Страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

7.16. Поезд шел со скоростью 50 км/ч. Пассажир заметил, что встречный поезд прошел мимо него за 3 с. Найдите скорость встречного поезда, если его длина равна 80 м.

Для решения этой задачи мы будем использовать концепцию относительной скорости. С точки зрения пассажира, который находится в первом поезде, встречный поезд проезжает мимо него. Расстояние, которое проходит встречный поезд относительно пассажира, равно длине самого встречного поезда.

Обозначим данные:

• Скорость первого поезда (в котором едет пассажир) $v_1 = 50$ км/ч.
• Время, за которое встречный поезд прошел мимо пассажира, $t = 3$ с.
• Длина встречного поезда $L = 80$ м.
• Скорость встречного поезда $v_2$ — искомая величина.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость $v_{отн}$ равна сумме их скоростей:

$v_{отн} = v_1 + v_2$

Эту же относительную скорость можно найти, разделив длину встречного поезда $L$ на время $t$, за которое он прошел мимо пассажира:

$v_{отн} = \frac{L}{t}$

Приравняем два выражения для относительной скорости:

$v_1 + v_2 = \frac{L}{t}$

Для проведения вычислений необходимо привести все величины к единой системе единиц. Переведем все в систему СИ (метры и секунды).

Переведем скорость первого поезда из км/ч в м/с:

$v_1 = 50 \text{ км/ч} = 50 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{500}{36} \text{ м/с} = \frac{125}{9} \text{ м/с}$

Теперь мы можем выразить и найти скорость второго поезда $v_2$:

$v_2 = \frac{L}{t} - v_1$

Подставим числовые значения в метрах и секундах:

$v_2 = \frac{80 \text{ м}}{3 \text{ с}} - \frac{125}{9} \text{ м/с}$

Приведем дроби к общему знаменателю (9):

$v_2 = \frac{80 \times 3}{3 \times 3} - \frac{125}{9} = \frac{240}{9} - \frac{125}{9} = \frac{240 - 125}{9} = \frac{115}{9} \text{ м/с}$

Полученный ответ выражен в м/с. Переведем его в км/ч, чтобы ответ был в тех же единицах, что и в условии. Для этого умножим значение в м/с на 3,6.

$v_2 = \frac{115}{9} \times 3.6 = \frac{115}{9} \times \frac{36}{10} = \frac{115 \times 4}{10} = \frac{460}{10} = 46 \text{ км/ч}$

Ответ: 46 км/ч.

7.17. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 7, \\ 3x^2 - y^2 = 9; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x^2 - 1 = y^2, \\ y^2 = x^2 - 0,5. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 7, \\ 3x^2 - y^2 = 9 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим первое и второе уравнения:

$(x^2 + y^2) + (3x^2 - y^2) = 7 + 9$

$4x^2 = 16$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = 4$

Отсюда находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$

Теперь подставим значение $x^2 = 4$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$4 + y^2 = 7$

$y^2 = 7 - 4$

$y^2 = 3$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = \sqrt{3}$ и $y_2 = -\sqrt{3}$

Каждому значению $x$ соответствует каждое из найденных значений $y$. Таким образом, мы получаем четыре пары решений:

$(2; \sqrt{3})$, $(2; -\sqrt{3})$, $(-2; \sqrt{3})$, $(-2; -\sqrt{3})$

Ответ: $(2; \sqrt{3})$, $(2; -\sqrt{3})$, $(-2; \sqrt{3})$, $(-2; -\sqrt{3})$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - 1 = y^2, \\ y^2 = x^2 - 0,5 \end{cases}$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Так как левые части обоих уравнений выражают $y^2$, мы можем приравнять правые части:

$2x^2 - 1 = x^2 - 0,5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$2x^2 - x^2 = 1 - 0,5$

$x^2 = 0,5$

Отсюда находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{0,5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x_2 = -\sqrt{0,5} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим значение $x^2 = 0,5$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$y^2 = 0,5 - 0,5$

$y^2 = 0$

Отсюда находим одно значение для $y$:

$y = 0$

Таким образом, мы получаем две пары решений:

$(\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$.

7.18. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, заданное системой неравенств:

1) $ \begin{cases} |x| \ge 4; \\ y + 2x < 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y^2 + x^2 - 9 \le 0; \\ y - 2|x| > 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} |x| \le 2, \\ x^2 + y^2 - 16 \ge 0. \end{cases} $

1) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |x| \ge 4 \\ y + 2x < 3 \end{cases} $$ Первое неравенство, $|x| \ge 4$, равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 4$ или $x \le -4$. На координатной плоскости это множество точек, расположенных правее прямой $x=4$ и левее прямой $x=-4$, включая сами прямые. Границы $x=4$ и $x=-4$ будут сплошными.
Второе неравенство, $y + 2x < 3$, преобразуем к виду $y < -2x + 3$. Это множество точек, лежащих ниже прямой $y = -2x + 3$. Сама прямая не входит в решение, поэтому она будет изображена пунктирной линией.
Решением системы является пересечение этих множеств — заштрихованная область на рисунке, которая находится одновременно в полуплоскостях $x \ge 4$ или $x \le -4$ и в полуплоскости $y < -2x + 3$.

Ответ: Заштрихованная область на рисунке, ограниченная сплошными линиями $x=-4$, $x=4$ и пунктирной линией $y = -2x + 3$.

2) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y^2 + x^2 - 9 \le 0 \\ |y - 2|x|| > 0 \end{cases} $$ Первое неравенство, $y^2 + x^2 - 9 \le 0$, можно записать в виде $x^2 + y^2 \le 3^2$. Это неравенство задает круг с центром в начале координат (0,0) и радиусом 3, включая его границу.
Второе неравенство, $|y - 2|x|| > 0$, выполняется для всех точек, для которых выражение под модулем не равно нулю, то есть $y - 2|x| \neq 0$, или $y \neq 2|x|$. Это означает, что из решения нужно исключить точки, лежащие на графике функции $y = 2|x|$. Этот график представляет собой "галочку", состоящую из двух лучей: $y=2x$ при $x \ge 0$ и $y=-2x$ при $x < 0$.
Решением системы является круг радиуса 3 с центром в начале координат, из которого удалены точки, принадлежащие графику $y=2|x|$. На рисунке эти удаленные линии показаны пунктиром.

Ответ: Круг радиуса 3 с центром в начале координат, включая границу, из которого исключены точки, лежащие на лучах $y=2x$ при $x \ge 0$ и $y=-2x$ при $x < 0$.

3) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |x| \le 2 \\ x^2 + y^2 - 16 \ge 0 \end{cases} $$ Первое неравенство, $|x| \le 2$, равносильно двойному неравенству $-2 \le x \le 2$. Оно задает вертикальную полосу на координатной плоскости, заключенную между прямыми $x=-2$ и $x=2$, включая сами прямые.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 - 16 \ge 0$, можно записать как $x^2 + y^2 \ge 4^2$. Оно задает множество точек, находящихся вне круга с центром в начале координат (0,0) и радиусом 4, а также на его границе.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть вертикальной полосы $-2 \le x \le 2$, которая лежит вне круга $x^2+y^2=16$ или на его границе.

Ответ: Две заштрихованные области, ограниченные сплошными линиями $x=-2$, $x=2$ и дугами окружности $x^2+y^2=16$.

7.19. Найдите число способов выбора четной цифры из цифр:

1) 1; 2; 3; 4; 5; 7; 8;

2) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

1)

Чтобы найти число способов выбора четной цифры из предложенного набора, необходимо определить, какие из этих цифр являются четными, и посчитать их количество. Четные цифры — это те, которые делятся на 2 без остатка: 0, 2, 4, 6, 8.

В наборе цифр 1; 2; 3; 4; 5; 7; 8 четными являются: 2, 4, 8.

Всего в этом наборе 3 четные цифры. Поскольку нам нужно выбрать одну четную цифру, число способов сделать это равно количеству четных цифр в наборе.

Ответ: 3

2)

Рассмотрим второй набор цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Аналогично предыдущему пункту, выделим из этого набора все четные цифры. Напомним, что четными являются цифры 0, 2, 4, 6, 8.

В данном наборе все эти цифры присутствуют. Это: 0, 2, 4, 6, 8.

Всего в этом наборе 5 четных цифр. Следовательно, существует 5 способов выбрать одну четную цифру из этого набора.

Ответ: 5

7.20. Составьте все четные трехзначные числа, используя цифры 0, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды.

Для составления трехзначных чисел нам даны цифры: ${0, 5, 7, 9}$.

Чтобы число было четным, оно должно оканчиваться на четную цифру. Из предложенных цифр ${0, 5, 7, 9}$ единственной четной является 0. Следовательно, последняя цифра (разряд единиц) всех искомых чисел должна быть 0.

Чтобы число было трехзначным, его первая цифра (разряд сотен) не может быть нулем. Так как 0 уже используется в качестве последней цифры, это условие будет выполнено автоматически.

По условию, цифры в числе не должны повторяться.

Таким образом, мы ищем числа вида _ _ 0, где на первых двух местах стоят цифры из набора ${5, 7, 9}$ в различном порядке.

На место сотен можно поставить любую из трех цифр: 5, 7 или 9.

На место десятков можно поставить любую из двух оставшихся цифр.

Переберем все возможные комбинации:

1. Если первая цифра 5, то вторая может быть 7 или 9. Получаем числа: 570, 590.

2. Если первая цифра 7, то вторая может быть 5 или 9. Получаем числа: 750, 790.

3. Если первая цифра 9, то вторая может быть 5 или 7. Получаем числа: 950, 970.

Всего получается 6 таких чисел.

Ответ: 570, 590, 750, 790, 950, 970.

27.10. Преобразуйте выражение и найдите его значение:

1) $\frac{\sin 36^\circ + \sin 40^\circ + \sin 44^\circ + \sin 48^\circ}{2 \sin 88^\circ \cos 4^\circ \sin 42^\circ}$;

2) $\frac{\cos 6^\circ + \cos 12^\circ + \cos 36^\circ + \cos 42^\circ}{\sin 87^\circ \cos 15^\circ \cos 24^\circ}$;

3) $\frac{\cos 16^\circ - \cos 24^\circ - \cos 32^\circ + \cos 40^\circ}{\cos 86^\circ \sin 8^\circ \cos 28^\circ}$;

4) $\frac{\sin 48^\circ - \sin 60^\circ - \sin 72^\circ + \sin 84^\circ}{4 \cos 84^\circ \sin 12^\circ \sin 66^\circ}$.

1)Преобразуем числитель выражения. Сгруппируем слагаемые: $(\sin 36^\circ + \sin 48^\circ) + (\sin 40^\circ + \sin 44^\circ)$.
Применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к каждой группе:
$\sin 36^\circ + \sin 48^\circ = 2\sin\frac{36^\circ+48^\circ}{2}\cos\frac{48^\circ-36^\circ}{2} = 2\sin 42^\circ \cos 6^\circ$.
$\sin 40^\circ + \sin 44^\circ = 2\sin\frac{40^\circ+44^\circ}{2}\cos\frac{44^\circ-40^\circ}{2} = 2\sin 42^\circ \cos 2^\circ$.
Теперь числитель имеет вид: $2\sin 42^\circ \cos 6^\circ + 2\sin 42^\circ \cos 2^\circ = 2\sin 42^\circ(\cos 6^\circ + \cos 2^\circ)$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos 6^\circ + \cos 2^\circ = 2\cos\frac{6^\circ+2^\circ}{2}\cos\frac{6^\circ-2^\circ}{2} = 2\cos 4^\circ \cos 2^\circ$.
Таким образом, весь числитель равен $2\sin 42^\circ (2\cos 4^\circ \cos 2^\circ) = 4\sin 42^\circ \cos 4^\circ \cos 2^\circ$.
Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$:
$2\sin 88^\circ \cos 4^\circ \sin 42^\circ = 2\sin(90^\circ-2^\circ)\cos 4^\circ \sin 42^\circ = 2\cos 2^\circ \cos 4^\circ \sin 42^\circ$.
Теперь найдём значение всего выражения:
$\frac{4\sin 42^\circ \cos 4^\circ \cos 2^\circ}{2\cos 2^\circ \cos 4^\circ \sin 42^\circ} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: 2.

2)Преобразуем числитель выражения. Сгруппируем слагаемые: $(\cos 6^\circ + \cos 42^\circ) + (\cos 12^\circ + \cos 36^\circ)$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к каждой группе:
$\cos 6^\circ + \cos 42^\circ = 2\cos\frac{6^\circ+42^\circ}{2}\cos\frac{42^\circ-6^\circ}{2} = 2\cos 24^\circ \cos 18^\circ$.
$\cos 12^\circ + \cos 36^\circ = 2\cos\frac{12^\circ+36^\circ}{2}\cos\frac{36^\circ-12^\circ}{2} = 2\cos 24^\circ \cos 12^\circ$.
Теперь числитель имеет вид: $2\cos 24^\circ \cos 18^\circ + 2\cos 24^\circ \cos 12^\circ = 2\cos 24^\circ(\cos 18^\circ + \cos 12^\circ)$.
Применим формулу суммы косинусов ещё раз:
$\cos 18^\circ + \cos 12^\circ = 2\cos\frac{18^\circ+12^\circ}{2}\cos\frac{18^\circ-12^\circ}{2} = 2\cos 15^\circ \cos 3^\circ$.
Таким образом, весь числитель равен $2\cos 24^\circ (2\cos 15^\circ \cos 3^\circ) = 4\cos 24^\circ \cos 15^\circ \cos 3^\circ$.
Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$:
$\sin 87^\circ \cos 15^\circ \cos 24^\circ = \sin(90^\circ-3^\circ)\cos 15^\circ \cos 24^\circ = \cos 3^\circ \cos 15^\circ \cos 24^\circ$.
Теперь найдём значение всего выражения:
$\frac{4\cos 24^\circ \cos 15^\circ \cos 3^\circ}{\cos 3^\circ \cos 15^\circ \cos 24^\circ} = 4$.
Ответ: 4.

