Страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Упростите выражение:

1) $\frac{8}{6+x} - \frac{8}{x-7};$

2) $\frac{9a^2+y^2}{3a-y} + \frac{6ay}{y-3a};$

3) $\frac{ay}{a-yb} + \frac{3a-by}{by-a};$

4) $\frac{a^2x^2+36y^2}{ax-6y} + \frac{12axy}{6y-ax}.$

1) $\frac{8}{6+x} - \frac{8}{x-7}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(6+x)(x-7)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(x-7)$, а второй дроби — на $(6+x)$:

$\frac{8(x-7)}{(6+x)(x-7)} - \frac{8(6+x)}{(6+x)(x-7)} = \frac{8(x-7) - 8(6+x)}{(6+x)(x-7)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{8x - 56 - 48 - 8x}{(6+x)(x-7)} = \frac{(8x-8x) + (-56-48)}{(6+x)(x-7)} = \frac{-104}{(6+x)(x-7)}$

Ответ: $\frac{-104}{(x+6)(x-7)}$

2) $\frac{9a^2+y^2}{3a-y} + \frac{6ay}{y-3a}$

Заметим, что знаменатель второй дроби $y-3a$ является противоположным знаменателю первой дроби $3a-y$, поскольку $y-3a = -(3a-y)$. Мы можем изменить знак перед дробью и знак ее знаменателя, чтобы привести дроби к общему знаменателю:

$\frac{9a^2+y^2}{3a-y} - \frac{6ay}{3a-y}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание их числителей:

$\frac{9a^2+y^2-6ay}{3a-y}$

Переставим слагаемые в числителе, чтобы увидеть формулу сокращенного умножения (квадрат разности):

$\frac{9a^2-6ay+y^2}{3a-y} = \frac{(3a)^2 - 2(3a)(y) + y^2}{3a-y} = \frac{(3a-y)^2}{3a-y}$

Сократим дробь на $(3a-y)$:

$3a-y$

Ответ: $3a-y$

3) $\frac{ay}{a-yb} + \frac{3a-by}{by-a}$

Знаменатели дробей $a-yb$ и $by-a$ являются противоположными, так как $by-a = -(a-by)$. Заменим знаменатель второй дроби на $a-by$, поменяв знак перед дробью на противоположный:

$\frac{ay}{a-by} - \frac{3a-by}{a-by}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{ay - (3a-by)}{a-by}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ay-3a+by}{a-by}$

В полученном выражении дальнейшие упрощения (например, сокращение) невозможны.

Ответ: $\frac{ay-3a+by}{a-by}$

4) $\frac{a^2x^2+36y^2}{ax-6y} + \frac{12axy}{6y-ax}$

Знаменатели дробей $ax-6y$ и $6y-ax$ являются противоположными выражениями: $6y-ax = -(ax-6y)$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{a^2x^2+36y^2}{ax-6y} - \frac{12axy}{ax-6y}$

Теперь знаменатели одинаковы, поэтому вычтем числители:

$\frac{a^2x^2+36y^2-12axy}{ax-6y}$

Перегруппируем слагаемые в числителе, чтобы распознать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$\frac{a^2x^2-12axy+36y^2}{ax-6y} = \frac{(ax)^2 - 2(ax)(6y) + (6y)^2}{ax-6y} = \frac{(ax-6y)^2}{ax-6y}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $(ax-6y)$:

$ax-6y$

Ответ: $ax-6y$

2. Докажите, что тождественно равны выражения:

1) $\frac{1}{6x + 10} - \frac{1}{9x - 15} + \frac{5}{9x^2 - 25}$ и $\frac{1}{6(3x - 5)}$;

2) $\frac{1}{2x - 8} + \frac{1}{40 - 10x} + \frac{1}{x^2 - 8x + 16}$ и $\frac{2x - 3}{5(x - 4)^2}$;

3) $\frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8}$ и $\frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}$;

4) $\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1}$ и $\frac{3}{a - 1}$.

