Вопросы, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Чему равна сумма углов треугольника?

2. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

3. Чему равен внешний угол треугольника?

1. Чему равна сумма углов треугольника?

Сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии является постоянной величиной. Эта фундаментальная теорема гласит, что сумма всех трех углов треугольника всегда равна 180 градусам.

Если обозначить углы треугольника греческими буквами $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $, то их взаимосвязь можно выразить следующей формулой:

$$ \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} $$

Этот факт можно наглядно продемонстрировать. Если провести через одну из вершин треугольника прямую, параллельную противолежащей стороне, то образуются новые углы. Углы, накрест лежащие при параллельных прямых и секущих (боковых сторонах треугольника), будут равны двум другим углам треугольника. Вместе все три угла (один исходный и два новообразованных) образуют развернутый угол, который равен $ 180^{\circ} $, что и доказывает теорему.

Ответ: Сумма углов треугольника равна $ 180^{\circ} $.

2. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен $ 90^{\circ} $. Два других угла в таком треугольнике всегда острые (то есть, каждый из них меньше $ 90^{\circ} $).

Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, мы знаем, что общая сумма всех углов равна $ 180^{\circ} $. Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны $ \alpha $ и $ \beta $. Тогда мы можем записать:

$$ \alpha + \beta + 90^{\circ} = 180^{\circ} $$

Чтобы найти сумму острых углов $ \alpha + \beta $, вычтем $ 90^{\circ} $ из обеих частей уравнения:

$$ \alpha + \beta = 180^{\circ} - 90^{\circ} $$

$$ \alpha + \beta = 90^{\circ} $$

Таким образом, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника всегда равна $ 90^{\circ} $.

Ответ: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $ 90^{\circ} $.

3. Чему равен внешний угол треугольника?

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Он образуется при продолжении одной из сторон треугольника за пределы вершины.

Теорема о внешнем угле треугольника гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Рассмотрим треугольник с внутренними углами $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. Пусть $ \delta $ – внешний угол, смежный с углом $ \gamma $.

По определению смежных углов, их сумма равна $ 180^{\circ} $:

$$ \gamma + \delta = 180^{\circ} $$

Мы также знаем, что сумма внутренних углов треугольника равна $ 180^{\circ} $:

$$ \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} $$

Сравнивая правые части обоих уравнений, мы можем приравнять их левые части:

$$ \alpha + \beta + \gamma = \gamma + \delta $$

Вычитая $ \gamma $ из обеих частей, получаем:

$$ \delta = \alpha + \beta $$

Следовательно, внешний угол треугольника ($ \delta $) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним ($ \alpha $ и $ \beta $).

Ответ: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.