельных прямых (также известной как пятый постулат Евклида), которая гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Поскольку мы пришли к противоречию, наше исходное предположение о том, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$, является ложным. Следовательно, верным является обратное утверждение.

Значит, прямая $c$ обязана пересекать прямую $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.