Страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

18. Найдите значение числового выражения:

1) $ \frac{5}{11 - 2\sqrt{10}} + \frac{5}{11 + 2\sqrt{10}}; $

2) $ \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{\sqrt{11} - \sqrt{3}}; $

3) $ \frac{5}{3 - 2\sqrt{3}} + \frac{5}{3 + 2\sqrt{3}}; $

4) $ \frac{12 + \sqrt{44}}{12 - \sqrt{44}} + \frac{12 - \sqrt{44}}{12 + \sqrt{44}}. $

1)

Чтобы сложить две дроби с иррациональными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{5}{11 - 2\sqrt{10}}$ и $\frac{5}{11 + 2\sqrt{10}}$ равен произведению их знаменателей: $(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10})$.

Для вычисления знаменателя используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10}) = 11^2 - (2\sqrt{10})^2 = 121 - 4 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их. Дополнительный множитель для первой дроби — $(11 + 2\sqrt{10})$, а для второй — $(11 - 2\sqrt{10})$.

$\frac{5(11 + 2\sqrt{10})}{(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10})} + \frac{5(11 - 2\sqrt{10})}{(11 + 2\sqrt{10})(11 - 2\sqrt{10})} = \frac{5(11 + 2\sqrt{10}) + 5(11 - 2\sqrt{10})}{81}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{55 + 10\sqrt{10} + 55 - 10\sqrt{10}}{81} = \frac{110}{81}$.

Ответ: $\frac{110}{81}$.

2)

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(\sqrt{11} + \sqrt{3})(\sqrt{11} - \sqrt{3})$.

По формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ найдем значение знаменателя:

$(\sqrt{11} + \sqrt{3})(\sqrt{11} - \sqrt{3}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2 = 11 - 3 = 8$.

Теперь выполним вычитание дробей, домножив числитель первой дроби на $(\sqrt{11} - \sqrt{3})$, а второй на $(\sqrt{11} + \sqrt{3})$:

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3})(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8} - \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{3})(\sqrt{11} + \sqrt{3})}{8} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{11} + \sqrt{3})^2}{8}$.

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{11})^2 - 2\sqrt{11}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 11 - 2\sqrt{33} + 3 = 14 - 2\sqrt{33}$.

$(\sqrt{11} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 11 + 2\sqrt{33} + 3 = 14 + 2\sqrt{33}$.

Подставим полученные выражения в числитель:

$\frac{(14 - 2\sqrt{33}) - (14 + 2\sqrt{33})}{8} = \frac{14 - 2\sqrt{33} - 14 - 2\sqrt{33}}{8} = \frac{-4\sqrt{33}}{8} = -\frac{\sqrt{33}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{33}}{2}$.

3)

Для сложения дробей найдем общий знаменатель: $(3 - 2\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3})$.

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(3 - 2\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3}) = 3^2 - (2\sqrt{3})^2 = 9 - 4 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Теперь выполним сложение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{5(3 + 2\sqrt{3})}{(3 - 2\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3})} + \frac{5(3 - 2\sqrt{3})}{(3 + 2\sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3})} = \frac{5(3 + 2\sqrt{3}) + 5(3 - 2\sqrt{3})}{-3}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{15 + 10\sqrt{3} + 15 - 10\sqrt{3}}{-3} = \frac{30}{-3} = -10$.

Ответ: $-10$.

4)

Сначала упростим выражение, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$.

Подставим упрощенное значение в исходное выражение:

$\frac{12 + 2\sqrt{11}}{12 - 2\sqrt{11}} + \frac{12 - 2\sqrt{11}}{12 + 2\sqrt{11}}$.

Вынесем общий множитель 2 в числителе и знаменателе каждой дроби и сократим его:

$\frac{2(6 + \sqrt{11})}{2(6 - \sqrt{11})} + \frac{2(6 - \sqrt{11})}{2(6 + \sqrt{11})} = \frac{6 + \sqrt{11}}{6 - \sqrt{11}} + \frac{6 - \sqrt{11}}{6 + \sqrt{11}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(6 - \sqrt{11})(6 + \sqrt{11})$. По формуле разности квадратов:

$(6 - \sqrt{11})(6 + \sqrt{11}) = 6^2 - (\sqrt{11})^2 = 36 - 11 = 25$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{(6 + \sqrt{11})^2 + (6 - \sqrt{11})^2}{25}$.

Раскроем квадраты в числителе. Можно использовать формулы квадрата суммы и разности, или тождество $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$:

$2(6^2 + (\sqrt{11})^2) = 2(36 + 11) = 2(47) = 94$.

Подставим результат в дробь:

$\frac{94}{25}$.

Ответ: $\frac{94}{25}$.

19. Докажите тождество:

1) $\sqrt{9 - 2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}$;

2) $\sqrt{6\sqrt{2} + 11} = \sqrt{2} + 3$;

3) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 4$;

4) $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} + \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = 2\sqrt{7}$.

1) Для доказательства тождества $\sqrt{9-2\sqrt{14}} = \sqrt{7}-\sqrt{2}$ преобразуем его левую часть. Основная идея — представить подкоренное выражение в виде полного квадрата, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим выражение $9-2\sqrt{14}$ в виде $(a-b)^2$. Для этого нам нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=9$ и $2ab=2\sqrt{14}$. Из второго уравнения следует, что $ab=\sqrt{14}$.

Логично предположить, что $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{2}$, так как $\sqrt{7} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{14}$. Проверим, выполняется ли первое условие: $a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2+(\sqrt{2})^2 = 7+2=9$. Условие выполняется.

Следовательно, мы можем записать:

$9-2\sqrt{14} = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{7}-\sqrt{2})^2$.

Теперь вернемся к исходному выражению в левой части:

$\sqrt{9-2\sqrt{14}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Значит:

$\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{7}-\sqrt{2}|$.

Поскольку $7 > 2$, то $\sqrt{7} > \sqrt{2}$, а значит, разность $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ положительна. Поэтому $|\sqrt{7}-\sqrt{2}| = \sqrt{7}-\sqrt{2}$.

Таким образом, левая часть тождества равна $\sqrt{7}-\sqrt{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ преобразуется к $\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{7}-\sqrt{2}$.

2) Для доказательства тождества $\sqrt{6\sqrt{2}+11} = \sqrt{2}+3$ можно возвести обе части в квадрат. Так как обе части равенства являются положительными числами, данное преобразование является равносильным.

Возведем в квадрат левую часть:

$(\sqrt{11+6\sqrt{2}})^2 = 11+6\sqrt{2}$.

Возведем в квадрат правую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{2}+3)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9 = 11+6\sqrt{2}$.

Так как результаты возведения в квадрат обеих частей равны ($11+6\sqrt{2} = 11+6\sqrt{2}$), а сами исходные выражения были неотрицательны, то исходное тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано, так как квадраты обеих частей равны $11+6\sqrt{2}$, и обе части неотрицательны.

3) Для доказательства тождества $\sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}} = 4$ упростим каждое из слагаемых в левой части, выделив под корнем полный квадрат.

Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$. Представим его в виде $\sqrt{a^2+2ab+b^2}=\sqrt{(a+b)^2}$.

$7+4\sqrt{3} = 7+2 \cdot 2\sqrt{3}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=7$ и $ab=2\sqrt{3}$. Попробуем $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Тогда $a^2+b^2 = 2^2+(\sqrt{3})^2 = 4+3=7$. Подходит.

Значит, $7+4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

Следовательно, $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}$.

Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$. Аналогично:

$7-4\sqrt{3} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2$.

Так как $2 = \sqrt{4}$, а $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, то $2-\sqrt{3} > 0$.

Следовательно, $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные результаты:

$(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3} = 4$.

Левая часть равна 4, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть равна $(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$.

4) Для доказательства тождества $\sqrt{8+2\sqrt{7}} + \sqrt{8-2\sqrt{7}} = 2\sqrt{7}$ поступим аналогично предыдущему пункту, упростив каждое слагаемое.

Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=8$ и $2ab=2\sqrt{7}$, то есть $ab=\sqrt{7}$. Попробуем $a=\sqrt{7}$ и $b=1$. Тогда $a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2+1^2 = 7+1=8$. Подходит.

Значит, $8+2\sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{7}+1)^2$.

Следовательно, $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = |\sqrt{7}+1| = \sqrt{7}+1$.

Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt{8-2\sqrt{7}}$. Аналогично:

$8-2\sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{7}-1)^2$.

Так как $\sqrt{7} > \sqrt{1}=1$, то $\sqrt{7}-1 > 0$.

Следовательно, $\sqrt{8-2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = |\sqrt{7}-1| = \sqrt{7}-1$.

Сложим полученные выражения:

$(\sqrt{7}+1) + (\sqrt{7}-1) = \sqrt{7}+1+\sqrt{7}-1 = 2\sqrt{7}$.

Левая часть равна $2\sqrt{7}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть равна $(\sqrt{7}+1) + (\sqrt{7}-1) = 2\sqrt{7}$.

*20. Докажите, что является натуральным числом значение выражения:

1) $\sqrt{4-2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4+2\sqrt{3}} + \sqrt{6+4\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6-4\sqrt{2}};$

2) $\frac{7}{2\sqrt{2}+6} - \frac{7}{2\sqrt{2}-6};$

3) $8 + (\sqrt{7-2\sqrt{10}} + \sqrt{7+2\sqrt{10}}) \cdot \sqrt{5};$

4) $\frac{9}{8+2\sqrt{7}} + \frac{9}{8-2\sqrt{7}}.$

1) Для доказательства преобразуем данное выражение. Выражение состоит из двух слагаемых. Рассмотрим каждое по отдельности.

Первое слагаемое: $ \sqrt{4-2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4+2\sqrt{3}} $.

Воспользуемся свойством произведения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $ и формулой разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

$ \sqrt{4-2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 4 \cdot 3} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4} = 2 $.

Второе слагаемое: $ \sqrt{6+4\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6-4\sqrt{2}} $.

Аналогично первому слагаемому:

$ \sqrt{6+4\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6-4\sqrt{2}} = \sqrt{(6+4\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})} = \sqrt{6^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 16 \cdot 2} = \sqrt{36-32} = \sqrt{4} = 2 $.

Сложим полученные значения:

$ 2 + 2 = 4 $.

Число 4 является натуральным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 4.

2) Для доказательства упростим выражение $ \frac{7}{2\sqrt{2}+6} - \frac{7}{2\sqrt{2}-6} $.

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $ (2\sqrt{2}+6)(2\sqrt{2}-6) $.

Используя формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $, вычислим знаменатель:

$ (2\sqrt{2}+6)(2\sqrt{2}-6) = (2\sqrt{2})^2 - 6^2 = 4 \cdot 2 - 36 = 8 - 36 = -28 $.

Теперь преобразуем всё выражение:

$ \frac{7(2\sqrt{2}-6) - 7(2\sqrt{2}+6)}{(2\sqrt{2}+6)(2\sqrt{2}-6)} = \frac{14\sqrt{2} - 42 - (14\sqrt{2} + 42)}{-28} = \frac{14\sqrt{2} - 42 - 14\sqrt{2} - 42}{-28} = \frac{-84}{-28} = 3 $.

Число 3 является натуральным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 3.

3) Для доказательства упростим выражение $ 8 + (\sqrt{7-2\sqrt{10}} + \sqrt{7+2\sqrt{10}}) \cdot \sqrt{5} $.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Для этого воспользуемся формулой для сложных радикалов: $ \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} $, где $ x+y=a $ и $ xy=b $.

Для $ \sqrt{7-2\sqrt{10}} $: $ x+y=7 $ и $ xy=10 $. Подходят числа $ x=5 $ и $ y=2 $.

Значит, $ \sqrt{7-2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{2}| = \sqrt{5}-\sqrt{2} $ (так как $ \sqrt{5} > \sqrt{2} $).

Для $ \sqrt{7+2\sqrt{10}} $: $ x+y=7 $ и $ xy=10 $. Подходят числа $ x=5 $ и $ y=2 $.

Значит, $ \sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2} $.

Теперь сложим эти два выражения:

$ (\sqrt{5}-\sqrt{2}) + (\sqrt{5}+\sqrt{2}) = 2\sqrt{5} $.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ 8 + (2\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} = 8 + 2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 8 + 2 \cdot 5 = 8 + 10 = 18 $.

Число 18 является натуральным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 18.

4) Для доказательства упростим выражение $ \frac{9}{8+2\sqrt{7}} + \frac{9}{8-2\sqrt{7}} $.

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $ (8+2\sqrt{7})(8-2\sqrt{7}) $.

Используя формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $, вычислим знаменатель:

$ (8+2\sqrt{7})(8-2\sqrt{7}) = 8^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - 4 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 $.

Теперь преобразуем всё выражение:

$ \frac{9(8-2\sqrt{7}) + 9(8+2\sqrt{7})}{(8+2\sqrt{7})(8-2\sqrt{7})} = \frac{72 - 18\sqrt{7} + 72 + 18\sqrt{7}}{36} = \frac{144}{36} = 4 $.

Число 4 является натуральным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 4.

