Страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

20.15. Выразите значение алгебраической суммы чисел $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$ через:

1) синусы острых углов;

2) косинусы острых углов.

1) синусы острых углов;

Чтобы выразить значение алгебраической суммы $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$ через синусы острых углов, необходимо представить каждое из чисел в виде синуса некоторого острого угла. Острый угол — это угол в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Известны следующие табличные значения синусов для острых углов:
Значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует синусу угла $60^\circ$, так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует синусу угла $45^\circ$, так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Оба угла, $60^\circ$ и $45^\circ$, являются острыми. Теперь мы можем подставить эти тригонометрические функции в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(60^\circ) - \sin(45^\circ)$

Таким образом, значение алгебраической суммы выражено в виде разности синусов острых углов.

Ответ: $\sin(60^\circ) - \sin(45^\circ)$

2) косинусы острых углов.

Аналогично, чтобы выразить значение суммы через косинусы острых углов, найдем острые углы, косинусы которых равны заданным числам.

Известны следующие табличные значения косинусов для острых углов:
Значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует косинусу угла $30^\circ$, так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует косинусу угла $45^\circ$, так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Оба угла, $30^\circ$ и $45^\circ$, являются острыми. Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)$

Таким образом, значение алгебраической суммы выражено в виде разности косинусов острых углов.

Ответ: $\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)$

20.16. Выразите значение алгебраической суммы чисел $\frac{\sqrt{3}}{3} - 1$ через:

1) тангенсы острых углов;

2) котангенсы острых углов.

1) тангенсы острых углов

Задача состоит в том, чтобы выразить значение выражения $\frac{\sqrt{3}}{3} - 1$ через тангенсы острых углов. Острый угол — это угол в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Вспомним табличные значения тангенсов для некоторых стандартных острых углов:

$\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan(45^\circ) = 1$

Мы видим, что оба числа в исходной алгебраической сумме, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $1$, могут быть представлены как значения тангенсов острых углов.

Произведем замену этих чисел на соответствующие им тригонометрические функции:

$\frac{\sqrt{3}}{3} - 1 = \tan(30^\circ) - \tan(45^\circ)$

Таким образом, мы выразили заданное значение через разность тангенсов двух острых углов ($30^\circ$ и $45^\circ$).

Ответ: $\tan(30^\circ) - \tan(45^\circ)$.

2) котангенсы острых углов

Теперь необходимо выразить то же значение, $\frac{\sqrt{3}}{3} - 1$, через котангенсы острых углов.

Вспомним табличные значения котангенсов для стандартных острых углов:

$\cot(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot(45^\circ) = 1$

Как и в предыдущем пункте, числа в исходном выражении можно заменить на значения котангенсов острых углов. В данном случае это углы $60^\circ$ и $45^\circ$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{3} - 1 = \cot(60^\circ) - \cot(45^\circ)$

Итак, мы представили заданную алгебраическую сумму в виде разности котангенсов двух острых углов.

Ответ: $\cot(60^\circ) - \cot(45^\circ)$.

20.17. Найдите значение выражения $ \sin\alpha + \cos\alpha $, если:

1) $ \alpha = 0^\circ $;

2) $ \alpha = 120^\circ $;

3) $ \alpha = 30^\circ $;

4) $ \alpha = 135^\circ $.

1) α = 0°

Для нахождения значения выражения $sin\alpha + cos\alpha$ при $\alpha = 0°$ необходимо подставить данное значение угла в выражение:

$sin(0°) + cos(0°)$

Используем известные значения тригонометрических функций для угла $0°$:

$sin(0°) = 0$

$cos(0°) = 1$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$0 + 1 = 1$

Ответ: $1$

2) α = 120°

Подставим значение $\alpha = 120°$ в выражение $sin\alpha + cos\alpha$:

$sin(120°) + cos(120°)$

Для вычисления значений синуса и косинуса угла $120°$ воспользуемся формулами приведения. Угол $120°$ находится во второй координатной четверти.

$sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(120°) = cos(180° - 60°) = -cos(60°) = -\frac{1}{2}$

Теперь сложим полученные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

3) α = 30°

Подставим значение $\alpha = 30°$ в выражение $sin\alpha + cos\alpha$:

$sin(30°) + cos(30°)$

Используем табличные значения тригонометрических функций для угла $30°$:

$sin(30°) = \frac{1}{2}$

$cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сложим эти значения:

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

4) α = 135°

Подставим значение $\alpha = 135°$ в выражение $sin\alpha + cos\alpha$:

$sin(135°) + cos(135°)$

Для вычисления значений синуса и косинуса угла $135°$ воспользуемся формулами приведения. Угол $135°$ находится во второй координатной четверти.

$sin(135°) = sin(180° - 45°) = sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(135°) = cos(180° - 45°) = -cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь сложим полученные значения:

$\frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

Ответ: $0$

20.18. Найдите значение выражения:

1) $\frac{(-\sin 30^\circ - \cos 30^\circ)^2}{3 \cos 45^\circ \sin 45^\circ - 6 \operatorname{tg} 30^\circ \operatorname{ctg} 60^\circ};$

2) $\frac{2\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{3} \cos \pi - 1}{\sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}};$

3) $\frac{\sqrt{(\cos 60^\circ - \sin 60^\circ)^2}}{\sin 30^\circ \cdot (1 - \operatorname{tg} 60^\circ)};$

4) $\frac{\sqrt{\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}\right)^2}}{\left(\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3}\right)^2}.$

1) Для решения данного выражения подставим табличные значения тригонометрических функций: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\ctg 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Сначала преобразуем и вычислим числитель:
$(-\sin 30^\circ - \cos 30^\circ)^2 = (-(\sin 30^\circ + \cos 30^\circ))^2 = (\sin 30^\circ + \cos 30^\circ)^2 = \sin^2 30^\circ + 2\sin 30^\circ \cos 30^\circ + \cos^2 30^\circ$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$, получаем:
$1 + \sin(2 \cdot 30^\circ) = 1 + \sin 60^\circ = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь вычислим знаменатель:
$3 \cos 45^\circ \sin 45^\circ - 6 \tg 30^\circ \ctg 60^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3 \cdot \frac{2}{4} - 6 \cdot \frac{3}{9} = 3 \cdot \frac{1}{2} - 6 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3-4}{2} = -\frac{1}{2}$.
Найдем значение всего выражения:
$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2} \cdot (-2) = -(2+\sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $-2 - \sqrt{3}$.

2) Подставим табличные значения тригонометрических функций: $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, $\cos\pi = -1$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\tg\frac{\pi}{4} = 1$.
Вычислим числитель:
$2\tg^2\frac{\pi}{3} \cos\pi - 1 = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot (-1) - 1 = 2 \cdot 3 \cdot (-1) - 1 = -6 - 1 = -7$.
Вычислим знаменатель:
$\sin\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{3} - \tg\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.
Найдем значение дроби:
$\frac{-7}{-\frac{1}{2}} = 14$.
Ответ: $14$.

3) Подставим табличные значения тригонометрических функций: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ и $\tg 60^\circ = \sqrt{3}$.
Вычислим числитель, используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$:
$\sqrt{(\cos 60^\circ - \sin 60^\circ)^2} = |\cos 60^\circ - \sin 60^\circ| = |\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}|$.
Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $1 - \sqrt{3} < 0$, следовательно, выражение под модулем отрицательно. Раскрывая модуль, меняем знак:
$|\frac{1 - \sqrt{3}}{2}| = -(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.
Вычислим знаменатель:
$\sin 30^\circ \cdot (1 - \tg 60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (1 - \sqrt{3}) = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$.
Найдем значение всего выражения:
$\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac{1-\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{1-\sqrt{3}} = \frac{- (1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}} = -1$.
Ответ: $-1$.

