Страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

34. Найдите, не вычисляя корни, значения суммы и произведения корней уравнения:

1) $x^2 - 4x - 6 = 0$;

2) $x^2 + 12x - 2,5 = 0$;

3) $2x^2 - 14x + 5 = 0$;

4) $3x^2 - 5x + 2 = 0$.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, не вычисляя сами корни, используется теорема Виета. Согласно этой теореме, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то их сумма и произведение равны:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Теорема Виета применима, если уравнение имеет действительные корни. Убедимся в этом для каждого случая, проверив знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

1) $x^2 - 4x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = -4$, $c = -6$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6$.

Ответ: сумма корней 4, произведение корней -6.

2) $x^2 + 12x - 2,5 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 12$, $c = -2,5$. Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2,5) = 144 + 10 = 154$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{12}{1} = -12$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2,5}{1} = -2,5$.

Ответ: сумма корней -12, произведение корней -2,5.

3) $2x^2 - 14x + 5 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -14$, $c = 5$. Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 196 - 40 = 156$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-14}{2} = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: сумма корней 7, произведение корней 2,5.

4) $3x^2 - 5x + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$.

Ответ: сумма корней $\frac{5}{3}$, произведение корней $\frac{2}{3}$.

35. Не вычисляя корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 4x - 9 = 0$ найдите:

1) $x_1^2 + x_2^2$;

2) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$;

3) $x_1^3 + x_2^3$;

4) $x_1^4 + x_2^4 + x_1x_2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней уравнения $x_1$ и $x_2$ равна $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение равно $x_1x_2 = q$.

В данном уравнении $x^2 - 4x - 9 = 0$ коэффициенты равны $p = -4$ и $q = -9$.

Следовательно, для корней этого уравнения справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$

Произведение корней: $x_1x_2 = -9$

Используя эти два соотношения, найдем значения требуемых выражений.

1) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся известным тождеством, которое получается из формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Выразим $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим известные значения $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1x_2 = -9$:

$x_1^2 + x_2^2 = (4)^2 - 2 \cdot (-9) = 16 + 18 = 34$

Ответ: 34

2) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

В этом выражении можно вынести за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-9) \cdot 4 = -36$

Ответ: -36

3) $x_1^3 + x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней воспользуемся тождеством $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Преобразуем его, чтобы использовать уже известные нам величины:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2)$

Из пункта 1 мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 34$. Подставим все известные значения в формулу:

$x_1^3 + x_2^3 = 4 \cdot (34 - (-9)) = 4 \cdot (34 + 9) = 4 \cdot 43 = 172$

Также можно использовать другую формулу: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) = 4^3 - 3 \cdot (-9) \cdot 4 = 64 + 108 = 172$

Ответ: 172

4) $x_1^4 + x_2^4 + x_1x_2$

Сначала найдем сумму четвертых степеней корней, $x_1^4 + x_2^4$. Для этого возведем в квадрат сумму квадратов корней, которую мы нашли в пункте 1:

$(x_1^2 + x_2^2)^2 = (x_1^2)^2 + 2x_1^2x_2^2 + (x_2^2)^2 = x_1^4 + x_2^4 + 2(x_1x_2)^2$

Отсюда выразим искомую сумму $x_1^4 + x_2^4$:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Подставим значения $x_1^2 + x_2^2 = 34$ и $x_1x_2 = -9$:

$x_1^4 + x_2^4 = 34^2 - 2 \cdot (-9)^2 = 1156 - 2 \cdot 81 = 1156 - 162 = 994$

Теперь мы можем вычислить значение всего выражения, прибавив произведение корней:

$x_1^4 + x_2^4 + x_1x_2 = 994 + (-9) = 985$

Ответ: 985

36. Решите уравнение:

1) $x^2 - 5x - 12 = 6;$

2) $x^2 - 5x - 4 = 10;$

3) $x^2 + 8x = -16 - 2x;$

4) $x^2 + x - 2 = 2 - 2x;$

5) $-x^2 + 3x - 12 = -4x;$

6) $9x - x^2 = 6 + 2x;$

7) $-x^2 + 5x = 18 - 6x;$

8) $x - 2x^2 + 7 = -1 - 5x;$

9) $2x - 3x^2 + 8 = -1 - 6x.$

1) $x^2 - 5x - 12 = 6$

Чтобы решить уравнение, сначала приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть.

$x^2 - 5x - 12 - 6 = 0$

$x^2 - 5x - 18 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-5$, $c=-18$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 25 + 72 = 97$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{97}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{97}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{97}}{2}, x_2 = \frac{5 + \sqrt{97}}{2}$.

2) $x^2 - 5x - 4 = 10$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 5x - 4 - 10 = 0$

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=-14$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 9}{2}$.

$x_1 = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Ответ: -2; 7.

3) $x^2 + 8x = -16 - 2x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 8x + 2x + 16 = 0$

$x^2 + 10x + 16 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=10$, $c=16$.

Вычислим дискриминант:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 6}{2}$.

$x_1 = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

$x_2 = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: -8; -2.

4) $x^2 + x - 2 = 2 - 2x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + x + 2x - 2 - 2 = 0$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}$.

$x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: -4; 1.

5) $-x^2 + 3x - 12 = -4x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-x^2 + 3x + 4x - 12 = 0$

$-x^2 + 7x - 12 = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 7x + 12 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-7$, $c=12$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Ответ: 3; 4.

6) $9x - x^2 = 6 + 2x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-x^2 + 9x - 2x - 6 = 0$

$-x^2 + 7x - 6 = 0$

Умножим на -1:

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-7$, $c=6$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 5}{2}$.

$x_1 = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Ответ: 1; 6.

7) $-x^2 + 5x = 18 - 6x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-x^2 + 5x + 6x - 18 = 0$

$-x^2 + 11x - 18 = 0$

Умножим на -1:

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-11$, $c=18$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 7}{2}$.

$x_1 = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Ответ: 2; 9.

8) $x - 2x^2 + 7 = -1 - 5x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-2x^2 + x + 5x + 7 + 1 = 0$

$-2x^2 + 6x + 8 = 0$

Разделим обе части на -2 для упрощения:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$.

$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Ответ: -1; 4.

9) $2x - 3x^2 + 8 = -1 - 6x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-3x^2 + 2x + 6x + 8 + 1 = 0$

$-3x^2 + 8x + 9 = 0$

Умножим на -1:

$3x^2 - 8x - 9 = 0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=-9$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 64 + 108 = 172$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 43}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{43}}{6}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x_{1,2} = \frac{2(4 \pm \sqrt{43})}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{43}}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{43}}{3}, x_2 = \frac{4 + \sqrt{43}}{3}$.

37. Найдите корни дробно-рационального уравнения:

1) $ \frac{x}{x - 3} + \frac{x}{x + 2} = 1; $

2) $ \frac{2}{6 + x} + \frac{5}{x - 1} = 1; $

3) $ \frac{1}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x + 5} + \frac{10}{25 - x^2} = 0; $

4) $ \frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} - \frac{1}{x - 6} = 0; $

5) $ \frac{x^3 + 8}{2x + 4} = 5x - 8; $

6) $ \frac{8x^3 + 27}{2x + 3} = 6x - 5; $

7) $ \frac{x^4 - 625}{25 - x^2} = -8x - 90; $

8) $ \frac{x^4 - 256}{x^2 - 16} = 8x + 9. $

1) $\frac{x}{x-3} + \frac{x}{x+2} = 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x-3 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Отсюда $x \neq 3$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-3)(x+2)$:

$\frac{x(x+2) + x(x-3)}{(x-3)(x+2)} = 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ:

$x(x+2) + x(x-3) = (x-3)(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + 2x + x^2 - 3x = x^2 + 2x - 3x - 6$

$2x^2 - x = x^2 - x - 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - x - x^2 + x + 6 = 0$

$x^2 + 6 = 0$

$x^2 = -6$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: нет корней.

2) $\frac{2}{6+x} + \frac{5}{x-1} = 1$

ОДЗ: $6+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$ и $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Общий знаменатель: $(6+x)(x-1)$. Умножим на него обе части уравнения:

$2(x-1) + 5(6+x) = (6+x)(x-1)$

Раскроем скобки:

$2x - 2 + 30 + 5x = 6x - 6 + x^2 - x$

$7x + 28 = x^2 + 5x - 6$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 5x - 7x - 6 - 28 = 0$

$x^2 - 2x - 34 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-34) = 4 + 136 = 140$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{140}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{35}}{2} = 1 \pm \sqrt{35}$.

Оба корня $1 + \sqrt{35}$ и $1 - \sqrt{35}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1 - \sqrt{35}; 1 + \sqrt{35}$.

3) $\frac{1}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x+5} + \frac{10}{25 - x^2} = 0$

Разложим знаменатели на множители: $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$, $25 - x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5)$.

Уравнение примет вид: $\frac{1}{(x-5)^2} - \frac{1}{x+5} - \frac{10}{(x-5)(x+5)} = 0$.

ОДЗ: $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ и $x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$.

Общий знаменатель: $(x-5)^2(x+5)$. Умножим на него обе части:

$1(x+5) - 1(x-5)^2 - 10(x-5) = 0$

$x+5 - (x^2 - 10x + 25) - 10x + 50 = 0$

$x+5 - x^2 + 10x - 25 - 10x + 50 = 0$

$-x^2 + x + 30 = 0$

$x^2 - x - 30 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -30$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -5$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x = -5$ является посторонним. Корень $x = 6$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $6$.

4) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} - \frac{1}{x-6} = 0$

Разложим знаменатели на множители: $x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$, $36 - x^2 = (6-x)(6+x) = -(x-6)(x+6)$.

Уравнение примет вид: $\frac{2}{(x+6)^2} - \frac{12}{-(x-6)(x+6)} - \frac{1}{x-6} = 0$, то есть $\frac{2}{(x+6)^2} + \frac{12}{(x-6)(x+6)} - \frac{1}{x-6} = 0$.

ОДЗ: $x+6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$ и $x-6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$.

Общий знаменатель: $(x+6)^2(x-6)$. Умножим на него обе части:

$2(x-6) + 12(x+6) - 1(x+6)^2 = 0$

$2x - 12 + 12x + 72 - (x^2 + 12x + 36) = 0$

$14x + 60 - x^2 - 12x - 36 = 0$

$-x^2 + 2x + 24 = 0$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -4$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x = 6$ является посторонним. Корень $x = -4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-4$.

5) $\frac{x^3 + 8}{2x + 4} = 5x - 8$

ОДЗ: $2x+4 \neq 0 \Rightarrow 2(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

Разложим числитель по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.

Знаменатель: $2x+4 = 2(x+2)$.

Подставим в уравнение: $\frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{2(x+2)} = 5x - 8$.

Сократим дробь на $(x+2)$ (т.к. $x \neq -2$):

$\frac{x^2 - 2x + 4}{2} = 5x - 8$

$x^2 - 2x + 4 = 2(5x - 8)$

$x^2 - 2x + 4 = 10x - 16$

$x^2 - 12x + 20 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 12$, $x_1 \cdot x_2 = 20$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 10$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 10$.

6) $\frac{8x^3 + 27}{2x + 3} = 6x - 5$

ОДЗ: $2x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$.

Разложим числитель по формуле суммы кубов: $8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$.

Подставим в уравнение: $\frac{(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)}{2x + 3} = 6x - 5$.

Сократим дробь на $(2x+3)$ (т.к. $x \neq -3/2$):

$4x^2 - 6x + 9 = 6x - 5$

$4x^2 - 12x + 14 = 0$

Разделим на 2: $2x^2 - 6x + 7 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4(2)(7) = 36 - 56 = -20$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

7) $\frac{x^4 - 625}{25 - x^2} = -8x - 90$

ОДЗ: $25 - x^2 \neq 0 \Rightarrow (5-x)(5+x) \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^4 - 625 = (x^2)^2 - 25^2 = (x^2-25)(x^2+25)$.

Знаменатель: $25-x^2 = -(x^2-25)$.

Подставим в уравнение: $\frac{(x^2-25)(x^2+25)}{-(x^2-25)} = -8x - 90$.

Сократим дробь на $(x^2-25)$ (т.к. $x \neq \pm 5$):

$-(x^2+25) = -8x - 90$

$-x^2 - 25 = -8x - 90$

$x^2 - 8x - 65 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4(1)(-65) = 64 + 260 = 324 = 18^2$.

Корни: $x_1 = \frac{8 + 18}{2} = 13$, $x_2 = \frac{8 - 18}{2} = -5$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x = -5$ является посторонним. Корень $x = 13$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $13$.

8) $\frac{x^4 - 256}{x^2 - 16} = 8x + 9$

ОДЗ: $x^2 - 16 \neq 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^4 - 256 = (x^2)^2 - 16^2 = (x^2-16)(x^2+16)$.

Подставим в уравнение: $\frac{(x^2-16)(x^2+16)}{x^2 - 16} = 8x + 9$.

Сократим дробь на $(x^2-16)$ (т.к. $x \neq \pm 4$):

$x^2 + 16 = 8x + 9$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = 7$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 7$.

19.19. Покажите штриховкой в координатной плоскости решение системы:

1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 < 9, \\ y \ge x^2 - 3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 \le 16, \\ y \le x^2 - 4; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 + y^2 < 25, \\ y \ge x^2 + 2; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 + y^2 > 4, \\ y \le x^2 + 9. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ y \ge x^2 - 3 \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает множество точек внутри и на окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), граница (окружность) включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство $y \ge x^2 - 3$ задает множество точек на и выше параболы $y = x^2 - 3$. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$, ветви направлены вверх. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), граница (парабола) также включается в решение и будет изображена сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух областей: область, которая находится одновременно внутри окружности и выше параболы.

Найдем точки пересечения границы областей — окружности $x^2 + y^2 = 9$ и параболы $y = x^2 - 3$. Из уравнения параболы выразим $x^2 = y + 3$ и подставим в уравнение окружности: $(y + 3) + y^2 = 9$ $y^2 + y - 6 = 0$ Решим квадратное уравнение относительно $y$ (например, по теореме Виета): $y_1 = 2$, $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$: При $y = 2$: $x^2 = 2 + 3 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$. Точки пересечения: $(\sqrt{5}, 2)$ и $(-\sqrt{5}, 2)$. При $y = -3$: $x^2 = -3 + 3 = 0 \implies x = 0$. Точка пересечения: $(0, -3)$.

Искомая область ограничена снизу дугой параболы, проходящей через точки $(-\sqrt{5}, 2)$, $(0, -3)$ и $(\sqrt{5}, 2)$, а сверху — дугой окружности, соединяющей точки $(-\sqrt{5}, 2)$ и $(\sqrt{5}, 2)$.

Ответ:

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ y \le x^2 - 4 \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 16$ задает круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Граница (окружность) включена в решение.

Второе неравенство $y \le x^2 - 4$ задает область на и ниже параболы $y = x^2 - 4$. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$, ветви направлены вверх. Граница (парабола) включена в решение.

Решением системы является пересечение этих двух областей: та часть круга, которая находится ниже или на параболе.

Найдем точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 16$ и параболы $y = x^2 - 4$. Выразим $x^2 = y + 4$ из уравнения параболы и подставим в уравнение окружности: $(y + 4) + y^2 = 16$ $y^2 + y - 12 = 0$ Решим квадратное уравнение: $(y+4)(y-3)=0$. Корни: $y_1 = -4$, $y_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $x$: При $y = 3$: $x^2 = 3 + 4 = 7 \implies x = \pm\sqrt{7}$. Точки пересечения: $(\sqrt{7}, 3)$ и $(-\sqrt{7}, 3)$. При $y = -4$: $x^2 = -4 + 4 = 0 \implies x = 0$. Точка пересечения: $(0, -4)$, которая является вершиной параболы и самой нижней точкой окружности.

Решение представляет собой две симметричные относительно оси OY области, каждая из которых ограничена дугой окружности и дугой параболы.

Ответ:

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 25 \\ y \ge x^2 + 2 \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ задает круг с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Граница (окружность) включена в решение.

Второе неравенство $y \ge x^2 + 2$ задает область на и выше параболы $y = x^2 + 2$. Вершина параболы в точке $(0, 2)$, ветви вверх. Граница (парабола) включена в решение.

Решением является пересечение этих областей: часть круга, расположенная выше или на параболе.

