Страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1.13. Является ли пара чисел (2; -5) решением системы уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y = -3, \\ 2x - y = 9; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - y = 7, \\ 2x + 3y = -11; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 3x + 2y = 3, \\ 2x - y = 9; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2x + y = -1, \\ 3x - 2y = 16? \end{cases} $

Чтобы определить, является ли пара чисел $(2; -5)$ решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x=2$ и $y=-5$ в каждое из уравнений системы. Если оба уравнения обращаются в верные числовые равенства, то данная пара чисел является решением системы.

1) Проверим систему уравнений $\begin{cases} x + y = -3, \\ 2x - y = 9 \end{cases}$.

Подставляем $x=2$ и $y=-5$ в первое уравнение: $2 + (-5) = 2 - 5 = -3$. Равенство $-3 = -3$ является верным.

Подставляем $x=2$ и $y=-5$ во второе уравнение: $2(2) - (-5) = 4 + 5 = 9$. Равенство $9 = 9$ является верным.

Поскольку оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(2; -5)$ является решением этой системы.

Ответ: да, является.

2) Проверим систему уравнений $\begin{cases} x - y = 7, \\ 2x + 3y = -11 \end{cases}$.

Подставляем $x=2$ и $y=-5$ в первое уравнение: $2 - (-5) = 2 + 5 = 7$. Равенство $7 = 7$ является верным.

Подставляем $x=2$ и $y=-5$ во второе уравнение: $2(2) + 3(-5) = 4 - 15 = -11$. Равенство $-11 = -11$ является верным.

Поскольку оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(2; -5)$ является решением этой системы.

Ответ: да, является.

3) Проверим систему уравнений $\begin{cases} 3x + 2y = 3, \\ 2x - y = 9 \end{cases}$.

Подставляем $x=2$ и $y=-5$ в первое уравнение: $3(2) + 2(-5) = 6 - 10 = -4$. Равенство $-4 = 3$ является неверным.

Так как первое уравнение не обратилось в верное равенство, пара чисел $(2; -5)$ не является решением этой системы. Проверять второе уравнение нет необходимости.

Ответ: нет, не является.

4) Проверим систему уравнений $\begin{cases} 2x + y = -1, \\ 3x - 2y = 16 \end{cases}$.

Подставляем $x=2$ и $y=-5$ в первое уравнение: $2(2) + (-5) = 4 - 5 = -1$. Равенство $-1 = -1$ является верным.

Подставляем $x=2$ и $y=-5$ во второе уравнение: $3(2) - 2(-5) = 6 - (-10) = 6 + 10 = 16$. Равенство $16 = 16$ является верным.

Поскольку оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(2; -5)$ является решением этой системы.

Ответ: да, является.

1.14. Найдите радиус окружности, заданной уравнением:

1) $x^2 + y^2 = 9;$

2) $x^2 + y^2 = 49;$

3) $x^2 + y^2 = 72;$

4) $x^2 + 2x + y^2 = 15.$

Для нахождения радиуса окружности необходимо привести её уравнение к каноническому виду: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ – координаты центра окружности, а $R$ – её радиус. Если центр окружности находится в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$, уравнение принимает вид: $x^2 + y^2 = R^2$.

1) Дано уравнение окружности $x^2 + y^2 = 9$.
Это уравнение уже представлено в каноническом виде для окружности с центром в начале координат.
Сравнивая его с уравнением $x^2 + y^2 = R^2$, получаем, что $R^2 = 9$.
Радиус $R$ равен квадратному корню из этого значения: $R = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3.

2) Дано уравнение окружности $x^2 + y^2 = 49$.
Это уравнение имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$.
Отсюда $R^2 = 49$.
Находим радиус: $R = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: 7.

3) Дано уравнение окружности $x^2 + y^2 = 72$.
Это уравнение имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$.
Следовательно, $R^2 = 72$.
Находим радиус: $R = \sqrt{72}$. Упростим корень: $R = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Ответ: $6\sqrt{2}$.

4) Дано уравнение $x^2 + 2x + y^2 = 15$.
Приведем это уравнение к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, выделив полный квадрат для слагаемых, содержащих $x$.
Сгруппируем слагаемые с $x$: $(x^2 + 2x) + y^2 = 15$.
Чтобы получить полный квадрат, добавим к выражению в скобках $(\frac{2}{2})^2 = 1$. Чтобы уравнение осталось верным, мы должны также добавить 1 к правой части:
$(x^2 + 2x + 1) + y^2 = 15 + 1$.
Теперь левую часть можно свернуть по формуле квадрата суммы:
$(x+1)^2 + y^2 = 16$.
Сравнивая полученное уравнение с каноническим видом, видим, что $R^2 = 16$.
Находим радиус: $R = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4.

1.15. Постройте график уравнения:

1) $x^2 + y = 2;$

2) $x^2 + y^2 - 4 = 0;$

3) $\frac{1}{x} - y = 0;$

4) $x^2 - 2x + y^2 = 8.$

1) $x^2 + y = 2$
Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$: $y = -x^2 + 2$. Это уравнение параболы. График функции $y = -x^2$ получается из графика $y = x^2$ отражением относительно оси абсцисс. График функции $y = -x^2 + 2$ получается из графика $y = -x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$, ветви направлены вниз. Для построения найдем координаты нескольких точек: при $x=0$, $y=2$; при $x=1$, $y=1$; при $x=-1$, $y=1$; при $x=2$, $y=-2$; при $x=-2$, $y=-2$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(0; 2)$ и ветвями, направленными вниз.

2) $x^2 + y^2 - 4 = 0$
Перепишем уравнение в виде $x^2 + y^2 = 4$. Это каноническое уравнение окружности вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $r$ — радиус. В нашем случае уравнение можно записать как $(x-0)^2 + (y-0)^2 = 2^2$. Следовательно, центр окружности находится в точке $(0; 0)$, а радиус равен $2$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $2$.

3) $\frac{1}{x} - y = 0$
Выразим $y$ через $x$, получим $y = \frac{1}{x}$. Это уравнение обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Область определения функции: $x \neq 0$. График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных углах. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для графика. Некоторые точки для построения: $(1; 1), (2; 0.5), (0.5; 2)$ для первой ветви и $(-1; -1), (-2; -0.5), (-0.5; -2)$ для второй.

Ответ: Графиком уравнения является гипербола $y = 1/x$ с ветвями в I и III координатных четвертях.

4) $x^2 - 2x + y^2 = 8$
Для приведения уравнения к каноническому виду окружности выделим полный квадрат для переменной $x$. Добавим и вычтем 1: $(x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = 8$. Свернем полный квадрат: $(x - 1)^2 - 1 + y^2 = 8$. Перенесем -1 в правую часть: $(x - 1)^2 + y^2 = 9$. Запишем уравнение в стандартном виде: $(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$. Это уравнение окружности с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $r = 3$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $3$.