1) Чтобы доказать, что выражения $\frac{1}{6x + 10} - \frac{1}{9x - 15} + \frac{5}{9x^2 - 25}$ и $\frac{1}{6(3x - 5)}$ тождественно равны, упростим первое выражение.
Сначала разложим знаменатели на множители:
$6x + 10 = 2(3x + 5)$;
$9x - 15 = 3(3x - 5)$;
$9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
Исходное выражение примет вид:
$\frac{1}{2(3x + 5)} - \frac{1}{3(3x - 5)} + \frac{5}{(3x - 5)(3x + 5)}$.
Общий знаменатель для этих дробей равен $2 \cdot 3 \cdot (3x - 5)(3x + 5) = 6(3x - 5)(3x + 5)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1 \cdot 3(3x - 5)}{6(3x - 5)(3x + 5)} - \frac{1 \cdot 2(3x + 5)}{6(3x - 5)(3x + 5)} + \frac{5 \cdot 6}{6(3x - 5)(3x + 5)} = \frac{3(3x - 5) - 2(3x + 5) + 30}{6(3x - 5)(3x + 5)}$.
Упростим числитель:
$3(3x - 5) - 2(3x + 5) + 30 = 9x - 15 - 6x - 10 + 30 = (9x - 6x) + (-15 - 10 + 30) = 3x + 5$.
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{3x + 5}{6(3x - 5)(3x + 5)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(3x + 5)$:
$\frac{1}{6(3x - 5)}$.
Мы получили выражение, стоящее в правой части. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать, что выражения $\frac{1}{2x - 8} + \frac{1}{40 - 10x} + \frac{1}{x^2 - 8x + 16}$ и $\frac{2x - 3}{5(x - 4)^2}$ тождественно равны, упростим первое выражение.
Разложим знаменатели на множители:
$2x - 8 = 2(x - 4)$;
$40 - 10x = 10(4 - x) = -10(x - 4)$;
$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.
Перепишем выражение:
$\frac{1}{2(x - 4)} + \frac{1}{-10(x - 4)} + \frac{1}{(x - 4)^2} = \frac{1}{2(x - 4)} - \frac{1}{10(x - 4)} + \frac{1}{(x - 4)^2}$.
Общий знаменатель равен $10(x - 4)^2$. Приведем дроби к нему:
$\frac{1 \cdot 5(x - 4)}{10(x - 4)^2} - \frac{1 \cdot (x-4)}{10(x - 4)^2} + \frac{1 \cdot 10}{10(x - 4)^2} = \frac{5(x-4) - (x-4) + 10}{10(x-4)^2}$.
Упростим числитель:
$5x - 20 - x + 4 + 10 = (5x - x) + (-20 + 4 + 10) = 4x - 6$.
Получаем дробь:
$\frac{4x - 6}{10(x - 4)^2}$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:
$\frac{2(2x - 3)}{10(x - 4)^2} = \frac{2x - 3}{5(x - 4)^2}$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Чтобы доказать, что выражения $\frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8}$ и $\frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}$ тождественно равны, упростим первое выражение.
Разложим знаменатель $x^3 - 8$ по формуле разности кубов: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
Выражение примет вид:
$\frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$.
Общий знаменатель равен $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{1 \cdot (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{(x^2 + 2x + 4) + (x - 2)^2 - 6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$.
Упростим числитель:
$x^2 + 2x + 4 + (x^2 - 4x + 4) - 6x = x^2 + 2x + 4 + x^2 - 4x + 4 - 6x = (x^2 + x^2) + (2x - 4x - 6x) + (4 + 4) = 2x^2 - 8x + 8$.
Вынесем общий множитель 2 и свернем по формуле квадрата разности: $2(x^2 - 4x + 4) = 2(x - 2)^2$.
Подставим числитель обратно в дробь:
$\frac{2(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$.
Сократим на $(x-2)$:
$\frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4} = \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}$.
Результат совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Чтобы доказать, что выражения $\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1}$ и $\frac{3}{a - 1}$ тождественно равны, упростим первое выражение.
Разложим знаменатель $a^3 - 1$ по формуле разности кубов: $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.
Общий знаменатель для всех дробей равен $(a - 1)(a^2 + a + 1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{2a^2 + 7a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{(1 - 2a)(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{1 \cdot (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.
Объединим дроби:
$\frac{(2a^2 + 7a + 3) - (1 - 2a)(a - 1) - (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$(1 - 2a)(a - 1) = a - 1 - 2a^2 + 2a = -2a^2 + 3a - 1$.
Числитель равен:
$(2a^2 + 7a + 3) - (-2a^2 + 3a - 1) - (a^2 + a + 1) = 2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 - 3a + 1 - a^2 - a - 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2a^2 + 2a^2 - a^2) + (7a - 3a - a) + (3 + 1 - 1) = 3a^2 + 3a + 3$.
Вынесем общий множитель 3: $3(a^2 + a + 1)$.
Подставим упрощенный числитель в дробь:
$\frac{3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.
Сократим дробь на $(a^2 + a + 1)$:
$\frac{3}{a - 1}$.
Результат совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3. Выполните действия над дробями:

1) $ \frac{27c^2}{5d} : (-18c^3d^2); $

2) $ \frac{14a^2}{9x^3} : \frac{7a}{4x^2}; $

3) $ \frac{7x^2}{10a^3} : \frac{x}{15a^5}; $

4) $ 27a^3 \cdot \frac{a^2}{b^2} : \frac{18a^5}{7b^3}. $

1) Чтобы разделить дробь на выражение, представим это выражение в виде дроби и выполним деление дробей, то есть умножим делимое на дробь, обратную делителю.

$\frac{27c^2}{5d} : (-18c^3d^2) = \frac{27c^2}{5d} : \frac{-18c^3d^2}{1} = \frac{27c^2}{5d} \cdot \frac{1}{-18c^3d^2}$

Перемножим числители и знаменатели:

$\frac{27c^2}{5d \cdot (-18c^3d^2)} = -\frac{27c^2}{90c^3d^3}$

Сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты 27 и 90 на их наибольший общий делитель 9. Сократим степени переменных:

$-\frac{27 \cdot c^2}{90 \cdot c^3 \cdot d^3} = -\frac{3 \cdot 1}{10 \cdot c^{3-2} \cdot d^3} = -\frac{3}{10cd^3}$

Ответ: $-\frac{3}{10cd^3}$

2) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$\frac{14a^2}{9x^3} : \frac{7a}{4x^2} = \frac{14a^2}{9x^3} \cdot \frac{4x^2}{7a} = \frac{14a^2 \cdot 4x^2}{9x^3 \cdot 7a}$

Сократим полученную дробь. Сократим 14 и 7 на 7. Сократим степени переменных $a$ и $x$:

$\frac{(2 \cdot 7) \cdot a^2 \cdot 4 \cdot x^2}{9 \cdot x^3 \cdot 7 \cdot a} = \frac{2 \cdot a^{2-1} \cdot 4}{9 \cdot x^{3-2}} = \frac{8a}{9x}$

Ответ: $\frac{8a}{9x}$

3) Выполним деление дробей, заменив его умножением на обратную дробь.

$\frac{7x^2}{10a^3} : \frac{x}{15a^5} = \frac{7x^2}{10a^3} \cdot \frac{15a^5}{x} = \frac{7x^2 \cdot 15a^5}{10a^3 \cdot x}$

Сократим полученную дробь. Сократим 15 и 10 на 5. Сократим степени переменных $x$ и $a$:

$\frac{7 \cdot x^{2-1} \cdot (3 \cdot 5) \cdot a^{5-3}}{(2 \cdot 5)} = \frac{7x \cdot 3a^2}{2} = \frac{21a^2x}{2}$

Ответ: $\frac{21a^2x}{2}$

4) Выполним действия по порядку. Сначала умножение, затем деление. Представим $27a^3$ как дробь $\frac{27a^3}{1}$.

$27a^3 \cdot \frac{a^2}{b^2} : \frac{18a^5}{7b^3} = \frac{27a^3}{1} \cdot \frac{a^2}{b^2} : \frac{18a^5}{7b^3}$

Выполняем умножение:

$\frac{27a^3 \cdot a^2}{1 \cdot b^2} = \frac{27a^5}{b^2}$

Теперь выполняем деление:

$\frac{27a^5}{b^2} : \frac{18a^5}{7b^3} = \frac{27a^5}{b^2} \cdot \frac{7b^3}{18a^5} = \frac{27a^5 \cdot 7b^3}{b^2 \cdot 18a^5}$

Сократим полученную дробь. Сократим 27 и 18 на 9. Сократим $a^5$ и $a^5$. Сократим степени переменной $b$:

$\frac{(3 \cdot 9) \cdot a^5 \cdot 7 \cdot b^{3-2}}{b^2 \cdot (2 \cdot 9) \cdot a^5} = \frac{3 \cdot 7 \cdot b}{2} = \frac{21b}{2}$

Ответ: $\frac{21b}{2}$

4. Упростите выражение:

1) $ \frac{9x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4} \cdot \frac{15}{4y(x-1)} $

2) $ \frac{25a(b-1)}{3^2 d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3 d^2} $

3) $ \frac{28p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-2)}{7p^2} : \frac{3p^2}{4q^3} $

4) $ \frac{12x^5 y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2 b} : \frac{3x^2(y+3)}{ab} $

1) $\frac{9x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4} \cdot \frac{15}{4y(x-1)}$

В выражениях с умножением и делением дробей операции выполняются последовательно слева направо. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$(\frac{9x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4}) \cdot \frac{15}{4y(x-1)} = \frac{9x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^4}{27x^5} \cdot \frac{15}{4y(x-1)}$

Запишем все множители в одну дробь:

$\frac{9 \cdot 2 \cdot 15 \cdot x^2 y^4}{5 \cdot 27 \cdot 4 \cdot y^3 x^5 y (x-1)}$

Сократим числовые коэффициенты:

$\frac{9 \cdot 2 \cdot 15}{5 \cdot 27 \cdot 4} = \frac{9 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 5)}{5 \cdot (3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 2)} = \frac{1}{2}$

Сократим переменные:

$\frac{x^2 y^4}{y^3 x^5 y} = \frac{x^2 y^4}{x^5 y^{3+1}} = \frac{x^2 y^4}{x^5 y^4} = \frac{x^2}{x^5} = \frac{1}{x^{5-2}} = \frac{1}{x^3}$

Объединим результаты и учтем оставшийся множитель в знаменателе $(x-1)$:

$\frac{1}{2x^3(x-1)}$

Ответ: $\frac{1}{2x^3(x-1)}$

2) $\frac{25a(b-1)}{3^2d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d^2}$

Выполняем деления последовательно слева направо, заменяя каждое деление умножением на обратную дробь:

$\frac{25a(b-1)}{9d} \cdot \frac{27ab}{5cd^2} \cdot \frac{c^3d^2}{a^3(b-1)}$

Запишем все в одну дробь и сгруппируем множители:

$\frac{25 \cdot 27 \cdot a(b-1) \cdot ab \cdot c^3d^2}{9 \cdot 5 \cdot d \cdot cd^2 \cdot a^3(b-1)} = \frac{25 \cdot 27}{9 \cdot 5} \cdot \frac{a^2b(b-1)c^3d^2}{a^3c d^3(b-1)}$

Сократим числовые коэффициенты:

$\frac{25 \cdot 27}{9 \cdot 5} = \frac{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9)}{9 \cdot 5} = 5 \cdot 3 = 15$

Сократим переменные:

$\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$, $\frac{b}{1} = b$, $\frac{c^3}{c} = c^2$, $\frac{d^2}{d^3} = \frac{1}{d}$, $\frac{b-1}{b-1} = 1$

Собираем итоговое выражение:

$\frac{15bc^2}{ad}$

Ответ: $\frac{15bc^2}{ad}$

3) $\frac{28p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-2)}{7p^2} : \frac{3p^2}{4q^3}$

Выполняем действия слева направо: сначала умножение, затем деление. Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$(\frac{28p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-2)}{7p^2}) \cdot \frac{4q^3}{3p^2} = \frac{28p^4 \cdot 15q^2(p-2) \cdot 4q^3}{5q^3 \cdot 7p^2 \cdot 3p^2}$

Сократим числовые коэффициенты:

$\frac{28 \cdot 15 \cdot 4}{5 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{(4 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5) \cdot 4}{5 \cdot 7 \cdot 3} = 4 \cdot 4 = 16$

Сократим переменные:

$\frac{p^4}{p^2 \cdot p^2} = \frac{p^4}{p^4} = 1$

$\frac{q^2 \cdot q^3}{q^3} = q^2$

Объединим результаты и учтем оставшийся множитель $(p-2)$:

