Страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

66. Для годовых отметок Алии за 8 класс составлена таблица абсолютных частот случайной величины полученных отметок (табл. 1).

Таблица 1

Заполните таблицу и найдите:

1) среднее арифметическое значение;

2) дисперсию отметок Алии.

Сначала заполним таблицу, рассчитав относительные частоты. Относительная частота находится как отношение абсолютной частоты к общему числу наблюдений.

1. Найдем общее число отметок (объем выборки $N$):

$N = 5 + 6 + 4 = 15$

2. Рассчитаем относительную частоту для каждой отметки:

Для отметки «3»: $\frac{5}{15}$

Для отметки «4»: $\frac{6}{15}$

Для отметки «5»: $\frac{4}{15}$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Теперь найдем требуемые величины.

1) среднее арифметическое значение;

Среднее арифметическое значение (или математическое ожидание) для дискретного ряда распределения вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

где $x_i$ - значение отметки, $n_i$ - соответствующая абсолютная частота, $N$ - общее число отметок.

Подставим наши значения:

$\bar{x} = \frac{3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 4}{15} = \frac{15 + 24 + 20}{15} = \frac{59}{15}$

$\bar{x} \approx 3.93$

Ответ: среднее арифметическое значение равно $\frac{59}{15}$ (приблизительно $3.93$).

2) дисперсию отметок Алии.

Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она вычисляется по формуле:

$D(X) = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{N}$

Для удобства расчетов можно использовать другую формулу:

$D(X) = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i}{N} - (\bar{x})^2$

Сначала найдем среднее значение квадратов отметок $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{3^2 \cdot 5 + 4^2 \cdot 6 + 5^2 \cdot 4}{15} = \frac{9 \cdot 5 + 16 \cdot 6 + 25 \cdot 4}{15} = \frac{45 + 96 + 100}{15} = \frac{241}{15}$

Теперь вычислим дисперсию, используя найденное среднее $\bar{x} = \frac{59}{15}$:

$D(X) = \frac{241}{15} - \left(\frac{59}{15}\right)^2 = \frac{241}{15} - \frac{3481}{225}$

Приведем дроби к общему знаменателю 225:

$D(X) = \frac{241 \cdot 15}{15 \cdot 15} - \frac{3481}{225} = \frac{3615}{225} - \frac{3481}{225} = \frac{3615 - 3481}{225} = \frac{134}{225}$

$D(X) \approx 0.596$

Ответ: дисперсия отметок Алии равна $\frac{134}{225}$ (приблизительно $0.596$).

67.1) Наименьшее значение функции $y = x^2 - 4x + a$ равно 2. Найдите параметр $a$ и постройте график этой функции.

2) Наибольшее значение функции $y = -x^2 + 6x + a$ равно 4. Найдите параметр $a$ и постройте график этой функции.

1)

Дана функция $y = x^2 - 4x + a$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (то есть, он положителен), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ для функции вида $y = kx^2 + bx + c$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2k}$ и $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае коэффициенты $k=1$ и $b=-4$. Найдем абсциссу (координату x) вершины:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь найдем ординату (координату y) вершины, подставив $x_0 = 2$ в уравнение функции:

$y_0 = (2)^2 - 4(2) + a = 4 - 8 + a = a - 4$.

По условию задачи, наименьшее значение функции равно 2. Это означает, что ордината вершины $y_0$ равна 2. Составим и решим уравнение:

$a - 4 = 2$

$a = 2 + 4$

$a = 6$.

Таким образом, мы нашли параметр $a=6$. Исходная функция имеет вид: $y = x^2 - 4x + 6$.

Для построения графика найдем ключевые точки. Мы уже знаем, что вершина параболы находится в точке $(2; 2)$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = 2$. Найдем несколько дополнительных точек:

• При $x = 0$, $y = 0^2 - 4(0) + 6 = 6$. Точка $(0; 6)$.
• При $x = 1$, $y = 1^2 - 4(1) + 6 = 1 - 4 + 6 = 3$. Точка $(1; 3)$.
• Используя симметрию относительно оси $x = 2$, получаем симметричные точки: $(4; 6)$ и $(3; 3)$.

График функции $y = x^2 - 4x + 6$:

Ответ: $a=6$.

2)

Дана функция $y = -x^2 + 6x + a$. Это также квадратичная функция, и ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицателен), поэтому ветви параболы направлены вниз. Такая функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находим по тем же формулам. Здесь коэффициенты $k=-1$ и $b=6$.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.

