Страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

6. Упростите выражение:

1) $ (b - \frac{b^2 - 3}{b + 1}) : \frac{b + 3}{1 - b^2} $;

2) $ (b - \frac{b^2 - 6}{b + 1}) : \frac{b + 6}{b^2 - 1} $;

3) $ (1 + 2b - \frac{b^2 + b}{b + 1}) \cdot (1 - b) $.

1) Для упрощения выражения $\left(b - \frac{b^2 - 3}{b + 1}\right) : \frac{b + 3}{1 - b^2}$ выполним действия по шагам.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $b + 1$:
$b - \frac{b^2 - 3}{b + 1} = \frac{b(b + 1)}{b + 1} - \frac{b^2 - 3}{b + 1} = \frac{b^2 + b - (b^2 - 3)}{b + 1} = \frac{b^2 + b - b^2 + 3}{b + 1} = \frac{b + 3}{b + 1}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{b + 3}{b + 1} : \frac{b + 3}{1 - b^2} = \frac{b + 3}{b + 1} \cdot \frac{1 - b^2}{b + 3}$.
Сократим одинаковые множители $(b + 3)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{b + 1} \cdot (1 - b^2)$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$ к выражению $1 - b^2$:
$1 - b^2 = (1 - b)(1 + b)$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{(1 - b)(1 + b)}{b + 1}$.
Так как $1 + b = b + 1$, сокращаем эти множители:
$1 - b$.
Ответ: $1 - b$.

2) Для упрощения выражения $\left(b - \frac{b^2 - 6}{b + 1}\right) : \frac{b + 6}{b^2 - 1}$ выполним действия по шагам.
Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $b + 1$:
$b - \frac{b^2 - 6}{b + 1} = \frac{b(b + 1)}{b + 1} - \frac{b^2 - 6}{b + 1} = \frac{b^2 + b - (b^2 - 6)}{b + 1} = \frac{b^2 + b - b^2 + 6}{b + 1} = \frac{b + 6}{b + 1}$.
Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:
$\frac{b + 6}{b + 1} : \frac{b + 6}{b^2 - 1} = \frac{b + 6}{b + 1} \cdot \frac{b^2 - 1}{b + 6}$.
Сократим одинаковые множители $(b + 6)$:
$\frac{b^2 - 1}{b + 1}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$:
$\frac{(b - 1)(b + 1)}{b + 1}$.
Сократим множители $(b + 1)$:
$b - 1$.
Ответ: $b - 1$.

3) Для упрощения выражения $\left(1 + 2b - \frac{b^2 + b}{b + 1}\right) \cdot (1 - b)$ выполним действия по шагам.
Сначала упростим выражение в скобках. Упростим дробь, вынеся $b$ за скобки в числителе:
$\frac{b^2 + b}{b + 1} = \frac{b(b + 1)}{b + 1}$.
При условии, что $b + 1 \neq 0$, то есть $b \neq -1$, мы можем сократить дробь:
$\frac{b(b + 1)}{b + 1} = b$.
Подставим это упрощенное выражение обратно в скобки:
$1 + 2b - b = 1 + b$.
Теперь всё выражение принимает вид:
$(1 + b)(1 - b)$.
Это формула разности квадратов $(a+c)(a-c) = a^2 - c^2$:
$1^2 - b^2 = 1 - b^2$.
Ответ: $1 - b^2$.

7. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{b^3 - 1}{b - 1} + b\right) : \frac{b^2 - 1}{b - 1} = b + 1;$

2) $\frac{1 + b}{1 - b^2} \cdot \left(\frac{1 + b^3}{1 + b} - b\right) = 1 - b.$

1) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть равенства и покажем, что она равна правой части. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $b$ определяется условиями, что знаменатели не равны нулю и делитель не равен нулю: $b - 1 \neq 0 \Rightarrow b \neq 1$ и $\frac{b^2 - 1}{b - 1} \neq 0 \Rightarrow b^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow b \neq \pm 1$. Таким образом, $b \neq 1$ и $b \neq -1$.

Выполним преобразования по действиям:

Первое действие в скобках: $\frac{b^3 - 1}{b - 1} + b$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - c^3 = (a-c)(a^2+ac+c^2)$ к числителю дроби $b^3 - 1$:
$\frac{b^3 - 1}{b - 1} = \frac{(b - 1)(b^2 + b + 1)}{b - 1}$.
Сократим дробь на $(b - 1)$, так как $b \neq 1$:
$b^2 + b + 1$.
Теперь выполним сложение:
$(b^2 + b + 1) + b = b^2 + 2b + 1$.
Это выражение является полным квадратом: $b^2 + 2b + 1 = (b + 1)^2$.

