Страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

60. 1) Моторная лодка прошла путь длиной 45 км по течению реки и 22 км против течения реки, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость движения лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2) Моторная лодка прошла путь длиной 10 км против течения реки и 7 км по течению реки, затратив на путь по течению реки на 30 мин меньше, чем на путь против течения реки. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Найдите скорость течения реки.

1) Пусть $x$ км/ч — искомая скорость движения лодки в стоячей воде. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(x - 2)$ км/ч. Время, затраченное на путь в 45 км по течению, составляет $\frac{45}{x+2}$ часов, а на путь в 22 км против течения — $\frac{22}{x-2}$ часов. По условию, на весь путь было затрачено 5 часов, поэтому можем составить уравнение: $\frac{45}{x+2} + \frac{22}{x-2} = 5$. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю: $45(x-2) + 22(x+2) = 5(x+2)(x-2)$. Раскроем скобки и упростим: $45x - 90 + 22x + 44 = 5(x^2 - 4)$, что приводит к $67x - 46 = 5x^2 - 20$. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $5x^2 - 67x + 26 = 0$. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-67)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 26 = 4489 - 520 = 3969$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 63$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{67 + 63}{2 \cdot 5} = \frac{130}{10} = 13$ и $x_2 = \frac{67 - 63}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0.4$. Корень $x_2 = 0.4$ не удовлетворяет условию $x > 2$, поэтому он является посторонним. Единственным решением является $x=13$.
Ответ: 13 км/ч.

2) Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(12 + x)$ км/ч, а скорость против течения — $(12 - x)$ км/ч. Время, затраченное на путь в 10 км против течения, равно $\frac{10}{12-x}$ часов. Время, затраченное на путь в 7 км по течению, равно $\frac{7}{12+x}$ часов. По условию, на путь по течению было затрачено на 30 минут (то есть на 0,5 часа) меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение: $\frac{10}{12-x} - \frac{7}{12+x} = 0.5$. Скорость течения должна быть положительной и меньше собственной скорости лодки, то есть $0 < x < 12$. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю и умножим обе части на $2(12-x)(12+x)$, чтобы избавиться от знаменателей и дроби в правой части: $2 \cdot 10(12+x) - 2 \cdot 7(12-x) = (12-x)(12+x)$. Раскроем скобки: $20(12+x) - 14(12-x) = 144 - x^2$, что дает $240 + 20x - 168 + 14x = 144 - x^2$. Упростим выражение: $72 + 34x = 144 - x^2$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 + 34x - 72 = 0$. Решим его с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1156 + 288 = 1444$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 38$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-34 + 38}{2} = \frac{4}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{-34 - 38}{2} = \frac{-72}{2} = -36$. Корень $x_2 = -36$ является посторонним, так как скорость не может быть отрицательной. Решение $x_1=2$ удовлетворяет условию $0 < x < 12$.
Ответ: 2 км/ч.

61. 1) Для сада выделен участок земли прямоугольной формы. Длина изгороди, которой будет обнесен сад, окажется меньшей, если этот участок заменить участком квадратной формы такой же площади. Для этого надо длину выделенного участка уменьшить на 40 м, а ширину увеличить на 30 м. Какова длина и ширина выделенного участка?

Пусть первоначальная длина участка равна $L$ (м), а ширина равна $W$ (м). Площадь участка $S = LW$. Новые измерения для квадратного участка: длина $L_k = L - 40$ (м), ширина $W_k = W + 30$ (м). Так как новый участок квадратной формы, его стороны равны: $L - 40 = W + 30$ Площадь нового участка $S_k = (L - 40)(W + 30)$. По условию площадь не изменилась: $LW = (L - 40)(W + 30)$

2) Для школьной площадки выделен участок земли прямоугольной формы. Если его заменить участком такой же площади квадратной формы, то потребуется меньше материала для его огораживания. Для этого надо длину участка уменьшить на 12 м, ширину увеличить на 10 м. Чему равна длина стороны участка квадратной формы?