Ордината вершины:

$y_0 = -(3)^2 + 6(3) + a = -9 + 18 + a = a + 9$.

По условию, наибольшее значение функции равно 4, следовательно $y_0 = 4$.

$a + 9 = 4$

$a = 4 - 9$

$a = -5$.

Итак, параметр $a=-5$, а функция имеет вид: $y = -x^2 + 6x - 5$.

Построим ее график. Вершина находится в точке $(3; 4)$. Ось симметрии — прямая $x = 3$. Найдем точки пересечения с осями и другие опорные точки:

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = -0^2 + 6(0) - 5 = -5$. Точка $(0; -5)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $-x^2 + 6x - 5 = 0$. Умножим на -1: $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Точки $(1; 0)$ и $(5; 0)$.
• При $x = 2$, $y = -(2)^2 + 6(2) - 5 = -4 + 12 - 5 = 3$. Точка $(2; 3)$.
• Симметричная ей точка — $(4; 3)$.

График функции $y = -x^2 + 6x - 5$:

Ответ: $a=-5$.

68. Найдите промежутки возрастания и убывания функции по ее графику (рис. 6).

Рис. 6

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо проанализировать ее график. Функция является возрастающей на промежутке, если при увеличении значения аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается (график идет вверх). Функция является убывающей, если при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается (график идет вниз). Точки, в которых направление движения графика меняется, называются точками экстремума.

На представленном графике можно выделить следующие точки экстремума:

• точка минимума при $x = -5$;
• точка максимума при $x = 2$;
• точка минимума при $x = 7$.

Эти точки разделяют всю область определения функции на промежутки, в каждом из которых функция либо только возрастает, либо только убывает.

Промежутки возрастания

Функция возрастает на тех участках, где ее график направлен вверх при движении слева направо. На данном графике это происходит на двух промежутках: от точки минимума при $x=-5$ до точки максимума при $x=2$, и от точки минимума при $x=7$ до $+\infty$. Точки экстремумов принято включать в промежутки монотонности. Ответ: промежутки возрастания функции: $[-5; 2]$ и $[7; +\infty)$.

Промежутки убывания

Функция убывает на тех участках, где ее график направлен вниз. Это происходит на двух промежутках: от $-\infty$ до точки минимума при $x=-5$, и от точки максимума при $x=2$ до точки минимума при $x=7$. Ответ: промежутки убывания функции: $(-\infty; -5]$ и $[2; 7]$.

69. В диаграмме представлена корзина продуктов питания в январе 2018 г. в г. Алматы (рис. 7).

Цена (тг)

Картофель (1 кг) 145

Лук (1 кг) 120

Помидоры (1 кг) 860

Огурцы (1 кг) 750

Бананы (1 кг) 456

Апельсины (1 кг) 650

Мандарины (1 кг) 750

Яблоки (1 кг) 450

Рыба (судак) (1 кг) 1000

Мясо (1 кг) 1200

Колбаса (1 кг) 1500

Сметана (1 л) 900

Кефир (1 л) 200

Молоко (1 л) 150

Рис (1 кг) 185

Макароны (1 кг) 246

Хлеб (1 б) 85

Рис. 7

Хозяйка имеет 50 000 тг. Если она купит по 1 кг овощей и фруктов, 2 булки хлеба, 1 кг макарон, 1 кг риса, 1 л молока и 1 кг колбасы, то сколько процентов составит стоимость покупки от имеющихся у нее денег?

Для решения задачи сначала необходимо воссоздать диаграмму с ценами на продукты, чтобы извлечь нужные данные.

У хозяйки есть 50 000 тг. Нам нужно рассчитать общую стоимость ее покупки и определить, какой процент эта сумма составляет от ее общего бюджета.

1. Рассчитаем стоимость овощей.
Хозяйка покупает по 1 кг каждого вида овощей из списка: картофель, лук, помидоры, огурцы.
Стоимость овощей = Цена картофеля + Цена лука + Цена помидоров + Цена огурцов.
$145 + 120 + 860 + 750 = 1875$ тг.

2. Рассчитаем стоимость фруктов.
Хозяйка покупает по 1 кг каждого вида фруктов из списка: бананы, апельсины, мандарины, яблоки.
Стоимость фруктов = Цена бананов + Цена апельсинов + Цена мандаринов + Цена яблок.
$456 + 650 + 750 + 450 = 2306$ тг.

