Номер 15.15, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.15. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Для доказательства данного утверждения введем обозначения и выполним построение, как показано на рисунке ниже.

Дано:
Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Прямая $c$ — секущая, пересекающая прямую $a$ в точке $A$ и прямую $b$ в точке $B$.
$\angle 1$ и $\angle 2$ — внутренние накрест лежащие углы.
Прямая $m$ — биссектриса угла $\angle 1$.
Прямая $n$ — биссектриса угла $\angle 2$.

Доказать:
Прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$).

Доказательство:
1. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$, равны. Таким образом, $\angle 1 = \angle 2$.

2. Прямая $m$ является биссектрисой угла $\angle 1$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Обозначим угол, образованный биссектрисой $m$ и секущей $c$, как $\alpha$. Этот угол является внутренним накрест лежащим по отношению к прямой $n$ и секущей $c$. Величина этого угла равна половине величины угла $\angle 1$: $\alpha = \frac{1}{2}\angle 1$.

3. Аналогично, прямая $n$ является биссектрисой угла $\angle 2$. Обозначим угол, образованный биссектрисой $n$ и секущей $c$, как $\beta$. Этот угол также является внутренним накрест лежащим по отношению к прямой $m$ и секущей $c$. Его величина равна половине величины угла $\angle 2$: $\beta = \frac{1}{2}\angle 2$.

4. Сравним величины углов $\alpha$ и $\beta$. Так как из пункта 1 мы знаем, что $\angle 1 = \angle 2$, то равны и их половины: $$ \frac{1}{2}\angle 1 = \frac{1}{2}\angle 2 $$ Следовательно, $\alpha = \beta$.

5. Мы рассматриваем прямые $m$ и $n$ и секущую $c$. Внутренние накрест лежащие углы $\alpha$ и $\beta$ при этих прямых и секущей равны. Согласно признаку параллельности двух прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Таким образом, $m \parallel n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны.