Номер 15.18, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.18. На рисунке 15.10 стороны $a$ и $b$ одного угла соответственно параллельны сторонам $c$ и $d$ другого угла. Докажите, что эти углы равны.

Рис. 15.10

Пусть дан угол, образованный лучами $a$ и $b$, который обозначим как $\angle(a,b)$, и второй угол, образованный лучами $c$ и $d$, который обозначим как $\angle(c,d)$.

По условию задачи, стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла. Это означает, что $a \parallel c$ и $b \parallel d$.

Доказательство:

Для доказательства равенства углов $\angle(a,b)$ и $\angle(c,d)$ используем метод введения вспомогательного угла. Продолжим одну из сторон, например сторону $b$, до пересечения со стороной $c$. Точку их пересечения обозначим $K$. При пересечении этих прямых образуется угол, который мы обозначим $\angle 3$.

1. Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $c$ и секущую, содержащую луч $b$. Угол $\angle(a,b)$ и угол $\angle 3$ являются соответственными углами. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны.
Следовательно, $\angle(a,b) = \angle 3$.

2. Теперь рассмотрим параллельные прямые $b$ и $d$ и секущую, содержащую луч $c$. Угол $\angle(c,d)$ и угол $\angle 3$ также являются соответственными углами.
Следовательно, $\angle(c,d) = \angle 3$.

3. Из полученных равенств $\angle(a,b) = \angle 3$ и $\angle(c,d) = \angle 3$ следует, что $\angle(a,b) = \angle(c,d)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов доказано на основе теоремы о соответственных углах при параллельных прямых и секущей. Построив вспомогательный угол путем продления одной из сторон, мы показываем, что оба исходных угла равны этому вспомогательному углу, а следовательно, равны между собой.