Страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

20.8. Найдите значение выражения:

1) $2\cos 0^\circ + 3\operatorname{tg}45^\circ - \sin120^\circ;$

2) $\sin 270^\circ + 3\operatorname{tg}180^\circ;$

3) $\cos90^\circ - 3\sin360^\circ + 2\operatorname{tg}180^\circ.$

1) Рассмотрим выражение $2\cos{0^\circ} + 3\text{tg}45^\circ - \sin{120^\circ}$.

Для его решения найдем значения каждой тригонометрической функции по отдельности:

• Значение $\cos{0^\circ}$: это табличное значение, $\cos{0^\circ} = 1$.

• Значение $\text{tg}45^\circ$: это также табличное значение, $\text{tg}45^\circ = 1$.

• Значение $\sin{120^\circ}$: угол $120^\circ$ находится во второй координатной четверти. Для нахождения синуса используем формулу приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 60^\circ$. Синус во второй четверти положителен, поэтому $\sin{120^\circ} = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:

$2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Выполняем вычисления:

$2 + 3 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $5 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Рассмотрим выражение $\sin{270^\circ} + 3\text{tg}180^\circ$.

Найдем значения тригонометрических функций для граничных углов:

• Значение $\sin{270^\circ}$: угол $270^\circ$ соответствует точке $(0, -1)$ на единичной окружности. Синус угла — это ордината (y-координата) этой точки, следовательно, $\sin{270^\circ} = -1$.

• Значение $\text{tg}180^\circ$: угол $180^\circ$ соответствует точке $(-1, 0)$ на единичной окружности. Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе: $\text{tg}180^\circ = \frac{\sin{180^\circ}}{\cos{180^\circ}} = \frac{0}{-1} = 0$.

Подставим значения в выражение:

$-1 + 3 \cdot 0$

Выполняем вычисления:

$-1 + 0 = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Рассмотрим выражение $\cos{90^\circ} - 3\sin{360^\circ} + 2\text{tg}180^\circ$.

Найдем значения каждой тригонометрической функции:

• Значение $\cos{90^\circ}$: угол $90^\circ$ соответствует точке $(0, 1)$ на единичной окружности. Косинус угла — это абсцисса (x-координата) этой точки, поэтому $\cos{90^\circ} = 0$.

• Значение $\sin{360^\circ}$: угол $360^\circ$ является полным оборотом и соответствует той же точке, что и угол $0^\circ$, то есть $(1, 0)$. Синус этого угла равен $0$.

• Значение $\text{tg}180^\circ$: как мы уже определили в предыдущем пункте, $\text{tg}180^\circ = 0$.

Подставим все значения в исходное выражение:

$0 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0$

Выполняем вычисления:

$0 - 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

20.9. Укажите несколько значений угла $\beta$, при которых не имеет смысла выражение:

1) $\text{tg}\beta$;

2) $\text{ctg}\beta$;

3) $\text{ctg}2\beta$;

4) $\text{tg}2\beta$.

1) tgβ;
Выражение $ \text{tg}\beta $ (тангенс бета) не имеет смысла, когда его знаменатель в определении $ \text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $ равен нулю.
Условие, при котором выражение не определено: $ \cos\beta = 0 $.
Это уравнение справедливо для углов $ \beta = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $). В градусах это $ \beta = 90^\circ + 180^\circ n $.
Укажем несколько таких значений, выбирая разные целые $ n $:
- при $ n = 0 $, $ \beta = 90^\circ $ (или $ \frac{\pi}{2} $ рад);
- при $ n = 1 $, $ \beta = 90^\circ + 180^\circ = 270^\circ $ (или $ \frac{3\pi}{2} $ рад);
- при $ n = -1 $, $ \beta = 90^\circ - 180^\circ = -90^\circ $ (или $ -\frac{\pi}{2} $ рад).
Ответ: например, $ 90^\circ, 270^\circ, -90^\circ $.

