Номер 15.10, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.10. Найдите неизвестный угол, если $AD \parallel BC$ (рис. 15.9).

а)

Четырехугольник ABCD. $\angle A = 62^{\circ}$. Неизвестный угол $\angle C$.

б)

Фигура FBCDA. $AD \parallel BC$. $\triangle FBC$ является равнобедренным с $FB = FC$. $\angle D = 70^{\circ}$. Неизвестный угол $\angle F$.

в)

Линии $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. $DO = OB$. $CO = OA$. $\angle D = 65^{\circ}$. Неизвестный угол $\angle C$.

Рис. 15.9

а)

На рисунке изображена трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $AD \parallel BC$. Угол при вершине $A$ равен $62^\circ$. Требуется найти угол при вершине $C$.

Хотя в условии это не указано, обычно в таких задачах предполагается, что трапеция равнобедренная, если на вид она таковой является и нет противоречащих данных. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Следовательно, $\angle D = \angle A = 62^\circ$.

Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а $CD$ — секущая. Сумма односторонних внутренних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. Значит, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Подставим известное значение угла $D$:$\angle C + 62^\circ = 180^\circ$$\angle C = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.

В качестве проверки можно использовать другое свойство равнобедренной трапеции: углы при верхнем основании также равны, $\angle B = \angle C$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне $AB$, равна $180^\circ$.$\angle A + \angle B = 180^\circ$.$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.Следовательно, $\angle C = \angle B = 118^\circ$. Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $118^\circ$.

б)

На рисунке показан треугольник $FAD$ и отрезок $BC$, параллельный основанию $AD$ ($BC \parallel AD$). Угол $\angle FDA$ (или $\angle D$) равен $70^\circ$. На сторонах $FB$ и $FC$ есть пометки, указывающие на их равенство: $FB=FC$. Требуется найти угол $\angle FBC$ (отмечен знаком вопроса).

Поскольку $BC \parallel AD$, а $FD$ является секущей, то соответственные углы равны: $\angle FCB = \angle FDA = 70^\circ$.

Рассмотрим треугольник $FBC$. По условию, он равнобедренный, так как $FB = FC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В $\triangle FBC$ углами при основании $BC$ являются $\angle FBC$ и $\angle FCB$.

Следовательно, $\angle FBC = \angle FCB$.

Так как мы уже нашли, что $\angle FCB = 70^\circ$, то и $\angle FBC = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

в)

На рисунке отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, $AD \parallel BC$. Угол $\angle OAD$ равен $65^\circ$. Требуется найти угол $\angle OCB$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AC$. Углы $\angle OAD$ (то же, что и $\angle DAC$) и $\angle OCB$ (то же, что и $\angle BCA$) являются накрест лежащими углами.

При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Следовательно, $\angle OCB = \angle OAD$.

Поскольку $\angle OAD = 65^\circ$, то $\angle OCB = 65^\circ$.

Дополнительная информация на рисунке (равенство отрезков $AO=OD$ и $BO=OC$) подтверждает этот вывод. Из $AD \parallel BC$ и секущей $BD$ следует, что $\angle OBC = \angle ODA$ (накрест лежащие). Из $AO=OD$ следует, что $\triangle AOD$ равнобедренный, и $\angle ODA = \angle OAD = 65^\circ$. Значит, $\angle OBC = 65^\circ$. Из $BO=OC$ следует, что $\triangle BOC$ равнобедренный, и $\angle OCB = \angle OBC$. Таким образом, $\angle OCB = 65^\circ$.

Ответ: $65^\circ$.