21. Вычислите значение выражения с переменной:

1) $x^2 + 4\sqrt{5}$ при $x = 1 - 2\sqrt{5}$;

2) $x^2 - 6x + 4$ при $x = 3 + \sqrt{3}$;

3) $x^2 - 4x$ при $x = 2 - \sqrt{2}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 + 4\sqrt{5}$ при $x = 1 - 2\sqrt{5}$, подставим значение $x$ в выражение:
$(1 - 2\sqrt{5})^2 + 4\sqrt{5}$
Для раскрытия скобок применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=1$ и $b=2\sqrt{5}$:
$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 + 4\sqrt{5}$
Выполним вычисления:
$1 - 4\sqrt{5} + 4 \cdot 5 + 4\sqrt{5}$
$1 - 4\sqrt{5} + 20 + 4\sqrt{5}$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(1 + 20) + (-4\sqrt{5} + 4\sqrt{5}) = 21 + 0 = 21$
Ответ: $21$

2) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 6x + 4$ при $x = 3 + \sqrt{3}$, можно предварительно преобразовать выражение, выделив полный квадрат.
Заметим, что $x^2 - 6x$ — это часть формулы квадрата разности $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$.
Представим выражение в следующем виде:
$x^2 - 6x + 4 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 4 = (x - 3)^2 - 5$
Теперь подставим значение $x = 3 + \sqrt{3}$ в преобразованное выражение:
$((3 + \sqrt{3}) - 3)^2 - 5$
Упростим выражение в скобках:
$(\sqrt{3})^2 - 5$
Вычислим результат:
$3 - 5 = -2$
Ответ: $-2$

3) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 4x$ при $x = 2 - \sqrt{2}$, можно также применить метод выделения полного квадрата.
Заметим, что $x^2 - 4x$ — это часть формулы квадрата разности $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$.
Представим выражение в следующем виде:
$x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4$
Теперь подставим значение $x = 2 - \sqrt{2}$ в преобразованное выражение:
$((2 - \sqrt{2}) - 2)^2 - 4$
Упростим выражение в скобках:
$(-\sqrt{2})^2 - 4$
Вычислим результат:
$2 - 4 = -2$
Ответ: $-2$

22. Преобразуйте выражение:

1) $\sqrt{a^8 b^2}$;

2) $\sqrt{\frac{16a^{16}}{9b^{14}}}$ при $b > 0$;

3) $\sqrt{b^{10} x^8}$ при $b \ge 0$;

4) $\sqrt{25x^8 a^{12}}$;

5) $\sqrt{\frac{4x^6}{y^2}}$ при $x < 0, y < 0$;

6) $\sqrt{0,25 p^6 y^{10}}$ при $p \ge 0, y \le 0.$

1) Для преобразования выражения $\sqrt{a^8b^2}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{XY} = \sqrt{X}\sqrt{Y}$ и определением арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
$\sqrt{a^8b^2} = \sqrt{a^8} \cdot \sqrt{b^2}$.
Представим $a^8$ в виде $(a^4)^2$. Тогда $\sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4|$. Поскольку любое число в четной степени ($a^4$) является неотрицательным, то $|a^4| = a^4$.
Для второго множителя имеем $\sqrt{b^2} = |b|$. Так как нет информации о знаке переменной $b$, мы должны сохранить модуль.
Объединив результаты, получаем: $\sqrt{a^8b^2} = a^4|b|$.
Ответ: $a^4|b|$.

2) Для преобразования выражения $\sqrt{\frac{16a^{16}}{9b^{14}}}$ при $b > 0$ воспользуемся свойством корня из частного $\sqrt{\frac{X}{Y}} = \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{Y}}$.
$\sqrt{\frac{16a^{16}}{9b^{14}}} = \frac{\sqrt{16a^{16}}}{\sqrt{9b^{14}}}$.
Рассмотрим числитель: $\sqrt{16a^{16}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{(a^8)^2} = 4|a^8|$. Так как $a^8$ всегда неотрицательно, $|a^8| = a^8$. Таким образом, числитель равен $4a^8$.
Рассмотрим знаменатель: $\sqrt{9b^{14}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{(b^7)^2} = 3|b^7|$. По условию задачи $b > 0$, следовательно, $b^7$ также будет больше нуля, поэтому $|b^7| = b^7$. Знаменатель равен $3b^7$.
Итоговый результат: $\frac{4a^8}{3b^7}$.
Ответ: $\frac{4a^8}{3b^7}$.

3) Для преобразования выражения $\sqrt{b^{10}x^8}$ при $b \ge 0$ используем свойство корня из произведения.
$\sqrt{b^{10}x^8} = \sqrt{b^{10}} \cdot \sqrt{x^8}$.
Упростим первый множитель: $\sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5|$. Согласно условию $b \ge 0$, выражение $b^5$ будет неотрицательным, поэтому $|b^5| = b^5$.
Упростим второй множитель: $\sqrt{x^8} = \sqrt{(x^4)^2} = |x^4|$. Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^4| = x^4$.
Перемножив результаты, получаем: $b^5x^4$.
Ответ: $b^5x^4$.