2) ctgβ;
Выражение $ \text{ctg}\beta $ (котангенс бета) не имеет смысла, когда его знаменатель в определении $ \text{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} $ равен нулю.
Условие, при котором выражение не определено: $ \sin\beta = 0 $.
Это уравнение справедливо для углов $ \beta = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. В градусах это $ \beta = 180^\circ n $.
Укажем несколько таких значений, выбирая разные целые $ n $:
- при $ n = 0 $, $ \beta = 0^\circ $ (или $ 0 $ рад);
- при $ n = 1 $, $ \beta = 180^\circ $ (или $ \pi $ рад);
- при $ n = 2 $, $ \beta = 360^\circ $ (или $ 2\pi $ рад).
Ответ: например, $ 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ $.

3) ctg2β;
Выражение $ \text{ctg}(2\beta) $ (котангенс два бета) не имеет смысла, когда синус его аргумента, то есть $ 2\beta $, равен нулю. Определение: $ \text{ctg}(2\beta) = \frac{\cos(2\beta)}{\sin(2\beta)} $.
Выражение не определено, если $ \sin(2\beta) = 0 $.
Это уравнение справедливо, когда $ 2\beta = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Разделив обе части на 2, получим $ \beta = \frac{\pi n}{2} $. В градусах это $ \beta = 90^\circ n $.
Укажем несколько таких значений, выбирая разные целые $ n $:
- при $ n = 0 $, $ \beta = 0^\circ $;
- при $ n = 1 $, $ \beta = 90^\circ $;
- при $ n = 2 $, $ \beta = 180^\circ $.
Ответ: например, $ 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ $.

4) tg2β.
Выражение $ \text{tg}(2\beta) $ (тангенс два бета) не имеет смысла, когда косинус его аргумента, то есть $ 2\beta $, равен нулю. Определение: $ \text{tg}(2\beta) = \frac{\sin(2\beta)}{\cos(2\beta)} $.
Выражение не определено, если $ \cos(2\beta) = 0 $.
Это уравнение справедливо, когда $ 2\beta = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Разделив обе части на 2, получим $ \beta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $. В градусах это $ \beta = 45^\circ + 90^\circ n $.
Укажем несколько таких значений, выбирая разные целые $ n $:
- при $ n = 0 $, $ \beta = 45^\circ $;
- при $ n = 1 $, $ \beta = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ $;
- при $ n = 2 $, $ \beta = 45^\circ + 180^\circ = 225^\circ $.
Ответ: например, $ 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ $.

20.10. Существует ли угол $\alpha$, при котором выполняется равенство:

1) $\sin \alpha = 1,22;$

2) $\sin \alpha = -3,2;$

3) $\cos \alpha = 2,25;$

4) $\cos \alpha = -1,2?$

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство ограниченности тригонометрических функций синуса и косинуса. Область значений для синуса и косинуса любого угла $ \alpha $ — это промежуток [-1, 1]. Это означает, что для любого угла $ \alpha $ должны выполняться следующие неравенства:

$ -1 \le \sin\alpha \le 1 $

$ -1 \le \cos\alpha \le 1 $

Если значение синуса или косинуса выходит за пределы этого промежутка, то такого угла не существует.

1) sinα = 1,22;

Проверим, удовлетворяет ли значение 1,22 условию $ -1 \le \sin\alpha \le 1 $.

Поскольку $ 1,22 > 1 $, это значение выходит за пределы области допустимых значений для синуса. Следовательно, не существует угла $ \alpha $, при котором $ \sin\alpha = 1,22 $.

Ответ: нет.

2) sinα = -3,2;

Проверим, удовлетворяет ли значение -3,2 условию $ -1 \le \sin\alpha \le 1 $.

Поскольку $ -3,2 < -1 $, это значение выходит за пределы области допустимых значений для синуса. Следовательно, не существует угла $ \alpha $, при котором $ \sin\alpha = -3,2 $.

Ответ: нет.

3) cosα = 2,25;

Проверим, удовлетворяет ли значение 2,25 условию $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $.

Поскольку $ 2,25 > 1 $, это значение выходит за пределы области допустимых значений для косинуса. Следовательно, не существует угла $ \alpha $, при котором $ \cos\alpha = 2,25 $.

Ответ: нет.

