Страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

10. Найдите x из пропорции:

1) $\frac{x}{a + c} = \frac{c}{c^2 - a^2}$;

2) $\frac{x}{2n + c} = \frac{4c}{c^2 - 4n^2}$;

3) $\frac{x}{a - 3c} = \frac{2c}{9c^2 - a^2}$;

4) $\frac{6c}{25c^2 - 4a^2} = \frac{x}{5c + 2a}$;

5) $\frac{cx}{2a - 3c} = \frac{2ac}{9c^2 - 4a^2}$;

6) $\frac{2ax}{3b - a} = \frac{6ab}{9b^2 - a^2}$.

1)

Дана пропорция: $\frac{x}{a+c} = \frac{c}{c^2 - a^2}$.

Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение): $x \cdot (c^2 - a^2) = c \cdot (a + c)$.

Выразим $x$: $x = \frac{c(a+c)}{c^2 - a^2}$.

Знаменатель $c^2 - a^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$: $c^2 - a^2 = (c-a)(c+a)$.

Подставим разложенный знаменатель в выражение для $x$: $x = \frac{c(a+c)}{(c-a)(c+a)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(a+c)$: $x = \frac{c}{c-a}$.

Ответ: $x = \frac{c}{c-a}$.

2)

Исходная пропорция: $\frac{x}{2n+c} = \frac{4c}{c^2 - 4n^2}$.

Применим основное свойство пропорции: $x \cdot (c^2 - 4n^2) = 4c \cdot (2n + c)$.

Выразим $x$: $x = \frac{4c(2n+c)}{c^2 - 4n^2}$.

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $c^2 - 4n^2 = c^2 - (2n)^2 = (c-2n)(c+2n)$.

Подставим это в уравнение: $x = \frac{4c(2n+c)}{(c-2n)(c+2n)}$.

Сократим одинаковые множители $(c+2n)$ в числителе и знаменателе: $x = \frac{4c}{c-2n}$.

Ответ: $x = \frac{4c}{c-2n}$.

3)

Дана пропорция: $\frac{x}{a-3c} = \frac{2c}{9c^2 - a^2}$.

По свойству пропорции: $x \cdot (9c^2 - a^2) = 2c \cdot (a - 3c)$.

Выразим $x$: $x = \frac{2c(a-3c)}{9c^2 - a^2}$.

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $9c^2 - a^2 = (3c)^2 - a^2 = (3c-a)(3c+a)$.

Подставим в выражение для $x$: $x = \frac{2c(a-3c)}{(3c-a)(3c+a)}$.

Заметим, что $(a-3c) = -(3c-a)$. Заменим это в числителе: $x = \frac{2c \cdot (-(3c-a))}{(3c-a)(3c+a)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(3c-a)$: $x = \frac{-2c}{3c+a} = -\frac{2c}{a+3c}$.

Ответ: $x = -\frac{2c}{a+3c}$.

4)

Исходная пропорция: $\frac{6c}{25c^2 - 4a^2} = \frac{x}{5c+2a}$.

Используя перекрестное умножение, получаем: $x \cdot (25c^2 - 4a^2) = 6c \cdot (5c + 2a)$.

Выразим $x$: $x = \frac{6c(5c+2a)}{25c^2 - 4a^2}$.

Знаменатель $25c^2 - 4a^2$ представляет собой разность квадратов: $(5c)^2 - (2a)^2 = (5c-2a)(5c+2a)$.

Подставим разложение в формулу для $x$: $x = \frac{6c(5c+2a)}{(5c-2a)(5c+2a)}$.

Сокращаем общий множитель $(5c+2a)$: $x = \frac{6c}{5c-2a}$.

Ответ: $x = \frac{6c}{5c-2a}$.

5)

Дана пропорция: $\frac{cx}{2a-3c} = \frac{2ac}{9c^2 - 4a^2}$.

По основному свойству пропорции: $cx \cdot (9c^2 - 4a^2) = 2ac \cdot (2a - 3c)$.

Выразим $x$: $x = \frac{2ac(2a-3c)}{c(9c^2 - 4a^2)}$.

Разложим знаменатель $9c^2 - 4a^2$ по формуле разности квадратов: $(3c)^2 - (2a)^2 = (3c-2a)(3c+2a)$.