4) Преобразуем выражение $\sqrt{25x^8a^{12}}$.
$\sqrt{25x^8a^{12}} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^8} \cdot \sqrt{a^{12}}$.
$\sqrt{25} = 5$.
$\sqrt{x^8} = \sqrt{(x^4)^2} = |x^4|$. Так как $x^4 \ge 0$ при любом $x$, то $|x^4| = x^4$.
$\sqrt{a^{12}} = \sqrt{(a^6)^2} = |a^6|$. Так как $a^6 \ge 0$ при любом $a$, то $|a^6| = a^6$.
Объединив множители, получаем: $5x^4a^6$.
Ответ: $5x^4a^6$.

5) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{4x^6}{y^2}}$ при $x < 0, y < 0$.
$\sqrt{\frac{4x^6}{y^2}} = \frac{\sqrt{4x^6}}{\sqrt{y^2}}$.
Рассмотрим числитель: $\sqrt{4x^6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{(x^3)^2} = 2|x^3|$. По условию $x < 0$, следовательно, $x^3$ (число в нечетной степени) будет отрицательным. Поэтому $|x^3| = -x^3$. Числитель равен $2(-x^3) = -2x^3$.
Рассмотрим знаменатель: $\sqrt{y^2} = |y|$. По условию $y < 0$, поэтому $|y| = -y$.
Объединяем числитель и знаменатель: $\frac{-2x^3}{-y} = \frac{2x^3}{y}$.
Ответ: $\frac{2x^3}{y}$.

6) Преобразуем выражение $\sqrt{0.25p^6y^{10}}$ при $p \ge 0, y \le 0$.
$\sqrt{0.25p^6y^{10}} = \sqrt{0.25} \cdot \sqrt{p^6} \cdot \sqrt{y^{10}}$.
$\sqrt{0.25} = 0.5$.
$\sqrt{p^6} = \sqrt{(p^3)^2} = |p^3|$. По условию $p \ge 0$, значит $p^3$ неотрицательно, и $|p^3| = p^3$.
$\sqrt{y^{10}} = \sqrt{(y^5)^2} = |y^5|$. По условию $y \le 0$, значит $y^5$ (число в нечетной степени) будет неположительным, и $|y^5| = -y^5$.
Перемножая результаты, получаем: $0.5 \cdot p^3 \cdot (-y^5) = -0.5p^3y^5$.
Ответ: $-0.5p^3y^5$.

23. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{(-5x)^2}$;

2) $\sqrt{(-a)^2(-x)^8}$;

3) $0,5\sqrt{20y^2}$;

4) $0,1\sqrt{75x^3}$;

5) $a\sqrt{18x^2y}$;

6) $0,5\sqrt{169a^2}$;

7) $0,2\sqrt{2,25a^7}$;

8) $-m^2\sqrt{0,81ym^4}$;

9) $\sqrt{0,09a^2c}$, где $a < 0$;

10) $\frac{1}{x^3}\sqrt{-x^3}$;

11) $2,1\sqrt{2500x^4}$, где $x > 0$;

12) $\sqrt{1,96a^3b^3}$, где $a < 0, b < 0$;

13) $\sqrt{50y^4x^3}$;

14) $a\sqrt{-3x^3a^4}$.

1) Для вынесения множителя из-под знака корня воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(-5x)^2} = |-5x| = |-5| \cdot |x| = 5|x|$

Ответ: $5|x|$.

2) Используем свойства степеней и корней: $(-a)^2 = a^2$ и $(-x)^8 = ((-x)^4)^2 = x^8 = (x^4)^2$.

$\sqrt{(-a)^2 (-x)^8} = \sqrt{a^2 (x^4)^2} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{(x^4)^2} = |a| \cdot |x^4|$

Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $|x^4| = x^4$.

$\sqrt{(-a)^2 (-x)^8} = |a|x^4$

Ответ: $|a|x^4$.

3) Разложим подкоренное выражение на множители: $20 = 4 \cdot 5$.

$0,5\sqrt{20y^2} = 0,5\sqrt{4 \cdot 5 \cdot y^2} = 0,5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{y^2} \cdot \sqrt{5} = 0,5 \cdot 2 \cdot |y| \cdot \sqrt{5} = |y|\sqrt{5}$

Ответ: $|y|\sqrt{5}$.

