Номер 15.19, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.19. На рисунке 15.11 стороны a и b одного угла соответственно параллельны сторонам c и d другого угла. Докажите, что эти углы в сумме составляют $180^\circ$.

Рис. 15.11

Для доказательства данного утверждения введем обозначения для углов и выполним дополнительное построение на рисунке. Обозначим угол со сторонами $a$ и $b$ как $∠1$, а угол со сторонами $c$ и $d$ как $∠2$.

Дано:

Угол $∠1$ со сторонами $a$ и $b$.

Угол $∠2$ со сторонами $c$ и $d$.

По условию, стороны соответственно параллельны: $a \parallel c$ и $b \parallel d$.

Доказать:

$∠1 + ∠2 = 180°$.

Доказательство:

1. Продолжим сторону $c$ так, чтобы она пересекла сторону $b$. Точку их пересечения обозначим буквой $K$.

2. При пересечении продолжения стороны $c$ со стороной $b$ образуется угол, который мы обозначим как $∠3$.

3. Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $c$ и секущую $b$. Углы $∠1$ и $∠3$ являются внутренними односторонними углами. Согласно свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180°$. Следовательно, $∠1 + ∠3 = 180°$.

4. Теперь рассмотрим параллельные прямые $b$ и $d$ и секущую, содержащую сторону $c$. Углы $∠2$ и $∠3$ являются накрест лежащими углами. Согласно свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны. Следовательно, $∠2 = ∠3$.

5. Подставим в выражение из пункта 3 вместо $∠3$ равный ему $∠2$ из пункта 4. Получим: $∠1 + ∠2 = 180°$.

Таким образом, мы доказали, что сумма данных углов составляет $180°$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма данных углов равна $180°$.