Пусть первоначальная длина участка равна $L$ (м), а ширина равна $W$ (м). Площадь участка $S = LW$. Новые измерения для квадратного участка: длина $L_k = L - 12$ (м), ширина $W_k = W + 10$ (м). Так как новый участок квадратной формы, его стороны равны: $L - 12 = W + 10$ Площадь нового участка $S_k = (L - 12)(W + 10)$. По условию площадь не изменилась: $LW = (L - 12)(W + 10)$

3) Длина садового участка на 10 м больше его ширины. Его площадь решили увеличить на 400 м². Для этого длину садового участка увеличили на 10 м, ширину — на 2 м. Найдите площадь нового садового участка.

Пусть первоначальная ширина садового участка равна $W$ (м). Тогда его длина $L = W + 10$ (м). Первоначальная площадь $S = W(W + 10)$. Новая длина участка $L_{нов} = (W + 10) + 10 = W + 20$ (м). Новая ширина участка $W_{нов} = W + 2$ (м). Новая площадь $S_{нов} = (W + 20)(W + 2)$. По условию площадь увеличилась на 400 м²: $(W + 20)(W + 2) = W(W + 10) + 400$

4) Под строительную площадку отвели участок прямоугольной формы, длина которого на 25 м больше его ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, ширину — на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м². Найдите площадь образовавшейся строительной площадки.

Пусть первоначальная ширина строительной площадки равна $W$ (м). Тогда ее длина $L = W + 25$ (м). Первоначальная площадь $S = W(W + 25)$. Новая длина площадки $L_{нов} = (W + 25) + 5 = W + 30$ (м). Новая ширина площадки $W_{нов} = W + 4$ (м). Новая площадь $S_{нов} = (W + 30)(W + 4)$. По условию площадь увеличилась на 300 м²: $(W + 30)(W + 4) = W(W + 25) + 300$

1) Пусть $l$ - первоначальная длина участка, а $w$ - его первоначальная ширина (в метрах). Площадь прямоугольного участка равна $S_1 = l \cdot w$.
После изменений длина стала $l - 40$ м, а ширина $w + 30$ м. Новый участок имеет квадратную форму, значит, его стороны равны: $l - 40 = w + 30$.
Площадь нового участка (квадрата) равна $S_2 = (l - 40)^2$ (или $(w + 30)^2$). По условию, площади участков равны, то есть $S_1 = S_2$.
Получаем систему уравнений:
$l - 40 = w + 30$
$l \cdot w = (l - 40)^2$
Из первого уравнения выразим $l$: $l = w + 30 + 40$, то есть $l = w + 70$.
Подставим это выражение для $l$ во второе уравнение:
$(w + 70) \cdot w = ((w + 70) - 40)^2$
$w^2 + 70w = (w + 30)^2$
$w^2 + 70w = w^2 + 2 \cdot w \cdot 30 + 30^2$
$w^2 + 70w = w^2 + 60w + 900$
$70w - 60w = 900$
$10w = 900$
$w = 90$ м.
Теперь найдем первоначальную длину:
$l = w + 70 = 90 + 70 = 160$ м.
Ответ: длина выделенного участка 160 м, ширина 90 м.

2) Пусть $l$ и $w$ - первоначальные длина и ширина прямоугольного участка, а $a$ - сторона квадратного участка (в метрах).
Площадь прямоугольного участка $S_{прям} = l \cdot w$. Площадь квадратного участка $S_{квад} = a^2$. По условию, площади равны: $l \cdot w = a^2$.
Чтобы получить квадратный участок, длину уменьшили на 12 м, а ширину увеличили на 10 м. Это значит, что сторона квадрата $a$ связана с первоначальными размерами следующими соотношениями:
$a = l - 12$
$a = w + 10$
Приравняем правые части: $l - 12 = w + 10$, откуда $l = w + 22$.
Подставим выражения для $l$ и $a$ в уравнение равенства площадей $l \cdot w = a^2$:
$(w + 22) \cdot w = (w + 10)^2$
$w^2 + 22w = w^2 + 20w + 100$
$22w - 20w = 100$
$2w = 100$
$w = 50$ м.
Теперь найдем сторону квадратного участка $a$:
$a = w + 10 = 50 + 10 = 60$ м.
Ответ: сторона участка квадратной формы равна 60 м.

3) Пусть $w_1$ - первоначальная ширина садового участка, тогда его первоначальная длина $l_1 = w_1 + 10$ (в метрах).
Первоначальная площадь участка: $S_1 = l_1 \cdot w_1 = (w_1 + 10) \cdot w_1 = w_1^2 + 10w_1$.
Длину увеличили на 10 м, а ширину уменьшили на 2 м. Новые размеры:
Новая длина $l_2 = l_1 + 10 = (w_1 + 10) + 10 = w_1 + 20$.
Новая ширина $w_2 = w_1 - 2$.
Новая площадь участка: $S_2 = l_2 \cdot w_2 = (w_1 + 20)(w_1 - 2)$.
По условию, новая площадь на 400 м² больше первоначальной: $S_2 = S_1 + 400$.
Составим уравнение:
$(w_1 + 20)(w_1 - 2) = (w_1^2 + 10w_1) + 400$
$w_1^2 - 2w_1 + 20w_1 - 40 = w_1^2 + 10w_1 + 400$
$w_1^2 + 18w_1 - 40 = w_1^2 + 10w_1 + 400$
$18w_1 - 10w_1 = 400 + 40$
$8w_1 = 440$
$w_1 = 55$ м.
Первоначальная площадь $S_1 = 55^2 + 10 \cdot 55 = 3025 + 550 = 3575$ м².
Найдем площадь нового садового участка $S_2$:
$S_2 = S_1 + 400 = 3575 + 400 = 3975$ м².
Ответ: площадь нового садового участка 3975 м².

4) Пусть $w_1$ - первоначальная ширина строительной площадки, тогда ее первоначальная длина $l_1 = w_1 + 25$ (в метрах).
Первоначальная площадь площадки: $S_1 = l_1 \cdot w_1 = (w_1 + 25) \cdot w_1 = w_1^2 + 25w_1$.
При утверждении плана длину увеличили на 5 м, а ширину уменьшили на 4 м. Новые размеры:
Новая длина $l_2 = l_1 + 5 = (w_1 + 25) + 5 = w_1 + 30$.
Новая ширина $w_2 = w_1 - 4$.
Новая площадь площадки: $S_2 = l_2 \cdot w_2 = (w_1 + 30)(w_1 - 4)$.
По условию, новая площадь на 300 м² больше первоначальной: $S_2 = S_1 + 300$.
Составим уравнение:
$(w_1 + 30)(w_1 - 4) = (w_1^2 + 25w_1) + 300$
$w_1^2 - 4w_1 + 30w_1 - 120 = w_1^2 + 25w_1 + 300$
$w_1^2 + 26w_1 - 120 = w_1^2 + 25w_1 + 300$
$26w_1 - 25w_1 = 300 + 120$
$w_1 = 420$ м.
Найдем первоначальную площадь: $S_1 = 420^2 + 25 \cdot 420 = 176400 + 10500 = 186900$ м².
Задача спрашивает площадь образовавшейся строительной площадки $S_2$:
$S_2 = S_1 + 300 = 186900 + 300 = 187200$ м².
Ответ: площадь образовавшейся строительной площадки 187200 м².

62.1 ) Вкладчик решил положить в банк на депозит 100 000 тг. Известно, что в банке А вклад возрастает один раз в год на 12%, а в банке В он возрастает ежемесячно на 1% от находящейся на депозите суммы. В каком из банков доход будет больше и на сколько?

2) Среди 400 000 жителей города 60% не интересуются футболом. Среди футбольных болельщиков 75% смотрели по телевидению финал мирового чемпионата по футболу.

a) Сколько жителей этого города смотрели этот матч?

б) Какой процент жителей города не смотрели этот матч?

3) Цена на книгу по акции “Уценка товара” была снижена на 50 тг/кн. Изначально цена книги была 300 тг/кн. На сколько процентов нужно поднять новую цену книги, чтобы вернуться к старой цене в 300 тг/кн.?

62.1)

Для решения этой задачи сравним итоговые суммы на депозите через год в каждом из банков.

Банк А:

Вклад увеличивается один раз в год на 12%. Итоговая сумма через год рассчитывается по формуле простых процентов:

$S_A = S_0 \cdot (1 + r)$, где $S_0$ — начальная сумма, $r$ — годовая процентная ставка.

$S_A = 100 \ 000 \cdot (1 + 0.12) = 100 \ 000 \cdot 1.12 = 112 \ 000$ тг.

Доход в банке А составит: $112 \ 000 - 100 \ 000 = 12 \ 000$ тг.

Банк В:

Вклад увеличивается ежемесячно на 1% от текущей суммы. Это случай сложных процентов с ежемесячной капитализацией. Формула для расчета итоговой суммы:

$S_B = S_0 \cdot (1 + r_m)^n$, где $r_m$ — месячная процентная ставка, $n$ — количество месяцев.

В нашем случае $r_m = 1\% = 0.01$ и $n = 12$ (месяцев в году).

$S_B = 100 \ 000 \cdot (1 + 0.01)^{12} = 100 \ 000 \cdot (1.01)^{12}$

Вычислим $(1.01)^{12} \approx 1.126825$.

$S_B \approx 100 \ 000 \cdot 1.126825 = 112 \ 682.5$ тг.

Доход в банке В составит: $112 \ 682.5 - 100 \ 000 = 12 \ 682.5$ тг.

Сравнение доходов:

Доход в банке В ($12 \ 682.5$ тг) больше, чем доход в банке А ($12 \ 000$ тг).

Разница составляет: $12 \ 682.5 - 12 \ 000 = 682.5$ тг.

Ответ: Доход будет больше в банке В на 682.5 тг.

2)

а) Сколько жителей этого города смотрели этот матч?

1. Найдем количество футбольных болельщиков. Если 60% не интересуются футболом, то интересуются: $100\% - 60\% = 40\%$.

Количество болельщиков: $400 \ 000 \cdot 0.40 = 160 \ 000$ жителей.

2. Найдем, сколько из них смотрели финал. Известно, что это 75% от числа болельщиков.

Количество смотревших матч: $160 \ 000 \cdot 0.75 = 120 \ 000$ жителей.

Ответ: 120 000 жителей города смотрели этот матч.

б) Какой процент жителей города не смотрели этот матч?

1. Найдем общее количество жителей, которые не смотрели матч. Это все жители минус те, кто смотрел.

Количество не смотревших матч: $400 \ 000 - 120 \ 000 = 280 \ 000$ жителей.

2. Найдем, какой это процент от общего числа жителей города.

Процент не смотревших: $\frac{280 \ 000}{400 \ 000} \cdot 100\% = 0.7 \cdot 100\% = 70\%$.

Ответ: 70% жителей города не смотрели этот матч.

3)

1. Найдем новую цену книги после уценки.

Новая цена = Старая цена - Снижение цены

Новая цена = $300 - 50 = 250$ тг/кн.

2. Чтобы вернуться к старой цене в 300 тг/кн, новую цену нужно повысить на $300 - 250 = 50$ тг/кн.

3. Теперь рассчитаем, сколько это составляет в процентах от новой цены (250 тг/кн), которая является базой для повышения.

Процент повышения = $(\frac{\text{Сумма повышения}}{\text{Новая цена}}) \cdot 100\%$

Процент повышения = $\frac{50}{250} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: Новую цену книги нужно поднять на 20%, чтобы вернуться к старой цене.