4) Область допустимых значений: $75x^3 \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Разложим подкоренное выражение: $75 = 25 \cdot 3$ и $x^3 = x^2 \cdot x$.

$0,1\sqrt{75x^3} = 0,1\sqrt{25 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot x} = 0,1 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{3x} = 0,1 \cdot 5 \cdot |x| \cdot \sqrt{3x}$

Поскольку $x \ge 0$, то $|x| = x$.

$0,1 \cdot 5x\sqrt{3x} = 0,5x\sqrt{3x}$

Ответ: $0,5x\sqrt{3x}$.

5) Область допустимых значений: $18x^2y \ge 0$. Так как $18>0$ и $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$. Разложим подкоренное выражение: $18 = 9 \cdot 2$.

$a\sqrt{18x^2y} = a\sqrt{9 \cdot 2 \cdot x^2 \cdot y} = a \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2y} = a \cdot 3 \cdot |x| \cdot \sqrt{2y} = 3a|x|\sqrt{2y}$

Ответ: $3a|x|\sqrt{2y}$.

6) Используем свойство $\sqrt{a^2}=|a|$.

$0,5\sqrt{169a^2} = 0,5 \cdot \sqrt{169} \cdot \sqrt{a^2} = 0,5 \cdot 13 \cdot |a| = 6,5|a|$

Ответ: $6,5|a|$.

7) Область допустимых значений: $2,25a^7 \ge 0$, откуда $a \ge 0$. Разложим подкоренное выражение: $a^7 = a^6 \cdot a = (a^3)^2 \cdot a$.

$0,2\sqrt{2,25a^7} = 0,2\sqrt{1,5^2 \cdot (a^3)^2 \cdot a} = 0,2 \cdot \sqrt{1,5^2} \cdot \sqrt{(a^3)^2} \cdot \sqrt{a} = 0,2 \cdot 1,5 \cdot |a^3| \cdot \sqrt{a}$

Так как $a \ge 0$, то $a^3 \ge 0$, и $|a^3|=a^3$.

$0,2 \cdot 1,5 \cdot a^3\sqrt{a} = 0,3a^3\sqrt{a}$

Ответ: $0,3a^3\sqrt{a}$.

8) Область допустимых значений: $0,81ym^4 \ge 0$. Так как $m^4 \ge 0$, то $y \ge 0$. Разложим подкоренное выражение: $m^4 = (m^2)^2$.

$-m^2\sqrt{0,81ym^4} = -m^2\sqrt{0,9^2 \cdot y \cdot (m^2)^2} = -m^2 \cdot \sqrt{0,9^2} \cdot \sqrt{(m^2)^2} \cdot \sqrt{y} = -m^2 \cdot 0,9 \cdot |m^2| \cdot \sqrt{y}$

Так как $m^2 \ge 0$, то $|m^2|=m^2$.

$-m^2 \cdot 0,9 \cdot m^2\sqrt{y} = -0,9m^4\sqrt{y}$

Ответ: $-0,9m^4\sqrt{y}$.

9) Область допустимых значений: $0,09a^2c \ge 0$. Так как $a^2>0$ (по условию $a<0$), то $c \ge 0$.

$\sqrt{0,09a^2c} = \sqrt{0,3^2 \cdot a^2 \cdot c} = \sqrt{0,3^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{c} = 0,3|a|\sqrt{c}$

По условию $a < 0$, следовательно $|a| = -a$.

$0,3(-a)\sqrt{c} = -0,3a\sqrt{c}$

Ответ: $-0,3a\sqrt{c}$.

10) Область допустимых значений: $-x^3 \ge 0$, откуда $x^3 \le 0$, что означает $x \le 0$. Также из знаменателя следует, что $x \ne 0$, поэтому $x < 0$. Разложим подкоренное выражение: $-x^3 = -x \cdot x^2$.

$\frac{1}{x^3}\sqrt{-x^3} = \frac{1}{x^3}\sqrt{x^2 \cdot (-x)} = \frac{1}{x^3} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{-x} = \frac{1}{x^3} \cdot |x| \cdot \sqrt{-x}$

Так как $x < 0$, то $|x| = -x$.

$\frac{1}{x^3} \cdot (-x) \cdot \sqrt{-x} = -\frac{x}{x^3}\sqrt{-x} = -\frac{1}{x^2}\sqrt{-x}$

Ответ: $-\frac{1}{x^2}\sqrt{-x}$.

11) Разложим подкоренное выражение: $2500 = 50^2$ и $x^4 = (x^2)^2$. Условие $x > 0$ обеспечивает, что выражение определено.