4) Подставим табличные значения тригонометрических функций: $\tg\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, $\ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ и $\ctg\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Вычислим числитель:
$\sqrt{(\tg\frac{\pi}{6} - \tg\frac{\pi}{3})^2} = |\tg\frac{\pi}{6} - \tg\frac{\pi}{3}| = |\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}| = |\frac{1 - (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}}| = |\frac{1-3}{\sqrt{3}}| = |\frac{-2}{\sqrt{3}}| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Вычислим знаменатель:
$(\ctg\frac{\pi}{6} - \ctg\frac{\pi}{3})^2 = (\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = (\frac{(\sqrt{3})^2 - 1}{\sqrt{3}})^2 = (\frac{3-1}{\sqrt{3}})^2 = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}$.
Найдем значение всего выражения:
$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

20.19. Найдите несколько значений $\alpha$, при которых равно нулю значение выражения:

1) $\cos\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha$;

2) $\sin\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha$;

3) $\sin\alpha + \cos\alpha$.

1) Чтобы найти значения $α$, при которых выражение $cos α ⋅ tg α$ равно нулю, приравняем его к нулю, учитывая область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение $tg α$ определено, если $cos α ≠ 0$, то есть $α ≠ \frac{π}{2} + πk$, где $k$ – любое целое число ($k ∈ Z$).

Упростим выражение, используя определение тангенса $tg α = \frac{sin α}{cos α}$:

$cos α ⋅ tg α = cos α ⋅ \frac{sin α}{cos α} = sin α$.

Теперь решим уравнение $sin α = 0$.

Решением этого уравнения является $α = πn$, где $n ∈ Z$.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как при $α = πn$ косинус равен $cos(πn) = (-1)^n ≠ 0$.

Найдем несколько частных значений:

при $n = 0, α = 0$;

при $n = 1, α = π$ (или $180°$);

при $n = 2, α = 2π$ (или $360°$).

Ответ: например, $α = 0, α = π, α = 2π$.

2) Рассмотрим выражение $sin α ⋅ ctg α$ и найдем значения $α$, при которых оно равно нулю.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием существования $ctg α$. Котангенс $ctg α = \frac{cos α}{sin α}$ определен, если $sin α ≠ 0$, то есть $α ≠ πn$, где $n ∈ Z$.

Упростим выражение:

$sin α ⋅ ctg α = sin α ⋅ \frac{cos α}{sin α} = cos α$.

Приравняем полученное выражение к нулю: $cos α = 0$.

Решением этого уравнения является $α = \frac{π}{2} + πk$, где $k ∈ Z$.

Проверим, удовлетворяют ли эти значения ОДЗ. При $α = \frac{π}{2} + πk$, синус равен $sin(\frac{π}{2} + πk) = (-1)^k ≠ 0$. Следовательно, найденные значения входят в ОДЗ.

Найдем несколько частных значений:

при $k = 0, α = \frac{π}{2}$ (или $90°$);

при $k = 1, α = \frac{3π}{2}$ (или $270°$);

при $k = -1, α = -\frac{π}{2}$ (или $-90°$).

Ответ: например, $α = \frac{π}{2}, α = \frac{3π}{2}, α = -\frac{π}{2}$.

3) Найдем значения $α$, при которых выражение $sin α + cos α$ равно нулю.

Решим уравнение $sin α + cos α = 0$.

Перенесем $cos α$ в правую часть: $sin α = -cos α$.

Разделим обе части уравнения на $cos α$. Это можно сделать, так как если бы $cos α = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $sin α = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю, поскольку $sin^2α + cos^2α = 1$. Следовательно, $cos α ≠ 0$.

Получаем: $\frac{sin α}{cos α} = -1$.

Используя определение тангенса, имеем $tg α = -1$.

Решением этого уравнения является $α = arctg(-1) + πn$, где $n ∈ Z$.