4) cosα = -1,2;

Проверим, удовлетворяет ли значение -1,2 условию $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $.

Поскольку $ -1,2 < -1 $, это значение выходит за пределы области допустимых значений для косинуса. Следовательно, не существует угла $ \alpha $, при котором $ \cos\alpha = -1,2 $.

Ответ: нет.

20.11. Существует ли угол $\alpha$, при котором выполняется равенство:

1) $\sin\alpha = 1 - \sqrt{3};$

2) $\sin\alpha = \sqrt{5} - 1;$

3) $\cos\alpha = \sqrt{3} - 1;$

4) $\cos\alpha = \sqrt{7} - 1?$

Для того чтобы угол $\alpha$ существовал, значение его синуса или косинуса должно находиться в пределах от -1 до 1 включительно. Таким образом, для каждого случая необходимо проверить, принадлежит ли данное значение отрезку $[-1; 1]$.

1) $\sin\alpha = 1 - \sqrt{3}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le 1 - \sqrt{3} \le 1$.
Известно, что $1 < 3 < 4$, следовательно, $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, то есть $1 < \sqrt{3} < 2$.
Вычтем $\sqrt{3}$ из 1: $1 - 2 < 1 - \sqrt{3} < 1 - 1$, что дает $-1 < 1 - \sqrt{3} < 0$.
Поскольку значение $1 - \sqrt{3}$ находится в интервале $(-1, 0)$, оно принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, такой угол $\alpha$ существует.
Ответ: да.

2) $\sin\alpha = \sqrt{5} - 1$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \sqrt{5} - 1 \le 1$.
Известно, что $4 < 5 < 9$, следовательно, $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то есть $2 < \sqrt{5} < 3$.
Вычтем 1: $2 - 1 < \sqrt{5} - 1 < 3 - 1$, что дает $1 < \sqrt{5} - 1 < 2$.
Поскольку значение $\sqrt{5} - 1$ больше 1, оно не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, такой угол $\alpha$ не существует.
Ответ: нет.

3) $\cos\alpha = \sqrt{3} - 1$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \sqrt{3} - 1 \le 1$.
Как и в первом пункте, $1 < \sqrt{3} < 2$.
Вычтем 1: $1 - 1 < \sqrt{3} - 1 < 2 - 1$, что дает $0 < \sqrt{3} - 1 < 1$.
Поскольку значение $\sqrt{3} - 1$ находится в интервале $(0, 1)$, оно принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, такой угол $\alpha$ существует.
Ответ: да.

4) $\cos\alpha = \sqrt{7} - 1$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \sqrt{7} - 1 \le 1$.
Известно, что $4 < 7 < 9$, следовательно, $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, то есть $2 < \sqrt{7} < 3$.
Вычтем 1: $2 - 1 < \sqrt{7} - 1 < 3 - 1$, что дает $1 < \sqrt{7} - 1 < 2$.
Поскольку значение $\sqrt{7} - 1$ больше 1, оно не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, такой угол $\alpha$ не существует.
Ответ: нет.

20.12. Найдите значение выражения:

1) $\sin \frac{\pi}{6} \cdot \left(\text{tg} \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $\text{tg} \frac{\pi}{6} \cdot \left(\sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{6}\right)$;

3) $\cos \frac{\pi}{4} \left(\text{ctg} \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3}\right)$.

1) Для решения данного выражения необходимо найти значения тригонометрических функций для табличных углов.
$ \sin\frac{\pi}{6} $ (синус 30°) равен $ \frac{1}{2} $.
$ \tg\frac{\pi}{4} $ (тангенс 45°) равен $ 1 $.
$ \cos\frac{\pi}{3} $ (косинус 60°) равен $ \frac{1}{2} $.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$ \sin\frac{\pi}{6} \cdot \left(\tg\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) $
Сначала выполним действие в скобках:
$ 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $
Затем выполним умножение:
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} $
Ответ: $ \frac{3}{4} $