$2,1\sqrt{2500x^4} = 2,1\sqrt{50^2 \cdot (x^2)^2} = 2,1 \cdot \sqrt{50^2} \cdot \sqrt{(x^2)^2} = 2,1 \cdot 50 \cdot |x^2|$

Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $|x^2|=x^2$.

$2,1 \cdot 50 \cdot x^2 = 105x^2$

Ответ: $105x^2$.

12) Область допустимых значений: $a^3b^3 = (ab)^3 \ge 0$, что означает $ab \ge 0$. По условию $a < 0$ и $b < 0$, произведение $ab > 0$, так что условие выполняется. Разложим подкоренное выражение: $a^3b^3 = a^2b^2 \cdot ab$.

$\sqrt{1,96a^3b^3} = \sqrt{1,4^2 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot ab} = \sqrt{1,4^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{ab} = 1,4|a||b|\sqrt{ab}$

По условию $a < 0$ и $b < 0$, значит $|a| = -a$ и $|b| = -b$.

$1,4(-a)(-b)\sqrt{ab} = 1,4ab\sqrt{ab}$

Ответ: $1,4ab\sqrt{ab}$.

13) Область допустимых значений: $50y^4x^3 \ge 0$. Так как $y^4 \ge 0$, то $x^3 \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Разложим подкоренное выражение: $50 = 25 \cdot 2$, $y^4 = (y^2)^2$, $x^3 = x^2 \cdot x$.

$\sqrt{50y^4x^3} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot (y^2)^2 \cdot x^2 \cdot x} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{(y^2)^2} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2x} = 5|y^2||x|\sqrt{2x}$

Так как $y^2 \ge 0$ и $x \ge 0$, то $|y^2|=y^2$ и $|x|=x$.

$5y^2x\sqrt{2x}$

Ответ: $5xy^2\sqrt{2x}$.

14) Область допустимых значений: $-3x^3a^4 \ge 0$. Так как $a^4 \ge 0$ и $-3 < 0$, то $x^3 \le 0$, что означает $x \le 0$. Разложим подкоренное выражение: $x^3 = x^2 \cdot x$, $a^4 = (a^2)^2$.

$a\sqrt{-3x^3a^4} = a\sqrt{-3 \cdot x \cdot x^2 \cdot (a^2)^2} = a\sqrt{x^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (-3x)} = a \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{-3x} = a|x||a^2|\sqrt{-3x}$

Так как $x \le 0$, то $|x| = -x$. Так как $a^2 \ge 0$, то $|a^2| = a^2$.

$a(-x)a^2\sqrt{-3x} = -a^3x\sqrt{-3x}$

Ответ: $-a^3x\sqrt{-3x}$.

1. Какие углы считаются положительными, какие — отрицательными?

2. В каких единицах измеряют углы?

3. Как перевести радианную меру угла в градусную и наоборот?

1. Какие углы считаются положительными, какие — отрицательными?

В математике и физике знак угла определяется направлением поворота. За начало отсчета обычно принимают положительное направление оси абсцисс (оси Ox) в декартовой системе координат. Угол образуется поворотом луча из этого начального положения.

• Положительными считаются углы, образованные поворотом луча против часовой стрелки.

• Отрицательными считаются углы, образованные поворотом луча по часовой стрелке.

Например, угол $90^\circ$ означает поворот против часовой стрелки на четверть окружности, в то время как угол $-90^\circ$ означает такой же по величине поворот, но по часовой стрелке. Стоит отметить, что положение луча при повороте на угол $\alpha$ и на угол $\alpha + 360^\circ \times k$ (где $k$ — любое целое число) будет одинаковым.

Ответ: Углы, отсчитываемые против часовой стрелки, считаются положительными, а углы, отсчитываемые по часовой стрелке, — отрицательными.

2. В каких единицах измеряют углы?

Существуют две основные единицы измерения углов: градусы и радианы.

• Градусная мера. Единицей измерения является градус ($^\circ$). Он представляет собой $1/360$ часть полного оборота. Таким образом, полный угол равен $360^\circ$, развернутый угол — $180^\circ$, а прямой — $90^\circ$. Для более точных измерений градус делят на 60 минут ($1^\circ = 60'$), а минуту — на 60 секунд ($1' = 60''$). Градусная мера широко применяется в геометрии, астрономии и геодезии.

• Радианная мера. Единицей измерения является радиан (рад). Один радиан — это величина центрального угла, опирающегося на дугу окружности, длина которой равна ее радиусу. Поскольку длина окружности равна $2\pi R$, полный угол содержит $2\pi$ радиан. Радианная мера является основной в высшей математике (в частности, в тригонометрии и математическом анализе) и физике, так как многие формулы (например, производные тригонометрических функций) имеют более простой вид при использовании радиан.