Второе действие - деление. Сначала упростим делитель: $\frac{b^2 - 1}{b - 1}$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$ к числителю $b^2 - 1$:
$\frac{b^2 - 1}{b - 1} = \frac{(b - 1)(b + 1)}{b - 1}$.
Сократим дробь на $(b - 1)$:
$b + 1$.

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:
$(b + 1)^2 : (b + 1) = \frac{(b + 1)^2}{b + 1}$.
Сократим дробь на $(b + 1)$, так как $b \neq -1$:
$b + 1$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $b + 1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Левая часть $(\frac{b^3 - 1}{b - 1} + b) : \frac{b^2 - 1}{b - 1} = (b^2+b+1+b) : (b+1) = (b^2+2b+1) : (b+1) = (b+1)^2 : (b+1) = b+1$. Так как $b+1 = b+1$, тождество верно.

2) Преобразуем левую часть тождества. ОДЗ: $1 - b^2 \neq 0 \Rightarrow b \neq \pm 1$ и $1 + b \neq 0 \Rightarrow b \neq -1$. Таким образом, $b \neq 1$ и $b \neq -1$.

Выполним преобразования по действиям.

Первый множитель: $\frac{1 + b}{1 - b^2}$.
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $1 - b^2 = (1 - b)(1 + b)$.
$\frac{1 + b}{(1 - b)(1 + b)}$.
Сократим дробь на $(1 + b)$, так как $b \neq -1$:
$\frac{1}{1 - b}$.

Выражение в скобках: $\frac{1 + b^3}{1 + b} - b$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + c^3 = (a+c)(a^2-ac+c^2)$ к числителю дроби $1 + b^3$:
$\frac{1 + b^3}{1 + b} = \frac{(1 + b)(1 - b + b^2)}{1 + b}$.
Сократим дробь на $(1 + b)$:
$1 - b + b^2$.
Теперь выполним вычитание:
$(1 - b + b^2) - b = 1 - 2b + b^2$.
Это выражение является полным квадратом: $1 - 2b + b^2 = (1 - b)^2$.

Теперь перемножим результаты:
$\frac{1}{1 - b} \cdot (1 - b)^2 = \frac{(1 - b)^2}{1 - b}$.
Сократим дробь на $(1 - b)$, так как $b \neq 1$:
$1 - b$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $1 - b$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Левая часть $\frac{1 + b}{1 - b^2} \cdot (\frac{1 + b^3}{1 + b} - b) = \frac{1}{1-b} \cdot (1-b+b^2 - b) = \frac{1}{1-b} \cdot (1-2b+b^2) = \frac{1}{1-b} \cdot (1-b)^2 = 1-b$. Так как $1-b = 1-b$, тождество верно.

8. Сократите дробь:

1) $ \frac{a^4 - 4}{a^3 + 2a} $;

2) $ \frac{x^4 - 4x^2 + 4}{x^3 - 2x} $;

3) $ \frac{x^4 - 6x^2 + 9}{3x - x^3} $;

4) $ \frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 + 8} $.

1) Для сокращения дроби $\frac{a^4 - 4}{a^3 + 2a}$ необходимо разложить на множители числитель и знаменатель. Числитель $a^4 - 4$ представляет собой разность квадратов $(a^2)^2 - 2^2$, которая по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ раскладывается как $(a^2 - 2)(a^2 + 2)$. В знаменателе $a^3 + 2a$ выносим общий множитель $a$ за скобки, получая $a(a^2 + 2)$. Исходная дробь принимает вид $\frac{(a^2 - 2)(a^2 + 2)}{a(a^2 + 2)}$. Сократив общий множитель $(a^2 + 2)$, получаем конечный результат. Ответ: $\frac{a^2 - 2}{a}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{x^4 - 4x^2 + 4}{x^3 - 2x}$. Числитель $x^4 - 4x^2 + 4$ является полным квадратом разности $(x^2 - 2)^2$, так как соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ при $a = x^2$ и $b = 2$. В знаменателе $x^3 - 2x$ выносим за скобки общий множитель $x$, что дает $x(x^2 - 2)$. Дробь преобразуется к виду $\frac{(x^2 - 2)^2}{x(x^2 - 2)}$. После сокращения на общий множитель $(x^2 - 2)$ остается выражение $\frac{x^2 - 2}{x}$. Ответ: $\frac{x^2 - 2}{x}$.

3) Упростим дробь $\frac{x^4 - 6x^2 + 9}{3x - x^3}$. Числитель $x^4 - 6x^2 + 9$ представляет собой полный квадрат выражения $(x^2 - 3)$, то есть $(x^2 - 3)^2$. В знаменателе $3x - x^3$ вынесем за скобки общий множитель $-x$, чтобы получить выражение, удобное для сокращения: $3x - x^3 = -x(x^2 - 3)$. Таким образом, дробь можно записать как $\frac{(x^2 - 3)^2}{-x(x^2 - 3)}$. Сокращаем дробь на общий множитель $(x^2 - 3)$, в результате чего получаем $\frac{x^2 - 3}{-x}$, что равносильно $\frac{3 - x^2}{x}$. Ответ: $\frac{3 - x^2}{x}$.

4) Сократим дробь $\frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 + 8}$. Знаменатель $x^3 + 8$ является суммой кубов $x^3 + 2^3$. Применяя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, получаем $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$. Числитель дроби $x^2 - 2x + 4$ совпадает с одним из множителей в разложении знаменателя. Дробь принимает вид $\frac{x^2 - 2x + 4}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$. Сократив на общий множитель $(x^2 - 2x + 4)$, получаем результат. Ответ: $\frac{1}{x + 2}$.

9. Упростите выражение:

1) $(\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})^2 - 2;$

2) $(\frac{a+y}{a} - \frac{a-y}{y})^2 - (\frac{a+y}{a} + \frac{a-y}{y})^2;$

3) $\frac{x}{x+1} \cdot (\frac{4x}{x^2-1} + \frac{x-1}{x+1}) - \frac{x}{x-1};$

4) $a^4 \cdot (\frac{3a+b}{a} - 3)^2 + b^4 \cdot (\frac{a-2b}{b} + 2)^2 - 4 (ab)^2;$

5) $\frac{a}{a-2} - (\frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2}) \cdot \frac{a}{a+2};$

6) $2 + (\frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7};$

7) $2 + \frac{9x^2 - 4^{-1}}{3x + 2^{-1}} - 3x;$

8) $3 + \frac{4x^2 - 9^{-1}}{2x + 3^{-1}} - 2(x-1);$

9) $\frac{169^{-1} - a^2}{13^{-1} - a} - (a + 5\frac{1}{13});$

1) $(\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})^2 - 2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = \frac{p}{q} + \frac{q}{p}$ и $B = \frac{p}{q} - \frac{q}{p}$.

$A-B = (\frac{p}{q} + \frac{q}{p}) - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p}) = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} - \frac{p}{q} + \frac{q}{p} = 2\frac{q}{p}$

$A+B = (\frac{p}{q} + \frac{q}{p}) + (\frac{p}{q} - \frac{q}{p}) = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} + \frac{p}{q} - \frac{q}{p} = 2\frac{p}{q}$

Произведение $(A-B)(A+B) = (2\frac{q}{p}) \cdot (2\frac{p}{q}) = 4$.

Подставим результат в исходное выражение: $4 - 2 = 2$.

Альтернативный способ — использовать формулу $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

В нашем случае $a = \frac{p}{q}$ и $b = \frac{q}{p}$, тогда первая часть выражения равна $4 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} = 4$.

Итоговое выражение: $4 - 2 = 2$.

Ответ: 2

2) $(\frac{a+y}{a} - \frac{a-y}{y})^2 - (\frac{a+y}{a} + \frac{a-y}{y})^2$

Применим формулу $(A-B)^2 - (A+B)^2 = -4AB$.

Здесь $A = \frac{a+y}{a}$ и $B = \frac{a-y}{y}$.

Выражение равно $-4 \cdot A \cdot B = -4 \cdot \frac{a+y}{a} \cdot \frac{a-y}{y} = -4\frac{(a+y)(a-y)}{ay}$.

Используя формулу разности квадратов в числителе, получаем: $-4\frac{a^2-y^2}{ay} = \frac{-4a^2+4y^2}{ay} = \frac{4(y^2-a^2)}{ay}$.

Ответ: $\frac{4(y^2-a^2)}{ay}$

3) $\frac{x}{x+1} \cdot (\frac{4x}{x^2-1} + \frac{x-1}{x+1}) - \frac{x}{x-1}$

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

$\frac{4x}{x^2-1} + \frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{4x + (x-1)^2}{x^2-1} = \frac{4x + x^2 - 2x + 1}{x^2-1} = \frac{x^2+2x+1}{x^2-1}$.

Числитель является полным квадратом $(x+1)^2$. Сокращаем дробь:

$\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x-1}$.

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x-1} - \frac{x}{x-1} = \frac{x}{x-1} - \frac{x}{x-1} = 0$.

Ответ: 0

4) $a^4 \cdot (\frac{3a+b}{a} - 3)^2 + b^4 \cdot (\frac{a-2b}{b} + 2)^2 - 4(ab)^2$

Упростим выражения в скобках.

Первая скобка: $\frac{3a+b}{a} - 3 = \frac{3a+b-3a}{a} = \frac{b}{a}$.

Вторая скобка: $\frac{a-2b}{b} + 2 = \frac{a-2b+2b}{b} = \frac{a}{b}$.