3)Преобразуем числитель выражения. Сгруппируем слагаемые: $(\cos 16^\circ + \cos 40^\circ) - (\cos 24^\circ + \cos 32^\circ)$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к каждой группе:
$\cos 16^\circ + \cos 40^\circ = 2\cos\frac{16^\circ+40^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ-16^\circ}{2} = 2\cos 28^\circ \cos 12^\circ$.
$\cos 24^\circ + \cos 32^\circ = 2\cos\frac{24^\circ+32^\circ}{2}\cos\frac{32^\circ-24^\circ}{2} = 2\cos 28^\circ \cos 4^\circ$.
Теперь числитель имеет вид: $2\cos 28^\circ \cos 12^\circ - 2\cos 28^\circ \cos 4^\circ = 2\cos 28^\circ(\cos 12^\circ - \cos 4^\circ)$.
Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos 12^\circ - \cos 4^\circ = -2\sin\frac{12^\circ+4^\circ}{2}\sin\frac{12^\circ-4^\circ}{2} = -2\sin 8^\circ \sin 4^\circ$.
Таким образом, весь числитель равен $2\cos 28^\circ (-2\sin 8^\circ \sin 4^\circ) = -4\cos 28^\circ \sin 8^\circ \sin 4^\circ$.
Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:
$\cos 86^\circ \sin 8^\circ \cos 28^\circ = \cos(90^\circ-4^\circ)\sin 8^\circ \cos 28^\circ = \sin 4^\circ \sin 8^\circ \cos 28^\circ$.
Теперь найдём значение всего выражения:
$\frac{-4\cos 28^\circ \sin 8^\circ \sin 4^\circ}{\sin 4^\circ \sin 8^\circ \cos 28^\circ} = -4$.
Ответ: -4.

4)Преобразуем числитель выражения. Сгруппируем слагаемые: $(\sin 48^\circ + \sin 84^\circ) - (\sin 60^\circ + \sin 72^\circ)$.
Применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к каждой группе:
$\sin 48^\circ + \sin 84^\circ = 2\sin\frac{48^\circ+84^\circ}{2}\cos\frac{84^\circ-48^\circ}{2} = 2\sin 66^\circ \cos 18^\circ$.
$\sin 60^\circ + \sin 72^\circ = 2\sin\frac{60^\circ+72^\circ}{2}\cos\frac{72^\circ-60^\circ}{2} = 2\sin 66^\circ \cos 6^\circ$.
Теперь числитель имеет вид: $2\sin 66^\circ \cos 18^\circ - 2\sin 66^\circ \cos 6^\circ = 2\sin 66^\circ(\cos 18^\circ - \cos 6^\circ)$.
Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos 18^\circ - \cos 6^\circ = -2\sin\frac{18^\circ+6^\circ}{2}\sin\frac{18^\circ-6^\circ}{2} = -2\sin 12^\circ \sin 6^\circ$.
Таким образом, весь числитель равен $2\sin 66^\circ (-2\sin 12^\circ \sin 6^\circ) = -4\sin 66^\circ \sin 12^\circ \sin 6^\circ$.
Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:
$4\cos 84^\circ \sin 12^\circ \sin 66^\circ = 4\cos(90^\circ-6^\circ)\sin 12^\circ \sin 66^\circ = 4\sin 6^\circ \sin 12^\circ \sin 66^\circ$.
Теперь найдём значение всего выражения:
$\frac{-4\sin 66^\circ \sin 12^\circ \sin 6^\circ}{4\sin 6^\circ \sin 12^\circ \sin 66^\circ} = -1$.
Ответ: -1.