$16q^2(p-2)$

Ответ: $16q^2(p-2)$

4) $\frac{12x^5y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2b} : \frac{3x^2(y+3)}{ab}$

Выполняем деления последовательно слева направо, заменяя их умножением на обратные дроби:

$\frac{12x^5y^4}{13ab^2} \cdot \frac{13a^2b}{4xy^2} \cdot \frac{ab}{3x^2(y+3)}$

Запишем все в одну дробь:

$\frac{12 \cdot 13 \cdot x^5y^4 \cdot a^2b \cdot ab}{13 \cdot 4 \cdot 3 \cdot ab^2 \cdot xy^2 \cdot x^2(y+3)}$

Сократим числовые коэффициенты:

$\frac{12 \cdot 13}{13 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{12}{12} = 1$

Сократим переменные:

$\frac{x^5}{x \cdot x^2} = \frac{x^5}{x^3} = x^2$

$\frac{y^4}{y^2} = y^2$

$\frac{a^2 \cdot a}{a} = \frac{a^3}{a} = a^2$

$\frac{b \cdot b}{b^2} = \frac{b^2}{b^2} = 1$

Объединим результаты, не забывая про множитель $(y+3)$ в знаменателе:

$\frac{a^2x^2y^2}{y+3}$

Ответ: $\frac{a^2x^2y^2}{y+3}$

5. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $\frac{5 - \frac{2}{3x}}{5 + \frac{2}{3x}} + 2$ при $x = 0,5;$

2) $\frac{\frac{5n - 3b}{b} + 3}{\frac{25n + 7b}{b} - 7}$ при $n = 2;$

3) $\frac{\frac{5x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{5y}{x^2}} - 1$ при $\frac{y}{x} = 1;$

4) $\left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 - 2 + \left(\frac{x}{y} - 1\right)^2$ при $x = 0,25$ и $y = 0,5;$

5) $3a - \frac{2a}{1 - 2a} + \frac{c - 6a^2}{2a - 1}$ при $a = -3, c = 12;$

6) $\frac{a^2 - n}{a - 7} - \frac{6a}{7 - a} - a$ при $a = 2, n = -4.$

1)

Исходное выражение: $\frac{5 - \frac{2}{3x}}{5 + \frac{2}{3x}} + 2$.

Сначала упростим выражение. Чтобы избавиться от "двухэтажной" дроби, умножим ее числитель и знаменатель на $3x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\frac{(5 - \frac{2}{3x}) \cdot 3x}{(5 + \frac{2}{3x}) \cdot 3x} + 2 = \frac{5 \cdot 3x - 2}{5 \cdot 3x + 2} + 2 = \frac{15x - 2}{15x + 2} + 2$.

Теперь приведем слагаемые к общему знаменателю $15x+2$:

$\frac{15x - 2}{15x + 2} + \frac{2(15x + 2)}{15x + 2} = \frac{15x - 2 + 30x + 4}{15x + 2} = \frac{45x + 2}{15x + 2}$.

Теперь подставим значение $x = 0,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{45 \cdot 0,5 + 2}{15 \cdot 0,5 + 2} = \frac{22,5 + 2}{7,5 + 2} = \frac{24,5}{9,5} = \frac{245}{95} = \frac{49}{19}$.

Ответ: $\frac{49}{19}$.

2)

Исходное выражение: $\frac{\frac{5n - 3b}{b} + 3}{\frac{25n + 7b}{b} - 7}$.

Упростим числитель и знаменатель основной дроби, приведя их к общему знаменателю $b$ (при $b \neq 0$):

Числитель: $\frac{5n - 3b}{b} + 3 = \frac{5n - 3b + 3b}{b} = \frac{5n}{b}$.

Знаменатель: $\frac{25n + 7b}{b} - 7 = \frac{25n + 7b - 7b}{b} = \frac{25n}{b}$.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{5n}{b}}{\frac{25n}{b}} = \frac{5n}{b} \cdot \frac{b}{25n} = \frac{5n}{25n} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ (при $n \neq 0, b \neq 0$).

Значение выражения не зависит от $n$ и равно $\frac{1}{5}$ или $0,2$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

3)

Исходное выражение: $\frac{\frac{5x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{5y}{x^2}} - 1$.

