Практические задания, страница 186 - гдз по физике 8 класс учебник Кронгарт, Насохова

Попробуйте самостоятельно доказать, что расстояние от светящейся точки $\text{S}$ до зеркала $\text{Z}$ равно расстоянию от зеркала $\text{Z}$ до изображения светящейся точки $S_1$, т. е. докажите, что $d = f$ (37.2)

Это формула плоского зеркала. Для вывода формулы плоского зеркала воспользуйтесь законами отражения света и знаниями по геометрии. Плоское зеркало дает мнимое изображение предмета.

Для доказательства того, что расстояние от светящейся точки $S$ до зеркала $Z$ равно расстоянию от зеркала $Z$ до изображения светящейся точки $S_1$, то есть $d = f$, воспользуемся законами отражения света и методами геометрии.

Дано:

Светящаяся точка $S$ (объект).

Плоское зеркало $Z$.

$S_1$ – мнимое изображение точки $S$ в зеркале $Z$.

$d$ – расстояние от точки $S$ до зеркала $Z$.

$f$ – расстояние от изображения $S_1$ до зеркала $Z$.

Закон отражения света: угол падения равен углу отражения.

Найти:

Доказать, что $d = f$.

Решение:

1. Выполним геометрическое построение. Пусть $Z$ – это прямая, изображающая плоскость зеркала. Опустим из точки $S$ перпендикуляр на зеркало $Z$ и назовем точку их пересечения $O$. По определению, длина этого перпендикуляра и есть расстояние от объекта до зеркала: $d = SO$.

2. Изображение $S_1$ является мнимым и образуется на пересечении продолжений отраженных лучей за зеркалом. Луч, идущий из $S$ перпендикулярно зеркалу (вдоль $SO$), отражается от точки $O$ и идет обратно вдоль $OS$. Его продолжение за зеркалом лежит на той же прямой. Следовательно, изображение $S_1$ лежит на прямой, проходящей через точки $S$ и $O$. Расстояние от изображения до зеркала равно $f = S_1O$.

3. Рассмотрим другой луч, исходящий из точки $S$ и падающий на зеркало в произвольной точке $P$ (отличной от $O$). Луч $SP$ является падающим. После отражения от зеркала образуется отраженный луч $PR$. Так как изображение мнимое, точка $S_1$ лежит на продолжении луча $PR$ за зеркалом, то есть точки $S_1$, $P$ и $R$ лежат на одной прямой.

4. В точке падения луча $P$ построим нормаль (перпендикуляр) $PN$ к поверхности зеркала. Так как зеркало плоское, а $SO$ также перпендикулярно зеркалу, то прямые $PN$ и $SO$ параллельны ($PN \parallel SO$).

5. Согласно закону отражения, угол падения $\alpha$ равен углу отражения $\beta$.

• Угол падения $\alpha$ — это угол между падающим лучом $SP$ и нормалью $PN$, то есть $\alpha = \angle SPN$.

• Угол отражения $\beta$ — это угол между отраженным лучом $PR$ и нормалью $PN$, то есть $\beta = \angle NPR$.

• Таким образом, $\alpha = \beta$.

6. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOP$ и $\triangle S_1OP$ (они прямоугольные, так как $SS_1 \perp Z$).

• Так как прямые $SO$ и $PN$ параллельны, а прямая $SP$ является для них секущей, то накрест лежащие углы $\angle OSP$ и $\angle SPN$ равны. Следовательно, $\angle OSP = \alpha$.

• Прямая $S_1O$ также параллельна нормали $PN$. Прямая $S_1P$ является для них секущей. Проведем продолжение нормали $PN$ за зеркало в виде луча $PN'$. Угол $\angle S_1PN'$ является вертикальным углу отражения $\angle NPR$, следовательно, $\angle S_1PN' = \beta$. Углы $\angle OS_1P$ и $\angle S_1PN'$ являются соответственными при параллельных прямых $S_1O$ и $PN'$ и секущей $S_1P$. Значит, $\angle OS_1P = \angle S_1PN' = \beta$.

• Поскольку по закону отражения $\alpha = \beta$, то мы приходим к выводу, что $\angle OSP = \angle OS_1P$.

7. Теперь сравним треугольники $\triangle SOP$ и $\triangle S_1OP$:

• $\angle SOP = \angle S_1OP = 90^\circ$ (по построению).

• $\angle OSP = \angle OS_1P$ (как доказано выше).

• Сторона $OP$ у них общая.

Треугольники $\triangle SOP$ и $\triangle S_1OP$ равны по стороне и двум прилежащим углам (признак ASA, или по катету и прилежащему острому углу). Равенство третьих углов $\angle SPO = \angle S_1PO$ следует из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

8. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $SO$ треугольника $\triangle SOP$ соответствует катету $S_1O$ треугольника $\triangle S_1OP$.

Следовательно, $SO = S_1O$.

А так как $d = SO$ и $f = S_1O$, то $d = f$, что и требовалось доказать.

Ответ:

На основе законов отражения света и геометрических построений было доказано, что треугольники, образованные объектом, точкой на зеркале и основанием перпендикуляра ($\triangle SOP$), и изображением, той же точкой на зеркале и основанием перпендикуляра ($\triangle S_1OP$), равны. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон $SO$ и $S_1O$. Таким образом, доказано, что расстояние от светящейся точки до зеркала $d$ равно расстоянию от изображения до зеркала $f$: $d = f$.