27.11. Упростите выражение:

1) $1 - 2\sin^2\alpha + \cos(4\alpha - 2\pi)$;

2) $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$.

1)

Для упрощения выражения $1 - 2\sin^2\alpha + \cos(4\alpha - 2\pi)$ воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Первая часть выражения, $1 - 2\sin^2\alpha$, является формулой косинуса двойного угла:$1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Вторая часть выражения, $\cos(4\alpha - 2\pi)$, может быть упрощена, используя свойство периодичности функции косинуса. Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $\cos(x - 2k\pi) = \cos(x)$ для любого целого $k$.Следовательно, $\cos(4\alpha - 2\pi) = \cos(4\alpha)$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:$1 - 2\sin^2\alpha + \cos(4\alpha - 2\pi) = \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)$.

Чтобы упростить дальше, применим формулу суммы косинусов: $\cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.В нашем случае $x = 4\alpha$ и $y = 2\alpha$.$\cos(4\alpha) + \cos(2\alpha) = 2\cos\left(\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{4\alpha-2\alpha}{2}\right) = 2\cos(3\alpha)\cos(\alpha)$.

Ответ: $2\cos(3\alpha)\cos(\alpha)$.

2)

Для упрощения выражения $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$ воспользуемся формулой суммы синусов.

Формула суммы синусов имеет вид: $\sin(x) + \sin(y) = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{3} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} - \alpha$.Найдем полусумму и полуразность аргументов:$\frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$.$\frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$.

Подставим найденные значения в формулу суммы синусов:$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha)$.

Мы знаем, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.$2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\alpha) = \sqrt{3}\cos(\alpha)$.

Ответ: $\sqrt{3}\cos(\alpha)$.

27.12. Преобразуйте в произведение выражение:

1) $1 + \sin\beta + \cos\beta$;

2) $1 + \sin\beta - \cos\beta$;

3) $1 - \sin\beta + \cos\beta$;

4) $1 - \sin\beta - \cos\beta$.

1) Для преобразования выражения $1 + \sin\beta + \cos\beta$ в произведение, сгруппируем слагаемые и воспользуемся тригонометрическими формулами половинного угла.
Сгруппируем $1$ и $\cos\beta$: $(1 + \cos\beta) + \sin\beta$.
Применим формулу $1 + \cos\beta = 2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$ и формулу синуса двойного угла $\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Выражение примет вид: $2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Вынесем за скобки общий множитель $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$: $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)$.
Выражение в скобках преобразуем с помощью метода вспомогательного угла: $\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим полученное выражение обратно: $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \cdot \sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Ответ: $2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.

2) Для преобразования выражения $1 + \sin\beta - \cos\beta$ сгруппируем слагаемые иначе: $(1 - \cos\beta) + \sin\beta$.
Применим формулу $1 - \cos\beta = 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$ и формулу синуса двойного угла $\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Выражение примет вид: $2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Вынесем за скобки общий множитель $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$: $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)$.
Выражение в скобках, как и в предыдущем пункте, равно $\sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим это выражение обратно: $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) \cdot \sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Ответ: $2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.

3) Для преобразования выражения $1 - \sin\beta + \cos\beta$ сгруппируем слагаемые так: $(1 + \cos\beta) - \sin\beta$.
Используем те же формулы, что и в первом пункте: $1 + \cos\beta = 2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$ и $\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Выражение примет вид: $2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Вынесем за скобки общий множитель $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$: $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) - \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)$.
Выражение в скобках преобразуем с помощью метода вспомогательного угла: $\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) - \sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) - \sin\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим полученное выражение обратно: $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \cdot \sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.
Ответ: $2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.

4) Для преобразования выражения $1 - \sin\beta - \cos\beta$ сгруппируем слагаемые так: $(1 - \cos\beta) - \sin\beta$.
Применим формулы $1 - \cos\beta = 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$ и $\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Выражение примет вид: $2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Вынесем за скобки общий множитель $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$: $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)$.
Выражение в скобках преобразуем с помощью метода вспомогательного угла: $\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\frac{\pi}{4} - \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим полученное выражение обратно: $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) \cdot \sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Ответ: $2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.

27.13. Разложите на множители или представьте в виде дроби выражение:

1) $3 - 4 \sin^2 4\alpha$;

2) $4 \cos^2 4\beta - 3$;

3) $\operatorname{tg}^2 5\beta - 3$;

4) $1 - \operatorname{ctg}^2 3\alpha$.

1) Для преобразования выражения $3 - 4 \sin^2(4\alpha)$ воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)$.