Так как $arctg(-1) = -\frac{π}{4}$, общее решение имеет вид $α = -\frac{π}{4} + πn$, где $n ∈ Z$.

Найдем несколько частных значений:

при $n = 0, α = -\frac{π}{4}$ (или $-45°$);

при $n = 1, α = -\frac{π}{4} + π = \frac{3π}{4}$ (или $135°$);

при $n = 2, α = -\frac{π}{4} + 2π = \frac{7π}{4}$ (или $315°$).

Ответ: например, $α = -\frac{π}{4}, α = \frac{3π}{4}, α = \frac{7π}{4}$.

20.20. Проверьте, является ли последовательность $ \frac{1}{\tan\frac{\pi}{6}} $, $ \frac{1}{\sin\frac{\pi}{3}} $, $ \frac{1}{\cot\frac{\pi}{6}} $ арифметической прогрессией.

Чтобы проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией, необходимо вычислить ее члены и проверить, выполняется ли для них характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность $a_1, a_2, a_3$ является арифметической прогрессией, если выполняется равенство $2a_2 = a_1 + a_3$.

Данная нам последовательность: $a_1 = \frac{1}{\tg{\frac{\pi}{6}}}$, $a_2 = \frac{1}{\sin{\frac{\pi}{3}}}$, $a_3 = \frac{1}{\ctg{\frac{\pi}{6}}}$.

Вычислим значения каждого члена последовательности, используя табличные значения тригонометрических функций:

• $\tg{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
• $\sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\ctg{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3}$

Подставим эти значения в выражения для членов последовательности:
$a_1 = \frac{1}{\tg{\frac{\pi}{6}}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$
$a_2 = \frac{1}{\sin{\frac{\pi}{3}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
$a_3 = \frac{1}{\ctg{\frac{\pi}{6}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Таким образом, мы получили числовую последовательность: $\sqrt{3}$, $\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Теперь проверим выполнение характеристического свойства $2a_2 = a_1 + a_3$.
Найдем сумму первого и третьего членов:
$a_1 + a_3 = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Найдем удвоенное значение второго члена:
$2a_2 = 2 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Поскольку $a_1 + a_3 = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ и $2a_2 = \frac{4\sqrt{3}}{3}$, равенство $2a_2 = a_1 + a_3$ выполняется. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: данная последовательность является арифметической прогрессией.

20.21. Найдите четыре значения α, при которых:

1) $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Решим уравнение $sin\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение тригонометрического уравнения $sin\alpha = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле $\alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, а главное значение арксинуса $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, общее решение имеет вид: $\alpha = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$.

Для нахождения четырех различных значений $\alpha$ подставим в формулу различные целые значения $k$:

1. При $k=0$: $\alpha = (-1)^0 (-\frac{\pi}{4}) + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$.

2. При $k=1$: $\alpha = (-1)^1 (-\frac{\pi}{4}) + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.

3. При $k=2$: $\alpha = (-1)^2 (-\frac{\pi}{4}) + \pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$.

4. При $k=-1$: $\alpha = (-1)^{-1} (-\frac{\pi}{4}) - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}$.

2) Решим уравнение $cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение уравнения $cos\alpha = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле $\alpha = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, а $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, общее решение: $\alpha = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Это дает две серии решений. Найдем по два значения из каждой серии, подставляя различные целые значения $k$:

1. Из серии $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ при $k=0$: $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

2. Из этой же серии при $k=1$: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$.

3. Из серии $\alpha = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ при $k=0$: $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$.

4. Из этой же серии при $k=1$: $\alpha = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

3) Решим уравнение $sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используем общую формулу для синуса: $\alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Общее решение: $\alpha = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$.

Для нахождения четырех различных значений $\alpha$ подставим в формулу различные целые значения $k$:

1. При $k=0$: $\alpha = (-1)^0 (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3}$.

2. При $k=1$: $\alpha = (-1)^1 (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.

3. При $k=2$: $\alpha = (-1)^2 (-\frac{\pi}{3}) + \pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.