Подставим в выражение: $x = \frac{2ac(2a-3c)}{c(3c-2a)(3c+2a)}$.

Так как $(2a-3c) = -(3c-2a)$, выполним замену в числителе: $x = \frac{2ac \cdot (-(3c-2a))}{c(3c-2a)(3c+2a)}$.

Сократим общие множители $c$ и $(3c-2a)$: $x = \frac{2a \cdot (-1)}{3c+2a} = -\frac{2a}{2a+3c}$.

Ответ: $x = -\frac{2a}{2a+3c}$.

6)

Исходная пропорция: $\frac{2ax}{3b-a} = \frac{6ab}{9b^2 - a^2}$.

Применим перекрестное умножение: $2ax \cdot (9b^2 - a^2) = 6ab \cdot (3b-a)$.

Выразим $x$: $x = \frac{6ab(3b-a)}{2a(9b^2 - a^2)}$.

Разложим знаменатель $9b^2 - a^2$ как разность квадратов: $(3b)^2 - a^2 = (3b-a)(3b+a)$.

Подставим в выражение: $x = \frac{6ab(3b-a)}{2a(3b-a)(3b+a)}$.

Сократим общие множители. Сначала сократим $(3b-a)$: $x = \frac{6ab}{2a(3b+a)}$.

Теперь сократим дробь $\frac{6ab}{2a}$ на $2a$: $x = \frac{3b}{3b+a}$.

Ответ: $x = \frac{3b}{a+3b}$.

11. Вычислите значение выражения:

1) $7 - \left(3\sqrt{\frac{4}{9}} + \sqrt{0,25}\right) - 3,5;$

2) $6 - \left(\sqrt{225} + 3\sqrt{121}\right) : \left(\frac{2}{3}\sqrt{0,09} + 0,78\sqrt{100}\right);$

3) $22 : \left(0,15\sqrt{1600} - 0,25\sqrt{400}\right) - 44;$

4) $\left(-6\sqrt{\frac{1}{4}} + \frac{\sqrt{324}}{2} \cdot \frac{\sqrt{0,16}}{0,2}\right) : \sqrt{25} - 2.$

1) $7 - (3\sqrt{\frac{4}{9}} + \sqrt{0,25}) - 3,5$

Сначала выполним действия в скобках, предварительно вычислив значения квадратных корней.

1. Вычислим значение корня из дроби: $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.

2. Вычислим значение корня из десятичной дроби: $\sqrt{0,25} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{5}{10} = 0,5$.

3. Подставим полученные значения в выражение в скобках и вычислим его: $3 \cdot \frac{2}{3} + 0,5 = 2 + 0,5 = 2,5$.

4. Теперь подставим результат в исходное выражение и найдем его значение: $7 - 2,5 - 3,5 = 4,5 - 3,5 = 1$.

Ответ: 1

2) $6 - (\sqrt{225} + 3\sqrt{121}) : (\frac{2}{3}\sqrt{0,09} + 0,78\sqrt{100})$

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок: сначала действия в скобках, затем деление, затем вычитание.

1. Вычислим значение в первой скобке: $\sqrt{225} + 3\sqrt{121} = 15 + 3 \cdot 11 = 15 + 33 = 48$.

2. Вычислим значение во второй скобке: $\frac{2}{3}\sqrt{0,09} + 0,78\sqrt{100}$.

$\sqrt{0,09} = 0,3$ и $\sqrt{100} = 10$.

Подставляем: $\frac{2}{3} \cdot 0,3 + 0,78 \cdot 10 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{10} + 7,8 = \frac{2}{10} + 7,8 = 0,2 + 7,8 = 8$.

3. Подставим результаты вычислений в скобках в исходное выражение: $6 - 48 : 8$.

4. Выполним деление: $48 : 8 = 6$.

5. Выполним вычитание: $6 - 6 = 0$.

Ответ: 0

3) $22 : (0,15\sqrt{1600} - 0,25\sqrt{400}) - 44$

Сначала выполним действия в скобках, затем деление и вычитание.

1. Вычислим значения квадратных корней: $\sqrt{1600} = 40$ и $\sqrt{400} = 20$.

2. Подставим значения в выражение в скобках и вычислим его: $0,15 \cdot 40 - 0,25 \cdot 20 = 6 - 5 = 1$.

3. Подставим полученный результат в исходное выражение: $22 : 1 - 44$.