Если разделить обе части этого равенства на $\sin(x)$ (при условии, что $\sin(x) \neq 0$), получим тождество:

$\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} = 3 - 4\sin^2(x)$.

В нашем выражении $3 - 4 \sin^2(4\alpha)$ аргумент $x$ соответствует $4\alpha$. Подставив $x = 4\alpha$ в полученное тождество, получаем:

$3 - 4 \sin^2(4\alpha) = \frac{\sin(3 \cdot 4\alpha)}{\sin(4\alpha)} = \frac{\sin(12\alpha)}{\sin(4\alpha)}$.

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде дроби.

Ответ: $\frac{\sin(12\alpha)}{\sin(4\alpha)}$

2) Для преобразования выражения $4\cos^2(4\beta) - 3$ воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$.

Если разделить обе части этого равенства на $\cos(x)$ (при условии, что $\cos(x) \neq 0$), получим тождество:

$\frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 4\cos^2(x) - 3$.

В нашем выражении $4\cos^2(4\beta) - 3$ аргумент $x$ соответствует $4\beta$. Подставив $x = 4\beta$ в полученное тождество, получаем:

$4\cos^2(4\beta) - 3 = \frac{\cos(3 \cdot 4\beta)}{\cos(4\beta)} = \frac{\cos(12\beta)}{\cos(4\beta)}$.

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде дроби.

Ответ: $\frac{\cos(12\beta)}{\cos(4\beta)}$

3) Представим выражение $\tan^2(5\beta) - 3$ в виде дроби, используя определение тангенса $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$:

$\tan^2(5\beta) - 3 = \frac{\sin^2(5\beta)}{\cos^2(5\beta)} - 3 = \frac{\sin^2(5\beta) - 3\cos^2(5\beta)}{\cos^2(5\beta)}$.

Преобразуем числитель дроби, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$:

$\sin^2(5\beta) - 3\cos^2(5\beta) = \sin^2(5\beta) - 3(1 - \sin^2(5\beta)) = \sin^2(5\beta) - 3 + 3\sin^2(5\beta) = 4\sin^2(5\beta) - 3$.

Выражение $4\sin^2(5\beta) - 3$ является противоположным выражению из тождества, использованного в пункте 1: $4\sin^2(5\beta) - 3 = -(3 - 4\sin^2(5\beta))$.

Используя тождество $3 - 4\sin^2(x) = \frac{\sin(3x)}{\sin(x)}$ с $x = 5\beta$, получаем:

$4\sin^2(5\beta) - 3 = -\frac{\sin(3 \cdot 5\beta)}{\sin(5\beta)} = -\frac{\sin(15\beta)}{\sin(5\beta)}$.

Подставим это обратно в нашу дробь:

$\frac{4\sin^2(5\beta) - 3}{\cos^2(5\beta)} = \frac{-\frac{\sin(15\beta)}{\sin(5\beta)}}{\cos^2(5\beta)} = -\frac{\sin(15\beta)}{\sin(5\beta)\cos^2(5\beta)}$.

Ответ: $-\frac{\sin(15\beta)}{\sin(5\beta)\cos^2(5\beta)}$

4) Представим выражение $1 - \cot^2(3\alpha)$ в виде дроби, используя определение котангенса $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$:

$1 - \cot^2(3\alpha) = 1 - \frac{\cos^2(3\alpha)}{\sin^2(3\alpha)} = \frac{\sin^2(3\alpha) - \cos^2(3\alpha)}{\sin^2(3\alpha)}$.

Преобразуем числитель дроби. Он представляет собой формулу косинуса двойного угла с противоположным знаком:

$\sin^2(3\alpha) - \cos^2(3\alpha) = -(\cos^2(3\alpha) - \sin^2(3\alpha))$.

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ с $x = 3\alpha$, получаем:

$-(\cos^2(3\alpha) - \sin^2(3\alpha)) = -\cos(2 \cdot 3\alpha) = -\cos(6\alpha)$.

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$\frac{\sin^2(3\alpha) - \cos^2(3\alpha)}{\sin^2(3\alpha)} = \frac{-\cos(6\alpha)}{\sin^2(3\alpha)}$.