3. Рассчитаем стоимость остальных продуктов.
Список включает: 2 булки хлеба, 1 кг макарон, 1 кг риса, 1 л молока и 1 кг колбасы.
Стоимость хлеба (2 булки): $2 \times 85 = 170$ тг.
Стоимость макарон (1 кг): $246$ тг.
Стоимость риса (1 кг): $185$ тг.
Стоимость молока (1 л): $150$ тг.
Стоимость колбасы (1 кг): $1500$ тг.
Общая стоимость остальных продуктов: $170 + 246 + 185 + 150 + 1500 = 2251$ тг.

4. Рассчитаем общую стоимость всей покупки.
Суммируем стоимость всех категорий продуктов.
Общая стоимость = Стоимость овощей + Стоимость фруктов + Стоимость остальных продуктов.
$1875 + 2306 + 2251 = 6432$ тг.

5. Рассчитаем, какой процент стоимость покупки составляет от имеющихся денег.
Для этого нужно разделить стоимость покупки на общую сумму денег и умножить на 100%.
Имеющаяся сумма: 50 000 тг.
Стоимость покупки: 6432 тг.
Процент = $(\frac{Стоимость \space покупки}{Имеющаяся \space сумма}) \times 100\%$.
$Процент = (\frac{6432}{50000}) \times 100\% = 0.12864 \times 100\% = 12.864\%$.

Ответ: Стоимость покупки составит 12,864% от имеющихся у хозяйки денег.

1. Какие функции называются тригонометрическими функциями?

2. Что такое числовая окружность?

3. Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла?

1. Какие функции называются тригонометрическими функциями?

Тригонометрическими функциями называют элементарные функции, которые устанавливают зависимость между величиной угла и отношениями длин сторон прямоугольного треугольника. Изначально они были определены для острых углов, но их определения были расширены на произвольные углы с помощью числовой окружности. Основными тригонометрическими функциями являются синус ($y = \sin x$), косинус ($y = \cos x$), тангенс ($y = \tan x$ или $y = \text{tg } x$) и котангенс ($y = \cot x$ или $y = \text{ctg } x$). К ним также относят секанс ($y = \sec x$) и косеканс ($y = \csc x$). Эти функции являются периодическими и находят широкое применение в математике, физике, инженерии и других науках для описания колебательных и волновых процессов.

Ответ: Тригонометрическими функциями называют функции угла, такие как синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, которые связывают углы треугольника с длинами его сторон, а в общем случае — это функции, определённые через координаты точки на единичной окружности.

2. Что такое числовая окружность?

Числовая окружность (также известная как единичная или тригонометрическая окружность) — это окружность в декартовой системе координат с центром в начале координат (0, 0) и радиусом, равным единице. Ее уравнение: $x^2 + y^2 = 1$. Каждому действительному числу $t$ ставится в соответствие точка $P(t)$ на этой окружности. Для этого от начальной точки $A(1, 0)$ откладывается дуга длиной $|t|$. Если $t > 0$, движение происходит против часовой стрелки, а если $t < 0$ — по часовой стрелке. Таким образом, числовая окружность позволяет установить соответствие между действительными числами (которые можно интерпретировать как углы в радианах) и точками на окружности. Длина всей окружности равна $2\pi$, поэтому точкам $t$ и $t + 2\pi k$ (где $k$ — целое число) соответствует одна и та же точка на окружности. Это является основой для определения тригонометрических функций для любого угла.

Ответ: Числовая окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат, используемая для сопоставления каждому действительному числу $t$ точки на окружности, что позволяет определить тригонометрические функции для произвольного угла.

3. Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла?

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для произвольного угла $\alpha$ даются с помощью числовой окружности. Пусть при повороте начальной точки $A(1, 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат мы получаем точку $P$ с координатами $(x, y)$. Тогда синусом угла $\alpha$ называется ордината (координата $y$) точки $P$, то есть $\sin \alpha = y$. Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки $P$, то есть $\cos \alpha = x$. Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение синуса этого угла к его косинусу: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$. Тангенс определён, когда $\cos \alpha \neq 0$ (т.е. $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$). Котангенсом угла $\alpha$ называется отношение косинуса этого угла к его синусу: $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$. Котангенс определён, когда $\sin \alpha \neq 0$ (т.е. $\alpha \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$). Эти определения позволяют находить значения тригонометрических функций для углов любой величины.

Ответ: Синус и косинус произвольного угла $\alpha$ — это соответственно ордината ($y$) и абсцисса ($x$) точки на числовой окружности, соответствующей этому углу. Тангенс — это отношение $\frac{y}{x}$, а котангенс — отношение $\frac{x}{y}$.

