Задания, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Как вы думаете, равна ли эта сумма $180^\circ$?

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Как вы думаете, равна ли эта сумма 180°?

Да, если предположить, что вопрос относится к сумме внутренних углов треугольника, то эта сумма действительно всегда равна $180°$. Это одно из фундаментальных положений евклидовой геометрии.

Ответ: Да, сумма равна $180°$.

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Данное утверждение, известное как теорема о сумме углов треугольника, можно рассматривать как следствие аксиомы о параллельных прямых. Приведем его строгое доказательство.

Теорема: Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180°$.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ как $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$ соответственно. Требуется доказать, что $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180°$.

1. Построим через вершину $B$ прямую $l$, которая параллельна стороне $AC$.

2. Углы $\angle 4$, $\angle 2$ и $\angle 5$ образуют развернутый угол при вершине $B$. Величина развернутого угла равна $180°$. Следовательно, $\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180°$.

3. Прямые $l$ и $AC$ параллельны по построению ($l \parallel AC$). Прямая $AB$ является для них секущей. Углы $\angle 1$ и $\angle 4$ – это внутренние накрест лежащие углы, поэтому они равны: $\angle 1 = \angle 4$.

4. Точно так же, прямая $BC$ является секущей для параллельных прямых $l$ и $AC$. Углы $\angle 3$ и $\angle 5$ также являются внутренними накрест лежащими, а значит, они тоже равны: $\angle 3 = \angle 5$.

5. Теперь мы можем в равенстве $\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180°$ заменить угол $\angle 4$ на равный ему $\angle 1$, а угол $\angle 5$ – на равный ему $\angle 3$. В результате получим: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180°$.

Таким образом, мы доказали, что сумма внутренних углов треугольника $ABC$ равна $180°$.

Ответ: Обоснование основано на доказательстве теоремы о сумме углов треугольника. Через одну из вершин треугольника проводится прямая, параллельная противолежащей стороне. Углы, образующие развернутый угол ($180°$) при этой вершине, складываются. Два из этих углов оказываются равными двум другим углам треугольника (как накрест лежащие углы при параллельных прямых), что и позволяет доказать искомое утверждение путем простой подстановки.