Ответ: $\frac{-\cos(6\alpha)}{\sin^2(3\alpha)}$

27.14. Докажите тождество:

1) $ \frac{3 - 4\cos2x + \cos4x}{3 + 4\cos2x + \cos4x} = \text{tg}^4x; $

2) $ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + \sin(3\pi - 4x) - \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 6x\right)}{4\sin(5\pi - 3x) \cdot \cos(x - 4\pi)} = \cos2x. $

1) Докажем тождество $ \frac{3 - 4\cos2x + \cos4x}{3 + 4\cos2x + \cos4x} = \tg^4x $.
Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos4x = 2\cos^22x - 1 $.
Подставим это выражение в числитель и знаменатель дроби:
$ \frac{3 - 4\cos2x + (2\cos^22x - 1)}{3 + 4\cos2x + (2\cos^22x - 1)} = \frac{2\cos^22x - 4\cos2x + 2}{2\cos^22x + 4\cos2x + 2} $
Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе и знаменателе:
$ \frac{2(\cos^22x - 2\cos2x + 1)}{2(\cos^22x + 2\cos2x + 1)} $
Сократим на 2 и воспользуемся формулами квадрата разности и квадрата суммы:
$ \frac{(\cos2x - 1)^2}{(\cos2x + 1)^2} = \left(\frac{1 - \cos2x}{1 + \cos2x}\right)^2 $
Применим формулы половинного угла (или, что то же самое, формулы косинуса двойного угла, выраженные иначе):
$ 1 - \cos2x = 2\sin^2x $
$ 1 + \cos2x = 2\cos^2x $
Подставим эти выражения в скобки:
$ \left(\frac{2\sin^2x}{2\cos^2x}\right)^2 = \left(\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\right)^2 = (\tg^2x)^2 = \tg^4x $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество $ \frac{3 - 4\cos2x + \cos4x}{3 + 4\cos2x + \cos4x} = \tg^4x $ доказано.

2) Докажем тождество $ \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - 2x) + \sin(3\pi - 4x) - \cos(\frac{5\pi}{2} + 6x)}{4\sin(5\pi - 3x) \cdot \cos(x - 4\pi)} = \cos2x $.
Преобразуем левую часть, упростив каждый тригонометрический член с помощью формул приведения и периодичности.
Упростим числитель:
$ \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = \sin2x $ (по формуле приведения)
$ \sin(3\pi - 4x) = \sin(2\pi + \pi - 4x) = \sin(\pi - 4x) = \sin4x $ (по периодичности синуса и формуле приведения)
$ \cos(\frac{5\pi}{2} + 6x) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} + 6x) = \cos(\frac{\pi}{2} + 6x) = -\sin6x $ (по периодичности косинуса и формуле приведения)
Таким образом, числитель равен: $ \sin2x + \sin4x - (-\sin6x) = \sin2x + \sin4x + \sin6x $.
Упростим знаменатель:
$ \sin(5\pi - 3x) = \sin(4\pi + \pi - 3x) = \sin(\pi - 3x) = \sin3x $ (по периодичности синуса и формуле приведения)
$ \cos(x - 4\pi) = \cos x $ (по периодичности косинуса)
Таким образом, знаменатель равен: $ 4\sin3x \cos x $.
Запишем преобразованную дробь:
$ \frac{\sin2x + \sin4x + \sin6x}{4\sin3x \cos x} $
Сгруппируем слагаемые в числителе и применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ (\sin6x + \sin2x) + \sin4x = 2\sin\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + \sin4x = 2\sin4x\cos2x + \sin4x $
Вынесем общий множитель $ \sin4x $ за скобки: $ \sin4x(2\cos2x + 1) $.
Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу тройного угла для синуса $ \sin3x = 3\sin x - 4\sin^3x = \sin x(3-4\sin^2x) $ и основное тригонометрическое тождество:
$ 4\sin3x \cos x = 4\sin x(3-4\sin^2x)\cos x = 4\sin x \cos x(3-4(1-\cos^2x)) = 2(2\sin x \cos x)(4\cos^2x-1) $
Используя формулы двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $ и $ \cos2x = 2\cos^2x-1 \implies 2\cos^2x = \cos2x+1 \implies 4\cos^2x = 2\cos2x+2 $:
$ 2\sin2x(2\cos2x+2-1) = 2\sin2x(2\cos2x+1) $
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{\sin4x(2\cos2x + 1)}{2\sin2x(2\cos2x + 1)} $
Сократим общий множитель $ (2\cos2x + 1) $ (при условии, что он не равен нулю):
$ \frac{\sin4x}{2\sin2x} $
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin4x = 2\sin2x\cos2x $:
$ \frac{2\sin2x\cos2x}{2\sin2x} = \cos2x $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество $ \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - 2x) + \sin(3\pi - 4x) - \cos(\frac{5\pi}{2} + 6x)}{4\sin(5\pi - 3x) \cdot \cos(x - 4\pi)} = \cos2x $ доказано.