20.1. На единичной окружности отметьте точку, соответствующую углу $a$, равному: $45^\circ$; $-60^\circ$, $90^\circ$ и вычислите при помощи измерений синус и косинус этих углов.

Для решения задачи построим единичную окружность в системе координат. Единичная окружность имеет центр в начале координат (0,0) и радиус, равный 1. Углы отсчитываются от положительного направления оси Ox: против часовой стрелки для положительных углов и по часовой стрелке для отрицательных. Для любой точки $P(x, y)$ на окружности, соответствующей углу $α$, ее координаты по определению равны косинусу и синусу этого угла: $x = \cos(α)$ и $y = \sin(α)$.

Чтобы найти синус и косинус при помощи измерений, мы отметим на окружности точки, соответствующие заданным углам, и измерим их координаты (длины проекций на оси Ox и Oy), учитывая знаки в каждой координатной четверти.

45°: Отложим от положительного направления оси Ox угол в 45° против часовой стрелки. Получим точку $P_1$ в первой координатной четверти. Измерив ее проекции на оси, мы получим значения абсциссы и ординаты. Измерения показывают, что $x \approx 0,71$ и $y \approx 0,71$. Таким образом, $\cos(45^\circ) \approx 0,71$ и $\sin(45^\circ) \approx 0,71$. Для сравнения, точные значения: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$. Ответ: $\cos(45^\circ) \approx 0,71, \sin(45^\circ) \approx 0,71$.

-60°: Отложим от положительного направления оси Ox угол в 60° по часовой стрелке, так как угол отрицательный. Получим точку $P_2$ в четвертой координатной четверти. Измерив ее проекции на оси, мы получим: абсцисса $x \approx 0,5$, ордината $y \approx -0,87$. Таким образом, $\cos(-60^\circ) \approx 0,5$ и $\sin(-60^\circ) \approx -0,87$. Для сравнения, точные значения: $\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0,5$ и $\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,866$. Ответ: $\cos(-60^\circ) \approx 0,5, \sin(-60^\circ) \approx -0,87$.

90°: Отложим от положительного направления оси Ox угол в 90° против часовой стрелки. Получим точку $P_3$, которая лежит на положительной полуоси Oy. В этом случае измерения не требуют приближений, так как точка точно совпадает с отметкой 1 на оси Oy. Ее координаты: $x=0$ и $y=1$. Таким образом, $\cos(90^\circ) = 0$ и $\sin(90^\circ) = 1$. Ответ: $\cos(90^\circ) = 0, \sin(90^\circ) = 1$.

20.2. Постройте угол а, если:

1) $ \sin a = \frac{1}{4} $;

2) $ \sin a = \frac{2}{3} $;

3) $ \cos a = \frac{3}{4} $;

4) $ \cos a = \frac{3}{5} $;

5) $ \operatorname{tg} a = 2 $;

6) $ \operatorname{tg} a = 3 $.

1) $sin\ a = \frac{1}{4}$;
Для построения угла $a$, синус которого равен $\frac{1}{4}$, мы воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике: $sin\ a = \frac{противолежащий\ катет}{гипотенуза}$. Нам нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $\frac{1}{4}$.

Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке $B$. Для этого проведем две перпендикулярные прямые.
2. На одной из сторон угла от точки $B$ отложим отрезок $BA$ произвольной длины $k$. Этот отрезок будет катетом, противолежащим искомому углу $a$.
3. Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $4k$.
4. Точка пересечения этой дуги со второй стороной прямого угла будет вершиной $C$ нашего треугольника.
5. Соединим точки $A$ и $C$. Получим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором катет $AB = k$, а гипотенуза $AC = 4k$.
6. Угол $\angle ACB$ в этом треугольнике и есть искомый угол $a$, так как $sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4}$.

Ответ: Угол $a = \angle ACB$ построен.

2) $sin\ a = \frac{2}{3}$;
Построение аналогично предыдущему пункту. Нам нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $\frac{2}{3}$.

Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке $B$.
2. На одном из лучей отложим отрезок $BA$ длиной $2k$, где $k$ — произвольный единичный отрезок.
3. Из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом $3k$.
4. Точка пересечения дуги с другим лучом прямого угла будет вершиной $C$.
5. Соединив точки $A$ и $C$, получим прямоугольный треугольник $ABC$ с катетом $AB = 2k$ и гипотенузой $AC = 3k$.
6. Угол $\angle ACB$ является искомым углом $a$, так как $sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Угол $a = \angle ACB$ построен.

