Номер 15.11, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.11. Найдите углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

а) один из углов равен $150^\circ$;

б) один из углов на $70^\circ$ больше другого.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется 8 углов. Эти углы можно сгруппировать в два множества: все углы в одном множестве равны между собой. Любой угол из одного множества и любой угол из другого в сумме дают $180^\circ$ (они являются смежными или односторонними). Таким образом, при пересечении образуются углы только двух величин, которые дополняют друг друга до $180^\circ$.

На рисунке показаны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c. Углы одной величины отмечены красным цветом (острые), а углы другой величины — синим (тупые). Сумма "красного" и "синего" углов равна $180^\circ$.

а) Пусть один из углов равен $150^\circ$. Так как этот угол больше $90^\circ$, он является тупым. Это значит, что все четыре тупых угла (на рисунке — синие) равны $150^\circ$.
Острые углы (на рисунке — красные) являются смежными для тупых, поэтому их величина вычисляется как разность между $180^\circ$ и величиной тупого угла:
$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$
Следовательно, все четыре острых угла равны $30^\circ$.
Таким образом, образуются четыре угла по $30^\circ$ и четыре угла по $150^\circ$.
Ответ: четыре угла по $30^\circ$ и четыре угла по $150^\circ$.

б) По условию, один из углов на $70^\circ$ больше другого. Поскольку углы не равны, они должны быть разных типов (один острый, другой тупой). Их сумма равна $180^\circ$.
Пусть меньший угол (острый) равен $x$.
Тогда больший угол (тупой) равен $x + 70^\circ$.
Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна $180^\circ$:
$x + (x + 70^\circ) = 180^\circ$
$2x + 70^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 70^\circ$
$2x = 110^\circ$
$x = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$
Таким образом, меньший угол равен $55^\circ$.
Больший угол равен:
$55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$
В результате образуются четыре острых угла по $55^\circ$ и четыре тупых угла по $125^\circ$.
Ответ: четыре угла по $55^\circ$ и четыре угла по $125^\circ$.