Подставим упрощенные выражения обратно:

$a^4 \cdot (\frac{b}{a})^2 + b^4 \cdot (\frac{a}{b})^2 - 4a^2b^2 = a^4 \cdot \frac{b^2}{a^2} + b^4 \cdot \frac{a^2}{b^2} - 4a^2b^2$.

Сокращаем степени: $a^2b^2 + b^2a^2 - 4a^2b^2 = 2a^2b^2 - 4a^2b^2 = -2a^2b^2$.

Ответ: $-2a^2b^2$

5) $\frac{a}{a-2} - (\frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2}) \cdot \frac{a}{a+2}$

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.

$\frac{8a}{a^2-4} + \frac{(a-2)(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{8a + a^2 - 4a + 4}{a^2-4} = \frac{a^2+4a+4}{a^2-4}$.

Числитель - это полный квадрат $(a+2)^2$. Сокращаем дробь:

$\frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{a-2}$.

Подставляем в исходное выражение:

$\frac{a}{a-2} - (\frac{a+2}{a-2}) \cdot \frac{a}{a+2} = \frac{a}{a-2} - \frac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a}{a-2} - \frac{a}{a-2} = 0$.

Ответ: 0

6) $2 + (\frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7}$

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $c^2-49 = (c-7)(c+7)$.

$\frac{28c}{c^2-49} + \frac{(c-7)(c-7)}{(c+7)(c-7)} = \frac{28c + c^2-14c+49}{c^2-49} = \frac{c^2+14c+49}{c^2-49}$.

Числитель - это полный квадрат $(c+7)^2$. Сокращаем дробь:

$\frac{(c+7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{c+7}{c-7}$.

Подставляем в исходное выражение:

$2 + (\frac{c+7}{c-7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7} = 2 + \frac{c(c+7)}{(c-7)(c+7)} - \frac{c}{c-7} = 2 + \frac{c}{c-7} - \frac{c}{c-7} = 2$.

Ответ: 2

7) $2 + \frac{9x^2 - 4^{-1}}{3x + 2^{-1}} - 3x$

Преобразуем степени: $4^{-1} = \frac{1}{4}$ и $2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Выражение принимает вид: $2 + \frac{9x^2 - \frac{1}{4}}{3x + \frac{1}{2}} - 3x$.

Числитель дроби - это разность квадратов: $9x^2 - \frac{1}{4} = (3x)^2 - (\frac{1}{2})^2 = (3x - \frac{1}{2})(3x + \frac{1}{2})$.

Сокращаем дробь: $\frac{(3x - \frac{1}{2})(3x + \frac{1}{2})}{3x + \frac{1}{2}} = 3x - \frac{1}{2}$.

Подставляем в исходное выражение:

$2 + (3x - \frac{1}{2}) - 3x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

8) $3 + \frac{4x^2 - 9^{-1}}{2x + 3^{-1}} - 2(x - 1)$

Преобразуем степени: $9^{-1} = \frac{1}{9}$ и $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Выражение принимает вид: $3 + \frac{4x^2 - \frac{1}{9}}{2x + \frac{1}{3}} - 2(x - 1)$.

Числитель дроби - это разность квадратов: $4x^2 - \frac{1}{9} = (2x)^2 - (\frac{1}{3})^2 = (2x - \frac{1}{3})(2x + \frac{1}{3})$.

Сокращаем дробь: $\frac{(2x - \frac{1}{3})(2x + \frac{1}{3})}{2x + \frac{1}{3}} = 2x - \frac{1}{3}$.

Подставляем в исходное выражение:

$3 + (2x - \frac{1}{3}) - 2(x-1) = 3 + 2x - \frac{1}{3} - 2x + 2 = 5 - \frac{1}{3} = \frac{15-1}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$

9) $\frac{169^{-1} - a^2}{13^{-1} - a} - (a+5\frac{1}{13})$

Преобразуем степени: $169^{-1} = \frac{1}{169}$ и $13^{-1} = \frac{1}{13}$.

Выражение принимает вид: $\frac{\frac{1}{169} - a^2}{\frac{1}{13} - a} - (a+5\frac{1}{13})$.

Числитель дроби - это разность квадратов: $\frac{1}{169} - a^2 = (\frac{1}{13})^2 - a^2 = (\frac{1}{13} - a)(\frac{1}{13} + a)$.

Сокращаем дробь: $\frac{(\frac{1}{13} - a)(\frac{1}{13} + a)}{\frac{1}{13} - a} = \frac{1}{13} + a$.

Преобразуем смешанное число: $5\frac{1}{13} = \frac{5 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{66}{13}$.

Подставляем в исходное выражение:

$(\frac{1}{13} + a) - (a + \frac{66}{13}) = \frac{1}{13} + a - a - \frac{66}{13} = \frac{1-66}{13} = \frac{-65}{13} = -5$.

Ответ: -5