Упростим сложную дробь, приведя к общему знаменателю $x^2y^2$ в ее числителе и знаменателе (при $x \neq 0, y \neq 0$):

$\frac{\frac{5x \cdot x^2 + y \cdot y^2}{x^2y^2}}{\frac{x \cdot x^2 - 5y \cdot y^2}{x^2y^2}} - 1 = \frac{\frac{5x^3 + y^3}{x^2y^2}}{\frac{x^3 - 5y^3}{x^2y^2}} - 1$.

Сократим $x^2y^2$ и получим: $\frac{5x^3 + y^3}{x^3 - 5y^3} - 1$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{5x^3 + y^3 - (x^3 - 5y^3)}{x^3 - 5y^3} = \frac{5x^3 + y^3 - x^3 + 5y^3}{x^3 - 5y^3} = \frac{4x^3 + 6y^3}{x^3 - 5y^3}$.

По условию $\frac{y}{x} = 1$, что означает $y=x$ (при $x \neq 0$). Подставим $y=x$ в упрощенное выражение:

$\frac{4x^3 + 6x^3}{x^3 - 5x^3} = \frac{10x^3}{-4x^3} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} = -2,5$.

Ответ: $-2,5$.

4)

Исходное выражение: $(\frac{x}{y} + 1)^2 - 2 + (\frac{x}{y} - 1)^2$.

Для упрощения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$((\frac{x}{y})^2 + 2\frac{x}{y} + 1) - 2 + ((\frac{x}{y})^2 - 2\frac{x}{y} + 1)$.

Приведем подобные слагаемые:

$(\frac{x^2}{y^2} + \frac{x^2}{y^2}) + (2\frac{x}{y} - 2\frac{x}{y}) + (1 - 2 + 1) = 2\frac{x^2}{y^2} + 0 + 0 = 2\frac{x^2}{y^2}$.

Подставим значения $x = 0,25$ и $y = 0,5$. Сначала найдем отношение $\frac{x}{y} = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = \frac{1}{2}$.

Вычислим значение выражения: $2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

5)

Исходное выражение: $3a - \frac{2a}{1-2a} + \frac{c - 6a^2}{2a-1}$.

Заметим, что знаменатели $1-2a$ и $2a-1$ являются противоположными числами: $1-2a = -(2a-1)$. Преобразуем вторую дробь:

$3a - \frac{2a}{-(2a-1)} + \frac{c - 6a^2}{2a-1} = 3a + \frac{2a}{2a-1} + \frac{c - 6a^2}{2a-1}$.

Сложим дроби с одинаковым знаменателем: $3a + \frac{2a + c - 6a^2}{2a-1}$.

Приведем все выражение к общему знаменателю $2a-1$ (при $a \neq \frac{1}{2}$):

$\frac{3a(2a-1) + 2a + c - 6a^2}{2a-1} = \frac{6a^2 - 3a + 2a + c - 6a^2}{2a-1}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{-a+c}{2a-1}$.

Подставим значения $a = -3$ и $c = 12$:

$\frac{-(-3) + 12}{2(-3) - 1} = \frac{3 + 12}{-6 - 1} = \frac{15}{-7} = -\frac{15}{7}$.

Ответ: $-\frac{15}{7}$.

6)

Исходное выражение: $\frac{a^2-n}{a-7} - \frac{6a}{7-a} - a$.

Заметим, что знаменатели $a-7$ и $7-a$ являются противоположными числами: $7-a = -(a-7)$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{a^2-n}{a-7} - \frac{6a}{-(a-7)} - a = \frac{a^2-n}{a-7} + \frac{6a}{a-7} - a$.

Сложим дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{a^2-n+6a}{a-7} - a$.

Приведем все выражение к общему знаменателю $a-7$ (при $a \neq 7$):

$\frac{a^2-n+6a - a(a-7)}{a-7} = \frac{a^2-n+6a - a^2 + 7a}{a-7}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{(a^2-a^2) + (6a+7a) - n}{a-7} = \frac{13a - n}{a-7}$.

Подставим значения $a=2$ и $n=-4$:

$\frac{13(2) - (-4)}{2 - 7} = \frac{26 + 4}{-5} = \frac{30}{-5} = -6$.

Ответ: $-6$.