3) $cos\ a = \frac{3}{4}$;
Воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике: $cos\ a = \frac{прилежащий\ катет}{гипотенуза}$. Нам нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение прилежащего катета к гипотенузе равно $\frac{3}{4}$.

Порядок построения:
1. Построим луч с началом в точке $C$. Это будет одна из сторон искомого угла.
2. На этом луче отложим отрезок $CB$ длиной $3k$, где $k$ — произвольный единичный отрезок. Это будет прилежащий катет.
3. В точке $B$ восстановим перпендикуляр к прямой $CB$.
4. Из точки $C$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $4k$.
5. Точка пересечения этой дуги с перпендикуляром будет вершиной $A$ нашего треугольника.
6. Соединим точки $A$ и $C$. Получим прямоугольный треугольник $ABC$ с катетом $CB = 3k$ и гипотенузой $AC = 4k$.
7. Угол $\angle BCA$ в этом треугольнике и есть искомый угол $a$, так как $cos(\angle BCA) = \frac{CB}{AC} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$.

Ответ: Угол $a = \angle BCA$ построен.

4) $cos\ a = \frac{3}{5}$;
Построение аналогично предыдущему пункту. Требуется построить прямоугольный треугольник с отношением прилежащего катета к гипотенузе $\frac{3}{5}$.

Порядок построения:
1. Построим луч с началом в точке $C$.
2. На луче отложим прилежащий катет $CB$ длиной $3k$.
3. В точке $B$ восстановим перпендикуляр к $CB$.
4. Из центра $C$ проведем дугу радиусом $5k$ до пересечения с перпендикуляром в точке $A$.
5. Соединим $A$ и $C$. Получим прямоугольный треугольник $ABC$ (египетский треугольник со сторонами $3k, 4k, 5k$).
6. Угол $\angle BCA$ является искомым углом $a$, так как $cos(\angle BCA) = \frac{CB}{AC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$.

Ответ: Угол $a = \angle BCA$ построен.

5) $tg\ a = 2$;
Воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике: $tg\ a = \frac{противолежащий\ катет}{прилежащий\ катет}$. Представим $2$ как дробь $\frac{2}{1}$. Нам нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение противолежащего катета к прилежащему равно $\frac{2}{1}$.

Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке $B$.
2. На одной стороне угла отложим отрезок $BC$ (прилежащий катет) длиной $k$.
3. На другой стороне угла отложим отрезок $BA$ (противолежащий катет) длиной $2k$.
4. Соединим точки $A$ и $C$, получив прямоугольный треугольник $ABC$.
5. Угол $\angle BCA$ является искомым углом $a$, так как $tg(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{2k}{k} = 2$.

Ответ: Угол $a = \angle BCA$ построен.

6) $tg\ a = 3$.
Построение аналогично предыдущему пункту. Представим $3$ как дробь $\frac{3}{1}$. Требуется построить прямоугольный треугольник с отношением противолежащего катета к прилежащему $\frac{3}{1}$.

Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке $B$.
2. На одной стороне угла отложим прилежащий катет $BC$ длиной $k$.
3. На другой стороне угла отложим противолежащий катет $BA$ длиной $3k$.
4. Соединим точки $A$ и $C$, получив прямоугольный треугольник $ABC$.
5. Угол $\angle BCA$ является искомым углом $a$, так как $tg(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{3k}{k} = 3$.

Ответ: Угол $a = \angle BCA$ построен.

20.3. Начертите единичную окружность с центром в начале координат, поверните начальный радиус на угол $\alpha$, где $\alpha$ равна:

1) $35^\circ$;

2) $75^\circ$;

3) $135^\circ$;

4) $170^\circ$;

5) $-80^\circ$;

6) $-130^\circ$.

1)Угол $α = 35°$ является положительным, поэтому поворот начального радиуса совершается против часовой стрелки от положительного направления оси Ox. Так как $0° < 35° < 90°$, конечный радиус $OP_1$ будет находиться в I координатной четверти.

Ответ:

2)Угол $α = 75°$ является положительным, поворот совершается против часовой стрелки. Так как $0° < 75° < 90°$, конечный радиус $OP_2$ будет находиться в I координатной четверти.

Ответ:

3)Угол $α = 135°$ является положительным, поворот совершается против часовой стрелки. Так как $90° < 135° < 180°$, конечный радиус $OP_3$ будет находиться во II координатной четверти.