4. При $k=-1$: $\alpha = (-1)^{-1} (-\frac{\pi}{3}) - \pi = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$.

20.22. Найдите четыре значения $ \alpha $, при которых:

1) $ \cos\alpha = -0,5; $

2) $ \text{tg}\alpha = \sqrt{3}; $

3) $ \text{ctg}\alpha = -\sqrt{3}. $

1) Требуется найти четыре значения $\alpha$ для уравнения $\cos\alpha = -0,5$.
Общая формула для решения уравнения $\cos\alpha = a$ имеет вид $\alpha = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).
В данном случае $a = -0,5$.
Найдем главное значение угла, $\arccos(-0,5)$. Используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos(-0,5) = \pi - \arccos(0,5) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Таким образом, общее решение уравнения: $\alpha = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Это дает нам две серии решений:

• $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
• $\alpha = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

2) Требуется найти четыре значения $\alpha$ для уравнения $\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{3}$.
Общая формула для решения уравнения $\operatorname{tg}\alpha = a$ имеет вид $\alpha = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
В данном случае $a = \sqrt{3}$.
Найдем главное значение угла: $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Таким образом, общее решение уравнения: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k$.
Для нахождения четырех различных значений $\alpha$ подставим разные целые значения $k$.
При $k = 0$: $\alpha_1 = \frac{\pi}{3}$.
При $k = 1$: $\alpha_2 = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.
При $k = 2$: $\alpha_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.
При $k = -1$: $\alpha_4 = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.
Итак, мы нашли четыре значения $\alpha$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}; -\frac{2\pi}{3}$.

3) Требуется найти четыре значения $\alpha$ для уравнения $\operatorname{ctg}\alpha = -\sqrt{3}$.
Общая формула для решения уравнения $\operatorname{ctg}\alpha = a$ имеет вид $\alpha = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
В данном случае $a = -\sqrt{3}$.
Найдем главное значение угла, $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$. Используем формулу $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$.
$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, общее решение уравнения: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi k$.
Для нахождения четырех различных значений $\alpha$ подставим разные целые значения $k$.
При $k = 0$: $\alpha_1 = \frac{5\pi}{6}$.
При $k = 1$: $\alpha_2 = \frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6}$.
При $k = 2$: $\alpha_3 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$.
При $k = -1$: $\alpha_4 = \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6}$.
Итак, мы нашли четыре значения $\alpha$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}$.

20.23. Найдите значение выражения:

1) $2 \cdot \text{tg}30^\circ \text{ctg}30^\circ \cos 30^\circ \sin30^\circ + \sqrt{3} \cdot \text{tg} 60^\circ;$

2) $\frac{4 \cdot \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{2} + 2\cos \pi} + 2.$

1) Для решения данного выражения воспользуемся известными значениями тригонометрических функций и основными тригонометрическими тождествами.

Исходное выражение: $2 \cdot \operatorname{tg}30^\circ \operatorname{ctg}30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ + \sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 60^\circ$.

Упростим выражение по частям. Рассмотрим первое слагаемое: $2 \cdot \operatorname{tg}30^\circ \operatorname{ctg}30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$. При $\alpha = 30^\circ$ получаем $\operatorname{tg}30^\circ \cdot \operatorname{ctg}30^\circ = 1$.

Также воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Тогда $2\sin 30^\circ \cos 30^\circ = \sin(2 \cdot 30^\circ) = \sin 60^\circ$.

Перегруппировав множители в первом слагаемом, получим:
$2 \cdot \operatorname{tg}30^\circ \operatorname{ctg}30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ = (\operatorname{tg}30^\circ \operatorname{ctg}30^\circ) \cdot (2\sin 30^\circ \cos 30^\circ) = 1 \cdot \sin 60^\circ = \sin 60^\circ$.

Значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим второе слагаемое: $\sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 60^\circ$.
Значение тангенса $60^\circ$ равно $\sqrt{3}$.
Следовательно, $\sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$.