27.15. Докажите, что если А, В и С — меры внутренних углов треугольника, то верны равенства:

1) $ \sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}; $

2) $ \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C; $

3) $ \sin 4A + \sin 4B + \sin 4C = - 4 \sin 2A \cdot \sin 2B \cdot \sin 2C. $

1) Докажем равенство $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}$.

Поскольку A, B и C — внутренние углы треугольника, их сумма равна $\pi$: $A + B + C = \pi$.

Преобразуем левую часть равенства. Сначала сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\sin A + \sin B + \sin C = \left(\sin A + \sin B\right) + \sin C = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} + \sin C$.

Теперь используем формулу синуса двойного угла для $\sin C = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$:

$2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} + 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$.

Из условия $A+B+C=\pi$ следует, что $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$. Используя формулы приведения, получаем $\sin\frac{A+B}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \cos\frac{C}{2}$.

Подставим это в наше выражение:

$2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} + 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$.

Вынесем общий множитель $2\cos\frac{C}{2}$ за скобки:

$2\cos\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} + \sin\frac{C}{2}\right)$.

Теперь преобразуем $\sin\frac{C}{2}$. Из $A+B+C=\pi$ следует $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}$. Тогда $\sin\frac{C}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}\right) = \cos\frac{A+B}{2}$.

Подставим это в скобки: $2\cos\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} + \cos\frac{A+B}{2}\right)$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к выражению в скобках:

$\cos\frac{A-B}{2} + \cos\frac{A+B}{2} = 2\cos\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\cos\frac{\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}}{2} = 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}$.

Подставив результат обратно, получаем:

$2\cos\frac{C}{2}\left(2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\right) = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$.

Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

2) Докажем равенство $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$.

Используем условие $A + B + C = \pi$.

Преобразуем левую часть. Применим формулу суммы синусов и формулу синуса двойного угла:

$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = (\sin 2A + \sin 2B) + \sin 2C = 2\sin(A+B)\cos(A-B) + 2\sin C\cos C$.

Из $A+B = \pi - C$ следует, что $\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$.

Подставляем в выражение: $2\sin C\cos(A-B) + 2\sin C\cos C = 2\sin C(\cos(A-B) + \cos C)$.

Из $C = \pi - (A+B)$ следует, что $\cos C = \cos(\pi - (A+B)) = -\cos(A+B)$.

Выражение в скобках становится $\cos(A-B) - \cos(A+B)$.

По формуле разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos(A-B) - \cos(A+B) = -2\sin\frac{(A-B)+(A+B)}{2}\sin\frac{(A-B)-(A+B)}{2} = -2\sin A \sin(-B) = 2\sin A\sin B$.

Подставляя это обратно, получаем:

$2\sin C(2\sin A\sin B) = 4\sin A\sin B\sin C$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

3) Докажем равенство $\sin 4A + \sin 4B + \sin 4C = -4 \sin 2A \sin 2B \sin 2C$.

Используем условие $A + B + C = \pi$.

Преобразуем левую часть, используя те же методы:

$\sin 4A + \sin 4B + \sin 4C = (\sin 4A + \sin 4B) + \sin 4C = 2\sin(2A+2B)\cos(2A-2B) + 2\sin 2C\cos 2C$.

Из $A+B+C=\pi$ следует $2A+2B+2C = 2\pi$, откуда $2A+2B = 2\pi - 2C$.

Тогда $\sin(2A+2B) = \sin(2\pi-2C) = -\sin 2C$.

Подставляем в выражение: $2(-\sin 2C)\cos(2A-2B) + 2\sin 2C\cos 2C = -2\sin 2C(\cos(2A-2B) - \cos 2C)$.

Из $2C = 2\pi - (2A+2B)$ следует, что $\cos 2C = \cos(2\pi - (2A+2B)) = \cos(2A+2B)$.

Выражение в скобках становится $\cos(2A-2B) - \cos(2A+2B)$.

Применяя формулу разности косинусов, получаем:

$\cos(2A-2B) - \cos(2A+2B) = -2\sin\frac{(2A-2B)+(2A+2B)}{2}\sin\frac{(2A-2B)-(2A+2B)}{2} = -2\sin 2A \sin(-2B) = 2\sin 2A\sin 2B$.

Подставляя это обратно, получаем:

$-2\sin 2C(2\sin 2A\sin 2B) = -4\sin 2A\sin 2B\sin 2C$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.