Ответ:

4)Угол $α = 170°$ является положительным, поворот совершается против часовой стрелки. Так как $90° < 170° < 180°$, конечный радиус $OP_4$ будет находиться во II координатной четверти, очень близко к отрицательному направлению оси Ox.

Ответ:

5)Угол $α = -80°$ является отрицательным, поэтому поворот начального радиуса совершается по часовой стрелке. Конечный радиус $OP_5$ будет находиться в IV координатной четверти. Угол $-80°$ соответствует углу $360° - 80° = 280°$.

Ответ:

6)Угол $α = -130°$ является отрицательным, поворот совершается по часовой стрелке. Так как $-180° < -130° < -90°$, конечный радиус $OP_6$ будет находиться в III координатной четверти. Угол $-130°$ соответствует углу $360° - 130° = 230°$.

Ответ:

20.4. Найдите значение выражения:

1) $2\sin30^\circ + 2\cos45^\circ$;

2) $3\sin60^\circ - 2\cos60^\circ$;

3) $\sin30^\circ - 3\operatorname{tg}45^\circ$;

4) $\sin45^\circ + 2\operatorname{ctg}60^\circ$.

1) Чтобы найти значение выражения $2\sin30^\circ + 2\cos45^\circ$, нужно подставить табличные значения тригонометрических функций для заданных углов.

Мы знаем, что $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$ и $\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения в выражение:

$2 \cdot \sin30^\circ + 2 \cdot \cos45^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Выполняем вычисления:

$1 + \sqrt{2}$

Ответ: $1 + \sqrt{2}$.

2) Найдем значение выражения $3\sin60^\circ - 2\cos60^\circ$.

Используем табличные значения: $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos60^\circ = \frac{1}{2}$.

Подставляем значения в исходное выражение:

$3 \cdot \sin60^\circ - 2 \cdot \cos60^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2}$

Упрощаем полученное выражение:

$\frac{3\sqrt{3}}{2} - 1$

Можно представить ответ в виде одной дроби: $\frac{3\sqrt{3}-2}{2}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}-2}{2}$.

3) Рассмотрим выражение $\sin30^\circ - 3\text{tg}45^\circ$.

Табличные значения для данных функций: $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$ и $\text{tg}45^\circ = 1$.

Подставим их в выражение:

$\sin30^\circ - 3\text{tg}45^\circ = \frac{1}{2} - 3 \cdot 1$

Выполняем вычитание:

$\frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $-2.5$.

4) Найдем значение последнего выражения $\sin45^\circ + 2\text{ctg}60^\circ$.

Воспользуемся табличными значениями: $\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\text{ctg}60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставляем эти значения:

$\sin45^\circ + 2\text{ctg}60^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 6:

$\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2\sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{6} + \frac{4\sqrt{3}}{6}$

Теперь сложим числители:

$\frac{3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{6}$.

20.5. Чему равно значение выражения:

1) $\text{tg}\frac{\pi}{3} + 2\text{ctg}\frac{\pi}{6}$;

2) $\text{tg}\frac{\pi}{4} - 3\text{ctg}\frac{5\pi}{6}$;

3) $3\text{cos}\frac{\pi}{3} + 2\text{sin}\frac{\pi}{4}$;

4) $-\text{sin}\frac{\pi}{2} + 2\text{ctg}\frac{3\pi}{4}$?

1) Для вычисления значения выражения $ \tg\frac{\pi}{3} + 2\ctg\frac{\pi}{6} $ найдем значения тригонометрических функций.
Значение тангенса угла $ \frac{\pi}{3} $ (60°) равно $ \sqrt{3} $: $ \tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $.
Значение котангенса угла $ \frac{\pi}{6} $ (30°) также равно $ \sqrt{3} $: $ \ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \tg\frac{\pi}{3} + 2\ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} $.
Ответ: $ 3\sqrt{3} $

2) Для вычисления значения выражения $ \tg\frac{\pi}{4} - 3\ctg\frac{5\pi}{6} $ найдем значения тригонометрических функций.
Значение тангенса угла $ \frac{\pi}{4} $ (45°) равно 1: $ \tg\frac{\pi}{4} = 1 $.
Для нахождения котангенса угла $ \frac{5\pi}{6} $ (150°) воспользуемся формулой приведения: $ \ctg(\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha) $.
$ \ctg\frac{5\pi}{6} = \ctg(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\ctg\frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} $.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \tg\frac{\pi}{4} - 3\ctg\frac{5\pi}{6} = 1 - 3 \cdot (-\sqrt{3}) = 1 + 3\sqrt{3} $.
Ответ: $ 1 + 3\sqrt{3} $