Найдем точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 25$ и параболы $y = x^2 + 2$. Из уравнения параболы $x^2 = y - 2$. Подставим в уравнение окружности: $(y - 2) + y^2 = 25$ $y^2 + y - 27 = 0$ Решим квадратное уравнение: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-27)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{109}}{2}$. Так как для параболы $y = x^2+2$ все значения $y \ge 2$, выбираем положительный корень: $y = \frac{-1 + \sqrt{109}}{2} \approx 4.72$.

Найдем $x$: $x^2 = y - 2 = \frac{-1 + \sqrt{109}}{2} - 2 = \frac{-5 + \sqrt{109}}{2} \approx 2.72$. $x = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{109}-5}{2}} \approx \pm1.65$. Точки пересечения: $(\approx -1.65, \approx 4.72)$ и $(\approx 1.65, \approx 4.72)$.

Решение — это область, ограниченная снизу параболой и сверху дугой окружности между точками их пересечения.

Ответ:

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 > 4 \\ y \le x^2 + 9 \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 > 4$ задает область вне окружности с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Так как неравенство строгое ($>$), граница (окружность) не включается в решение и будет изображена пунктирной линией.

Второе неравенство $y \le x^2 + 9$ задает область на и ниже параболы $y = x^2 + 9$. Вершина параболы в точке $(0, 9)$, ветви вверх. Граница (парабола) включена в решение и будет изображена сплошной линией.

Проверим, пересекаются ли границы. Окружность $x^2 + y^2 = 4$ имеет наивысшую точку $(0, 2)$. Парабола $y = x^2 + 9$ имеет наинизшую точку $(0, 9)$. Поскольку $2 < 9$, окружность полностью лежит ниже параболы, и пересечений нет.

Решением системы является пересечение двух областей: все точки плоскости, которые находятся ниже параболы $y = x^2 + 9$, за исключением точек, лежащих внутри или на окружности $x^2 + y^2 = 4$. Таким образом, решение — это вся область под параболой с "выколотым" кругом радиуса 2.

Ответ:

19.20. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 3x - 6}$;

2) $y = \sqrt{2x^2 - 5x - 3}$;

3) $y = \sqrt{-x^2 - 6x + 8}$;

4) $y = \sqrt{-2x^2 + x + 6}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 3x - 6}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 3x - 6 \ge 0$. Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$. Получаем корни $x_1 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$). Следовательно, выражение $x^2 - 3x - 6$ принимает неотрицательные значения при $x \le x_1$ и $x \ge x_2$. Таким образом, область определения функции: $(-\infty; \frac{3 - \sqrt{33}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{33}}{2}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; \frac{3 - \sqrt{33}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{33}}{2}; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{2x^2 - 5x - 3}$ задается неравенством $2x^2 - 5x - 3 \ge 0$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$. $x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$. $x_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Ветви параболы $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$ направлены вверх ($a = 2 > 0$), поэтому неравенство $2x^2 - 5x - 3 \ge 0$ выполняется на промежутках вне корней. Следовательно, область определения функции: $(-\infty; -0.5] \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -0.5] \cup [3; +\infty)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{-x^2 - 6x + 8}$ определяется условием $-x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Для удобства решения умножим неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 + 6x - 8 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 8 = 0$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$. $x_1 = -3 - \sqrt{17}$ и $x_2 = -3 + \sqrt{17}$. Графиком $f(x) = x^2 + 6x - 8$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $x^2 + 6x - 8 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, область определения функции: $[-3 - \sqrt{17}; -3 + \sqrt{17}]$.
Ответ: $[-3 - \sqrt{17}; -3 + \sqrt{17}]$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{-2x^2 + x + 6}$ находится из неравенства $-2x^2 + x + 6 \ge 0$. Умножим обе части неравенства на -1, поменяв знак: $2x^2 - x - 6 \le 0$. Решим уравнение $2x^2 - x - 6 = 0$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}$. $x_1 = \frac{1 - 7}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$. $x_2 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Графиком $f(x) = 2x^2 - x - 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=2>0$). Неравенство $2x^2 - x - 6 \le 0$ истинно для значений $x$ между корнями. Следовательно, область определения функции: $[-1.5; 2]$.
Ответ: $[-1.5; 2]$.