Теперь сложим результаты, полученные для обоих слагаемых:
$\sin 60^\circ + 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} + 3$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + 3$

2) Для нахождения значения выражения подставим известные значения тригонометрических функций.

Исходное выражение: $\frac{4 \cdot \sin\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} + 2\cos\pi} + 2$.

Вспомним значения тригонометрических функций для данных углов:
$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\frac{\pi}{2} = 1$
$\cos\pi = -1$

Подставим эти значения в выражение. Сначала вычислим значение числителя дроби:
$4 \cdot \sin\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Далее вычислим значение знаменателя дроби:
$\sin\frac{\pi}{2} + 2\cos\pi = 1 + 2 \cdot (-1) = 1 - 2 = -1$.

Теперь вычислим значение всей дроби:
$\frac{2 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{-1} = -(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, прибавим 2 к полученному результату:
$(-2 + \frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

20.24. Чему равно значение выражения:

1) $\sqrt{\frac{3}{4} + 2\cos^2 30^\circ} + \sqrt{\frac{5}{4} - 3\text{tg}^2 30^\circ}$;

2) $\sqrt{\text{tg}^2 \frac{\pi}{3} - 2\frac{3}{4} - 2\sin \frac{3\pi}{4}}$?

1) Вычислим значение выражения $ \sqrt{\frac{3}{4} + 2\cos^2{30^\circ}} + \sqrt{\frac{5}{4} - 3\operatorname{tg}^2{30^\circ}} $.

Сначала найдем значения тригонометрических функций и их квадратов:

$ \cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, следовательно, $ \cos^2{30^\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} $.

$ \operatorname{tg}{30^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} $, следовательно, $ \operatorname{tg}^2{30^\circ} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} $.

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$ \sqrt{\frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{3}{4}} + \sqrt{\frac{5}{4} - 3 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{6}{4}} + \sqrt{\frac{5}{4} - 1} $.

Упростим выражения под знаками корня:

$ \sqrt{\frac{3+6}{4}} + \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{1}{4}} $.

Извлечем квадратные корни:

$ \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2 $.

Ответ: $2$.

2) Вычислим значение выражения $ \sqrt{\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{3} - 2\frac{3}{4} - 2\sin\frac{3\pi}{4}} $.

Запись $ -2\frac{3}{4} $ в данном выражении является неоднозначной. Если интерпретировать ее как смешанное число $ -(2 + \frac{3}{4}) = -\frac{11}{4} $, то выражение под корнем становится отрицательным: $ \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{3} - \frac{11}{4} - 2\sin\frac{3\pi}{4} = 3 - \frac{11}{4} - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{4} - \sqrt{2} < 0 $, и его значение в действительных числах не определено.Скорее всего, в условии задачи допущена опечатка, и под $ -2\frac{3}{4} $ подразумевается произведение $ -2 \cdot \frac{3}{4} $. При такой интерпретации задача имеет решение.

Решим выражение $ \sqrt{\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{3} - 2 \cdot \frac{3}{4} - 2\sin\frac{3\pi}{4}} $.

Найдем значения тригонометрических функций:

$ \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $, следовательно, $ \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{3} = (\sqrt{3})^2 = 3 $.

$ \sin\frac{3\pi}{4} = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим вычисленные значения в выражение:

$ \sqrt{3 - 2 \cdot \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3 - \frac{3}{2} - \sqrt{2}} $.

Упростим выражение под корнем:

$ \sqrt{\frac{6}{2} - \frac{3}{2} - \sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2} - \sqrt{2}} $.

Для извлечения корня представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности, используя формулу $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ \frac{3}{2} - \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2} - \sqrt{2} = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 $.

Теперь можем извлечь корень:

$ \sqrt{\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \left|1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right| $.

Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 $. Значение $ 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $, следовательно, знак модуля можно опустить.

$ \left|1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right| = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.