3) Для вычисления значения выражения $ 3\cos\frac{\pi}{3} + 2\sin\frac{\pi}{4} $ найдем значения тригонометрических функций.
Значение косинуса угла $ \frac{\pi}{3} $ (60°) равно $ \frac{1}{2} $: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.
Значение синуса угла $ \frac{\pi}{4} $ (45°) равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $: $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$ 3\cos\frac{\pi}{3} + 2\sin\frac{\pi}{4} = 3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} + \sqrt{2} $.
Ответ: $ \frac{3}{2} + \sqrt{2} $

4) Для вычисления значения выражения $ -\sin\frac{\pi}{2} + 2\ctg\frac{3\pi}{4} $ найдем значения тригонометрических функций.
Значение синуса угла $ \frac{\pi}{2} $ (90°) равно 1: $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $.
Для нахождения котангенса угла $ \frac{3\pi}{4} $ (135°) воспользуемся формулой приведения: $ \ctg(\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha) $.
$ \ctg\frac{3\pi}{4} = \ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\ctg\frac{\pi}{4} = -1 $.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$ -\sin\frac{\pi}{2} + 2\ctg\frac{3\pi}{4} = -1 + 2 \cdot (-1) = -1 - 2 = -3 $.
Ответ: $ -3 $

20.6. Найдите несколько значений $\alpha$, при которых:

1) $\sin \alpha = 0$;

2) $\sin \alpha = 0.5$;

3) $\cos \alpha = -1$;

4) $\cos \alpha = 1$;

5) $\cos \alpha = 0$;

6) $\sin \alpha = -1$.

1) Чтобы найти значения $a$, при которых $\sin a = 0$, нужно вспомнить, что синус угла равен нулю, когда угол является целым кратным $\pi$. Общая формула для решений: $a = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Например, при $k=0$ получаем $a=0$; при $k=1$ получаем $a=\pi$; при $k=-1$ получаем $a=-\pi$; при $k=2$ получаем $a=2\pi$.
Ответ: $0; \pi; -\pi; 2\pi$.

2) Для уравнения $\sin a = 0,5$ (или $\sin a = \frac{1}{2}$), решениями являются углы, синус которых равен $\frac{1}{2}$. На единичной окружности это углы $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Поскольку синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, все решения можно записать в виде двух серий: $a = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $a = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Несколько значений: $\frac{\pi}{6}$ (при $k=0$), $\frac{5\pi}{6}$ (при $k=0$), $\frac{13\pi}{6}$ (при $k=1$ в первой серии).
Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}$.

3) Уравнение $\cos a = -1$ выполняется, когда угол $a$ соответствует самой левой точке на единичной окружности. Это происходит при угле $\pi$ радиан и повторяется через каждый полный оборот ($2\pi$). Общая формула для решений: $a = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Несколько примеров: $\pi$ (при $k=0$), $3\pi$ (при $k=1$), $-\pi$ (при $k=-1$).
Ответ: $\pi; 3\pi; -\pi$.

4) Уравнение $\cos a = 1$ выполняется, когда угол $a$ соответствует самой правой точке на единичной окружности. Это происходит при угле $0$ радиан и повторяется через каждый полный оборот ($2\pi$). Общая формула: $a = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Несколько примеров: $0$ (при $k=0$), $2\pi$ (при $k=1$), $-2\pi$ (при $k=-1$).
Ответ: $0; 2\pi; -2\pi$.

5) Уравнение $\cos a = 0$ выполняется, когда угол $a$ соответствует верхней или нижней точке на единичной окружности. Это углы $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$. Эти решения повторяются через каждые пол-оборота ($\pi$). Общая формула: $a = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Несколько значений: $\frac{\pi}{2}$ (при $k=0$), $\frac{3\pi}{2}$ (при $k=1$), $-\frac{\pi}{2}$ (при $k=-1$).
Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}$.

6) Уравнение $\sin a = -1$ выполняется, когда угол $a$ соответствует самой нижней точке на единичной окружности. Это происходит при угле $\frac{3\pi}{2}$ (или, что эквивалентно, $-\frac{\pi}{2}$). Решения повторяются через каждый полный оборот ($2\pi$). Общая формула: $a = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Несколько примеров: $-\frac{\pi}{2}$ (при $k=0$), $\frac{3\pi}{2}$ (при $k=1$), $-\frac{5\pi}{2}$ (при $k=-1$).
Ответ: $-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}$.