19.21. Постройте график функции:

1)

$y = (x - 3)^2 - 2;$

2)

$y = (x + 1)^2 - 3;$

3)

$y = 3 - (x - 2)^2;$

4)

$y = 4 - (x + 2)^2.$

1) $y = (x - 3)^2 - 2$

График функции $y = (x - 3)^2 - 2$ — это парабола. Данная парабола получается из графика базовой параболы $y = x^2$ с помощью двух преобразований:
1. Сдвиг графика $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox).
2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy).
Вершина параболы находится в точке $(3, -2)$. Поскольку коэффициент при квадрате равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.
Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:
- Вершина: при $x=3$, $y = (3 - 3)^2 - 2 = -2$. Точка $(3, -2)$.
- При $x=2$, $y = (2 - 3)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(2, -1)$.
- При $x=4$, $y = (4 - 3)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(4, -1)$.
- При $x=1$, $y = (1 - 3)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- При $x=5$, $y = (5 - 3)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$. Точка $(5, 2)$.
- Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = (0-3)^2-2 = 9-2=7$. Точка $(0, 7)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(3, -2)$, ветви которой направлены вверх.

2) $y = (x + 1)^2 - 3$

График функции $y = (x + 1)^2 - 3$ — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox и на 3 единицы вниз по оси Oy.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -3)$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$).
Найдем несколько точек для построения:
- Вершина: при $x=-1$, $y = (-1 + 1)^2 - 3 = -3$. Точка $(-1, -3)$.
- При $x=0$, $y = (0 + 1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(0, -2)$.
- При $x=-2$, $y = (-2 + 1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(-2, -2)$.
- При $x=1$, $y = (1 + 1)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(1, 1)$.
- При $x=-3$, $y = (-3 + 1)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(-3, 1)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-1, -3)$, ветви которой направлены вверх.

3) $y = 3 - (x - 2)^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -(x - 2)^2 + 3$. Это парабола, которая получена из графика $y = -x^2$ (ветви вниз) сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.
Вершина параболы находится в точке $(2, 3)$. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент перед скобкой отрицательный ($a=-1<0$).
Найдем несколько точек для построения:
- Вершина: при $x=2$, $y = 3 - (2 - 2)^2 = 3$. Точка $(2, 3)$.
- При $x=1$, $y = 3 - (1 - 2)^2 = 3 - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- При $x=3$, $y = 3 - (3 - 2)^2 = 3 - 1 = 2$. Точка $(3, 2)$.
- При $x=0$, $y = 3 - (0 - 2)^2 = 3 - 4 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- При $x=4$, $y = 3 - (4 - 2)^2 = 3 - 4 = -1$. Точка $(4, -1)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(2, 3)$, ветви которой направлены вниз.

4) $y = 4 - (x + 2)^2$

Функция $y = -(x + 2)^2 + 4$ задает параболу. Она получена из графика $y = -x^2$ (ветви вниз) сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вверх по оси Oy.
Вершина параболы находится в точке $(-2, 4)$. Ветви параболы направлены вниз ($a=-1<0$).
Найдем несколько точек для построения:
- Вершина: при $x=-2$, $y = 4 - (-2 + 2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
- При $x=-1$, $y = 4 - (-1 + 2)^2 = 4 - 1 = 3$. Точка $(-1, 3)$.
- При $x=-3$, $y = 4 - (-3 + 2)^2 = 4 - 1 = 3$. Точка $(-3, 3)$.
- При $x=0$, $y = 4 - (0 + 2)^2 = 4 - 4 = 0$. Точка $(0, 0)$.
- При $x=-4$, $y = 4 - (-4 + 2)^2 = 4 - 4 = 0$. Точка $(-4, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-2, 4)$, ветви которой направлены вниз.

19.22. Найдите значения $x$, при которых функция $y = \frac{2x^2 - 1}{3x + 1}$ принимает значения, равные 2; 3; 4,5.

Чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = \frac{2x^2 - 1}{3x + 1}$ принимает заданные значения, необходимо поочередно приравнять функцию к этим значениям и решить полученные уравнения. Область допустимых значений для $x$ определяется условием $3x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{3}$.

y = 2

Приравниваем функцию к 2:$\frac{2x^2 - 1}{3x + 1} = 2$

Умножим обе части уравнения на $(3x + 1)$, учитывая, что $x \neq -\frac{1}{3}$:$2x^2 - 1 = 2(3x + 1)$$2x^2 - 1 = 6x + 2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$2x^2 - 6x - 1 - 2 = 0$$2x^2 - 6x - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 36 + 24 = 60$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 15}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}$

Оба корня, $x_1 = \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$, не равны $-\frac{1}{3}$ и являются решениями.

Ответ: при $y=2$, $x = \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ или $x = \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$.

y = 3

Приравниваем функцию к 3:$\frac{2x^2 - 1}{3x + 1} = 3$

Умножим обе части уравнения на $(3x + 1)$:$2x^2 - 1 = 3(3x + 1)$$2x^2 - 1 = 9x + 3$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:$2x^2 - 9x - 1 - 3 = 0$$2x^2 - 9x - 4 = 0$

Вычисляем дискриминант:$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 81 + 32 = 113$

Находим корни:$x = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{4}$

Оба корня, $x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{4}$ и $x_2 = \frac{9 - \sqrt{113}}{4}$, удовлетворяют условию $x \neq -\frac{1}{3}$.

Ответ: при $y=3$, $x = \frac{9 + \sqrt{113}}{4}$ или $x = \frac{9 - \sqrt{113}}{4}$.

y = 4,5

Приравниваем функцию к 4,5. Удобнее представить 4,5 в виде дроби $\frac{9}{2}$:$\frac{2x^2 - 1}{3x + 1} = \frac{9}{2}$

Используем правило пропорции (перекрестное умножение):$2(2x^2 - 1) = 9(3x + 1)$$4x^2 - 2 = 27x + 9$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:$4x^2 - 27x - 2 - 9 = 0$$4x^2 - 27x - 11 = 0$

Вычисляем дискриминант:$D = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-11) = 729 + 176 = 905$

Находим корни:$x = \frac{27 \pm \sqrt{905}}{2 \cdot 4} = \frac{27 \pm \sqrt{905}}{8}$

Оба корня, $x_1 = \frac{27 + \sqrt{905}}{8}$ и $x_2 = \frac{27 - \sqrt{905}}{8}$, удовлетворяют условию $x \neq -\frac{1}{3}$.

Ответ: при $y=4,5$, $x = \frac{27 + \sqrt{905}}{8}$ или $x = \frac{27 - \sqrt{905}}{8}$.

19.23. На диаграмме (рис. 49) указано количество гвоздик на клумбе.

Рис. 49

Выберите верное утверждение, если $A$ — количество желтых и розовых гвоздик, $B$ — количество белых и красных гвоздик:

A) $A = B;$

B) $A > 2B;$

C) $A + 15 < B;$

D) $A > B;$

E) $A + 10 = B.$

Для решения этой задачи необходимо сначала определить значения переменных $A$ и $B$ на основе данных, представленных на диаграмме.

Согласно условию, $A$ — это количество желтых и розовых гвоздик. Из диаграммы находим:
Количество желтых гвоздик = 60.
Количество розовых гвоздик = 45.
Следовательно, $A = 60 + 45 = 105$.

$B$ — это количество белых и красных гвоздик. Из диаграммы находим:
Количество белых гвоздик = 80.
Количество красных гвоздик = 35.
Следовательно, $B = 80 + 35 = 115$.

Теперь проверим каждое из предложенных утверждений, используя найденные значения $A = 105$ и $B = 115$.

A) $A = B$
Проверяем равенство: $105 = 115$. Утверждение ложно.
Ответ: неверно.

B) $A > 2B$
Проверяем неравенство: $105 > 2 \cdot 115$.
$105 > 230$. Утверждение ложно.
Ответ: неверно.

C) $A + 15 < B$
Проверяем неравенство: $105 + 15 < 115$.
$120 < 115$. Утверждение ложно.
Ответ: неверно.

D) $A > B$
Проверяем неравенство: $105 > 115$. Утверждение ложно.
Ответ: неверно.

E) $A + 10 = B$
Проверяем равенство: $105 + 10 = 115$.
$115 = 115$. Утверждение истинно.
Ответ: верно.