2) Найдем значения тригонометрических функций для углов в выражении.
$ \tg\frac{\pi}{6} $ (тангенс 30°) равен $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.
$ \sin\frac{\pi}{3} $ (синус 60°) равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \cos\frac{\pi}{6} $ (косинус 30°) равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставим найденные значения в выражение:
$ \tg\frac{\pi}{6} \cdot \left(\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $
Выполним сложение в скобках:
$ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $
Теперь выполним умножение:
$ \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{3} = 1 $
Ответ: $ 1 $

3) Определим значения тригонометрических функций для заданных углов.
$ \cos\frac{\pi}{4} $ (косинус 45°) равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \ctg\frac{\pi}{4} $ (котангенс 45°) равен $ 1 $.
$ \sin\frac{\pi}{3} $ (синус 60°) равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставим эти значения в выражение:
$ \cos\frac{\pi}{4} \cdot \left(\ctg\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $
Раскроем скобки, умножив $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ на каждый член в скобках:
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} $
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 4:
$ \frac{2\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $
Ответ: $ \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $

20.13. Вычислите значение выражения:

1) $ -\sin \frac{\pi}{2} \cdot \left(2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{6}\right) $;

2) $ \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} \cdot \left(\sin \frac{\pi}{3} - 3 \cos \frac{\pi}{3}\right) $;

3) $ \cos \frac{\pi}{4} \cdot \left(2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} - 3 \sin \frac{\pi}{6}\right) $.

1) Вычислим значение выражения $-\sin\frac{\pi}{2} \cdot (2\tg\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{6})$.

Для этого найдем значения тригонометрических функций, входящих в выражение:

$\sin\frac{\pi}{2} = 1$

$\tg\frac{\pi}{4} = 1$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$-\sin\frac{\pi}{2} \cdot (2\tg\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{6}) = -1 \cdot (2 \cdot 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = -(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-4+\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-4}{2}$

2) Вычислим значение выражения $\ctg\frac{\pi}{6} \cdot (\sin\frac{\pi}{3} - 3\cos\frac{\pi}{3})$.

Найдем значения тригонометрических функций:

$\ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Подставим значения в выражение:

$\ctg\frac{\pi}{6} \cdot (\sin\frac{\pi}{3} - 3\cos\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}-3}{2} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3-3\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{3-3\sqrt{3}}{2}$

3) Вычислим значение выражения $\cos\frac{\pi}{4} \cdot (2\ctg\frac{\pi}{4} - 3\sin\frac{\pi}{6})$.

Найдем значения тригонометрических функций:

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\ctg\frac{\pi}{4} = 1$

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Подставим значения в выражение:

$\cos\frac{\pi}{4} \cdot (2\ctg\frac{\pi}{4} - 3\sin\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (2 \cdot 1 - 3 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (2 - \frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{4}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

20.14. Выразите значение суммы чисел $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$ через:

1) синусы острых углов;

2) косинусы острых углов.

1) синусы острых углов;

Задача состоит в том, чтобы выразить значение суммы чисел $ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} $ через синусы острых углов. Острый угол — это угол в диапазоне от 0° до 90° (или от 0 до $ \frac{\pi}{2} $ радиан).

Вспомним значения синусов для некоторых стандартных острых углов:

$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $

Поскольку оба угла, $ 60^\circ $ и $ 30^\circ $, являются острыми, мы можем заменить числа в сумме на соответствующие им синусы.

Таким образом, получаем:

$ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \sin(60^\circ) + \sin(30^\circ) $

Полученное выражение является представлением исходной суммы через синусы острых углов.

Ответ: $ \sin(60^\circ) + \sin(30^\circ) $.

2) косинусы острых углов.

Аналогично первому пункту, необходимо выразить сумму $ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} $ через косинусы острых углов.

Вспомним значения косинусов для стандартных острых углов:

$ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $

Углы $ 30^\circ $ и $ 60^\circ $ также являются острыми. Произведем замену чисел в сумме на соответствующие им косинусы.

Таким образом, получаем:

$ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \cos(30^\circ) + \cos(60^\circ) $

Это выражение представляет исходную сумму через косинусы острых углов, что и требовалось в задаче.

Ответ: $ \cos(30^\circ) + \cos(60^\circ) $.