20.7. Найдите несколько значений β, при которых:

1) $\text{tg}\beta = 0$;

2) $\text{tg}\beta = 1$;

3) $\text{tg}\beta = -1$;

4) $\text{ctg}\beta = 1$;

5) $\text{ctg}\beta = -1$;

6) $\text{ctg}\beta = 0$.

1) Решим уравнение $tgβ = 0$. Тангенс угла равен нулю, если синус этого угла равен нулю (а косинус не равен нулю). Условие $sinβ = 0$ выполняется для углов, которые являются целыми кратными $π$. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид $β = πk$, где $k$ — любое целое число ($k ∈ ℤ$). Найдём несколько конкретных значений, подставляя различные целые числа вместо $k$: например, при $k = 0$ получаем $β = 0$; при $k = 1$ получаем $β = π$; при $k = 2$ получаем $β = 2π$. Ответ: $0, π, 2π$.

2) Решим уравнение $tgβ = 1$. Тангенс равен единице для углов, у которых синус и косинус равны. На единичной окружности это соответствует точкам в первой и третьей четвертях. Основное значение угла равно $\frac{π}{4}$. Поскольку период тангенса равен $π$, общее решение имеет вид: $β = \frac{π}{4} + πk$, где $k ∈ ℤ$. Найдём несколько значений $β$: при $k=0$ имеем $β = \frac{π}{4}$; при $k=1$ имеем $β = \frac{π}{4} + π = \frac{5π}{4}$; при $k=-1$ имеем $β = \frac{π}{4} - π = -\frac{3π}{4}$. Ответ: $\frac{π}{4}, \frac{5π}{4}, -\frac{3π}{4}$.

3) Решим уравнение $tgβ = -1$. Тангенс равен минус единице для углов, у которых синус и косинус равны по модулю, но противоположны по знаку. На единичной окружности это соответствует точкам во второй и четвертой четвертях. Основное значение угла можно взять как $-\frac{π}{4}$. Общее решение: $β = -\frac{π}{4} + πk$, где $k ∈ ℤ$. Некоторые из значений $β$: при $k=0$ получаем $β = -\frac{π}{4}$; при $k=1$ получаем $β = -\frac{π}{4} + π = \frac{3π}{4}$; при $k=2$ получаем $β = -\frac{π}{4} + 2π = \frac{7π}{4}$. Ответ: $-\frac{π}{4}, \frac{3π}{4}, \frac{7π}{4}$.

4) Решим уравнение $ctgβ = 1$. Котангенс равен единице, когда косинус и синус угла равны ($cosβ = sinβ$). Это то же самое условие, что и для $tgβ = 1$. Следовательно, решения будут такими же. Общее решение: $β = \frac{π}{4} + πk$, где $k ∈ ℤ$. Примеры значений $β$: для $k=0$, $β = \frac{π}{4}$; для $k=1$, $β = \frac{π}{4} + π = \frac{5π}{4}$; для $k=2$, $β = \frac{π}{4} + 2π = \frac{9π}{4}$. Ответ: $\frac{π}{4}, \frac{5π}{4}, \frac{9π}{4}$.

5) Решим уравнение $ctgβ = -1$. Котангенс равен минус единице, когда косинус и синус угла равны по модулю и противоположны по знаку ($cosβ = -sinβ$). Это то же самое условие, что и для $tgβ = -1$. Общее решение можно записать как $β = \frac{3π}{4} + πk$, где $k ∈ ℤ$. Найдём несколько значений $β$: при $k=0$, $β = \frac{3π}{4}$; при $k=1$, $β = \frac{3π}{4} + π = \frac{7π}{4}$; при $k=-1$, $β = \frac{3π}{4} - π = -\frac{π}{4}$. Ответ: $\frac{3π}{4}, \frac{7π}{4}, -\frac{π}{4}$.

6) Решим уравнение $ctgβ = 0$. Котангенс равен нулю, когда косинус угла равен нулю (а синус не равен нулю). Условие $cosβ = 0$ выполняется для углов вида $β = \frac{π}{2} + πk$, где $k ∈ ℤ$. Найдём несколько частных решений: при $k=0$ получим $β = \frac{π}{2}$; при $k=1$ получим $β = \frac{π}{2} + π = \frac{3π}{2}$; при $k=-1$ получим $β = \frac{π}{2} - π = -\frac{π}{2}$. Ответ: $\frac{π}{2}, \frac{3π}{2}, -\frac{π}{2}$.