Ответ: Основными единицами измерения углов являются градусы и радианы.

3. Как перевести радианную меру угла в градусную и наоборот?

Перевод из одной системы измерения углов в другую основан на фундаментальном соотношении, связывающем полный оборот в градусах и радианах: $360^\circ = 2\pi$ радиан. Упростив это выражение, получаем ключевое равенство для перевода:

$180^\circ = \pi \text{ радиан}$

Из этого соотношения легко получить формулы для взаимного преобразования.

Перевод из градусов в радианы

Чтобы перевести угол, измеренный в градусах, в радианы, необходимо его величину умножить на дробь $\frac{\pi}{180}$.

Формула: $\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{^\circ} \times \frac{\pi}{180}$

Пример: Переведем $45^\circ$ в радианы.

$45^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

Перевод из радиан в градусы

Чтобы перевести угол, измеренный в радианах, в градусы, необходимо его величину умножить на дробь $\frac{180}{\pi}$.

Формула: $\alpha_{^\circ} = \alpha_{\text{рад}} \times \frac{180}{\pi}$

Пример: Переведем угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан в градусы.

$\frac{2\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \times 180^\circ}{3} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: Для перевода градусов в радианы используется формула $\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{^\circ} \times \frac{\pi}{180}$, а для перевода радиан в градусы — формула $\alpha_{^\circ} = \alpha_{\text{рад}} \times \frac{180}{\pi}$.

19.1. Запишите с помощью $\pi$ радианную меру угла, если его градусная мера равна:

1) $30^\circ$;

2) $45^\circ$;

3) $60^\circ$;

4) $90^\circ$;

5) $150^\circ$;

6) $180^\circ$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула: $\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180}$, где $\alpha_{\text{рад}}$ — мера угла в радианах, а $\alpha_{\text{град}}$ — мера угла в градусах.

1) Чтобы перевести $30^\circ$ в радианы, умножим это значение на $\frac{\pi}{180}$:
$30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ рад.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$

2) Переведем $45^\circ$ в радианы:
$45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ рад.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

3) Переведем $60^\circ$ в радианы:
$60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ рад.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

4) Переведем $90^\circ$ в радианы:
$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ рад.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

5) Переведем $150^\circ$ в радианы:
$150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{150\pi}{180} = \frac{5 \cdot 30 \pi}{6 \cdot 30} = \frac{5\pi}{6}$ рад.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

6) Переведем $180^\circ$ в радианы:
$180^\circ = 180 \cdot \frac{\pi}{180} = \pi$ рад.
Ответ: $\pi$

19.2. Запишите градусную меру угла, если его радианная мера равна:

1) $ \frac{\pi}{4} $;

2) $ \frac{3\pi}{4} $;

3) $ \frac{\pi}{3} $;

4) $ \frac{2\pi}{3} $;

5) $ \frac{5\pi}{6} $;

6) $ \frac{\pi}{2} $.

Для перевода радианной меры угла в градусную используется основное соотношение: $\pi \text{ радиан} = 180^\circ$. Чтобы найти градусную меру угла, данную в радианах, нужно умножить значение на $\frac{180^\circ}{\pi}$. На практике это часто сводится к замене $\pi$ на $180^\circ$ в выражении.

1) Для угла $\frac{\pi}{4}$ радиан:
$\frac{\pi}{4} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.
Расчет: $\frac{\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2) Для угла $\frac{3\pi}{4}$ радиан:
$\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 3 \times 45^\circ = 135^\circ$.
Расчет: $\frac{3\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 3 \times \frac{180^\circ}{4} = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$.

3) Для угла $\frac{\pi}{3}$ радиан:
$\frac{\pi}{3} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.
Расчет: $\frac{\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

4) Для угла $\frac{2\pi}{3}$ радиан:
$\frac{2\pi}{3} = \frac{2 \times 180^\circ}{3} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$.
Расчет: $\frac{2\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 2 \times \frac{180^\circ}{3} = 120^\circ$.
Ответ: $120^\circ$.

5) Для угла $\frac{5\pi}{6}$ радиан:
$\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \times 180^\circ}{6} = 5 \times 30^\circ = 150^\circ$.
Расчет: $\frac{5\pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \times \frac{180^\circ}{6} = 150^\circ$.
Ответ: $150^\circ$.

6) Для угла $\frac{\pi}{2}$ радиан:
$\frac{\pi}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
Расчет: $\frac{\pi}{2} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.