4. Выполним деление: $22 : 1 = 22$.

5. Выполним вычитание: $22 - 44 = -22$.

Ответ: -22

4) $(-6\sqrt{\frac{1}{4}} + \frac{\sqrt{324}}{2} \cdot \frac{\sqrt{0,16}}{0,2}) : \sqrt{25} - 2$

Выполним вычисления по действиям.

1. Вычислим значение выражения в больших скобках. Для этого сначала найдем значения корней:

$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$; $\sqrt{324} = 18$; $\sqrt{0,16} = 0,4$.

Подставим их в скобки: $-6 \cdot \frac{1}{2} + \frac{18}{2} \cdot \frac{0,4}{0,2}$.

Вычислим по частям: $-6 \cdot \frac{1}{2} = -3$.

$\frac{18}{2} = 9$.

$\frac{0,4}{0,2} = 2$.

Соберем все вместе: $-3 + 9 \cdot 2 = -3 + 18 = 15$.

2. Теперь исходное выражение выглядит так: $15 : \sqrt{25} - 2$.

3. Вычислим корень: $\sqrt{25} = 5$.

4. Выполним оставшиеся действия: $15 : 5 - 2 = 3 - 2 = 1$.

Ответ: 1

12. Найдите значение выражения с переменной:

1) $\sqrt{5x - 10}$ при $x = 2; 3,8; 7,2;$

2) $\sqrt{6 - 2c}$ при $c = 2,5; -5; -15; -37,5;$

3) $\frac{5 + \sqrt{a}}{5 - \sqrt{a}}$ при $a = 1; 16; 6,25;$

4) $\sqrt{2c - a}$ при $a = 0$ и $c = 2$; при $a = 4$ и $c = 7.$

1) Найдем значение выражения $\sqrt{5x - 10}$ для каждого значения $x$:

При $x = 2$:

$\sqrt{5 \cdot 2 - 10} = \sqrt{10 - 10} = \sqrt{0} = 0$.

При $x = 3,8$:

$\sqrt{5 \cdot 3,8 - 10} = \sqrt{19 - 10} = \sqrt{9} = 3$.

При $x = 7,2$:

$\sqrt{5 \cdot 7,2 - 10} = \sqrt{36 - 10} = \sqrt{26}$.

Ответ: $0$; $3$; $\sqrt{26}$.

2) Найдем значение выражения $\sqrt{6 - 2c}$ для каждого значения $c$:

При $c = 2,5$:

$\sqrt{6 - 2 \cdot 2,5} = \sqrt{6 - 5} = \sqrt{1} = 1$.

При $c = -5$:

$\sqrt{6 - 2 \cdot (-5)} = \sqrt{6 + 10} = \sqrt{16} = 4$.

При $c = -15$:

$\sqrt{6 - 2 \cdot (-15)} = \sqrt{6 + 30} = \sqrt{36} = 6$.

При $c = -37,5$:

$\sqrt{6 - 2 \cdot (-37,5)} = \sqrt{6 + 75} = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: $1$; $4$; $6$; $9$.

3) Найдем значение выражения $\frac{5 + \sqrt{a}}{5 - \sqrt{a}}$ для каждого значения $a$:

При $a = 1$:

$\frac{5 + \sqrt{1}}{5 - \sqrt{1}} = \frac{5 + 1}{5 - 1} = \frac{6}{4} = 1,5$.

При $a = 16$:

$\frac{5 + \sqrt{16}}{5 - \sqrt{16}} = \frac{5 + 4}{5 - 4} = \frac{9}{1} = 9$.

При $a = 6,25$:

$\frac{5 + \sqrt{6,25}}{5 - \sqrt{6,25}} = \frac{5 + 2,5}{5 - 2,5} = \frac{7,5}{2,5} = 3$.

Ответ: $1,5$; $9$; $3$.

4) Найдем значение выражения $\sqrt{2c - a}$ для каждой пары значений $a$ и $c$:

При $a = 0$ и $c = 2$:

$\sqrt{2 \cdot 2 - 0} = \sqrt{4 - 0} = \sqrt{4} = 2$.

При $a = 4$ и $c = 7$:

$\sqrt{2 \cdot 7 - 4} = \sqrt{14 - 4} = \sqrt{10}$.

Ответ: $2$; $\sqrt{10}$.