Страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6. Решите неравенство

$\frac{x^2 - 4,5x - 3}{5 - 2,5x} \le 1.$

Для решения данного неравенства перенесем все члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$$ \frac{x^2 - 4,5x - 3}{5 - 2,5x} \le 1 $$

$$ \frac{x^2 - 4,5x - 3}{5 - 2,5x} - 1 \le 0 $$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$$ \frac{x^2 - 4,5x - 3 - (5 - 2,5x)}{5 - 2,5x} \le 0 $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{x^2 - 4,5x - 3 - 5 + 2,5x}{5 - 2,5x} \le 0 $$

$$ \frac{x^2 - 2x - 8}{5 - 2,5x} \le 0 $$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$.
С помощью дискриминанта $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$ или по теореме Виета, находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки $x=-2$ и $x=4$ включаются в решение.

Найдем корень знаменателя: $5 - 2,5x = 0$.
$2,5x = 5$, откуда $x = 2$.
Эта точка исключается из решения, так как на ноль делить нельзя.

Нанесем найденные точки на числовую прямую. Точки $-2$ и $4$ будут закрашенными, а точка $2$ — выколотой. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{5 - 2,5x}$ в каждом интервале:

- при $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-3)^2-2(-3)-8}{5-2,5(-3)} = \frac{9+6-8}{5+7,5} = \frac{7}{12,5} > 0$.
- при $-2 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{0^2-2(0)-8}{5-2,5(0)} = \frac{-8}{5} < 0$.
- при $2 < x < 4$ (например, $x=3$): $\frac{3^2-2(3)-8}{5-2,5(3)} = \frac{9-6-8}{5-7,5} = \frac{-5}{-2,5} > 0$.
- при $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5^2-2(5)-8}{5-2,5(5)} = \frac{25-10-8}{5-12,5} = \frac{7}{-7,5} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. С учетом включенных и выколотых точек это интервалы $[-2; 2)$ и $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2; 2) \cup [4; +\infty)$.

7 Дано выражение $y=f(x)$, где $f(x)=\frac{(2x-3)^2 (3x+1)(x-3)}{x(2-x)}$.

Найдите значения переменной, при которых $f(x) \leq 0$.

Для решения неравенства $f(x) \le 0$, где $f(x) = \frac{(2x-3)^2(3x+1)(x-3)}{x(2-x)}$, воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Поэтому из решения исключаются значения $x$, для которых:

$x(2-x) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \ne 0$ и $x \ne 2$.

2. Найдём нули функции

Теперь найдём значения $x$, при которых числитель равен нулю, то есть $f(x)=0$. Эти точки будут входить в решение, так как неравенство нестрогое ($\le$).

$(2x-3)^2(3x+1)(x-3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $(2x-3)^2 = 0 \implies 2x-3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$.
Это корень четной кратности (кратность 2), поэтому при переходе через эту точку на числовой оси знак функции меняться не будет.

б) $3x+1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$.

в) $x-3 = 0 \implies x = 3$.

3. Решение методом интервалов

Нанесём на числовую ось все найденные точки (нули числителя и знаменателя) в порядке их возрастания: $-\frac{1}{3}, 0, 1.5, 2, 3$.

Нули числителя ($-\frac{1}{3}, 1.5, 3$) отмечаем закрашенными точками, а нули знаменателя ($0, 2$) — выколотыми (пустыми) точками.

Определим знак функции $f(x)$ в каждом из полученных интервалов. Для этого возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(3; +\infty)$, например, $x=4$.

$f(4) = \frac{(2 \cdot 4-3)^2(3 \cdot 4+1)(4-3)}{4(2-4)} = \frac{(+)^2(+)(+)}{(+)(-)} = \frac{+}{-}$, следовательно, знак «−».

Далее, двигаясь справа налево, чередуем знаки, учитывая, что при переходе через корень $x=1.5$ (четной кратности) знак не меняется:

• $(3; +\infty)$: −
• $(2; 3)$: +
• $(1.5; 2)$: −
• $(0; 1.5)$: − (знак не изменился)
• $(-\frac{1}{3}; 0)$: +
• $(-\infty; -\frac{1}{3})$: −

4. Формирование ответа

Нам нужны промежутки, где $f(x) \le 0$. Это все интервалы со знаком «−», а также закрашенные точки, входящие в них.

Выбираем соответствующие промежутки и точки:

$x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (0; 1.5] \cup [1.5; 2) \cup [3; +\infty)$

Объединяя интервалы $(0; 1.5]$ и $[1.5; 2)$, получаем один сплошной интервал $(0; 2)$.

Таким образом, окончательное решение:

$x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (0; 2) \cup [3; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (0; 2) \cup [3; +\infty)$.

8 Решите систему неравенств

$ \begin{cases} 3x^2 - 7x - 10 \leq 0, \\ \frac{2x - 1}{2 - 3x} > 3. \end{cases} $

Для решения системы неравенств решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $3x^2 - 7x - 10 \le 0$.

Это квадратичное неравенство. Для начала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 7x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 49 + 120 = 169$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 13}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 13}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$), ветви параболы $y = 3x^2 - 7x - 10$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $3x^2 - 7x - 10 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Решением первого неравенства является отрезок $[-1, \frac{10}{3}]$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{2x - 1}{2 - 3x} > 3$.

Перенесем 3 в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{2x - 1}{2 - 3x} - 3 > 0$

$\frac{(2x - 1) - 3(2 - 3x)}{2 - 3x} > 0$

$\frac{2x - 1 - 6 + 9x}{2 - 3x} > 0$

$\frac{11x - 7}{2 - 3x} > 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль:

Числитель: $11x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{11}$.

Знаменатель: $2 - 3x = 0 \implies x = \frac{2}{3}$. Эта точка является выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Нанесем точки $\frac{7}{11}$ и $\frac{2}{3}$ на числовую ось. Учитывая, что $\frac{7}{11} \approx 0.636$ и $\frac{2}{3} \approx 0.667$, получаем $\frac{7}{11} < \frac{2}{3}$.

Определим знаки выражения $\frac{11x - 7}{2 - 3x}$ на интервалах $(-\infty, \frac{7}{11})$, $(\frac{7}{11}, \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}, +\infty)$.

• При $x=0$: $\frac{-7}{2} < 0$.
• При $x=0.65$ (точка между $\frac{7}{11}$ и $\frac{2}{3}$): $\frac{11(0.65) - 7}{2 - 3(0.65)} = \frac{7.15-7}{2-1.95} = \frac{0.15}{0.05} > 0$.
• При $x=1$: $\frac{11 - 7}{2 - 3} = \frac{4}{-1} < 0$.

Нас интересует интервал, где выражение положительно. Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (\frac{7}{11}, \frac{2}{3})$.

3. Найдем решение системы.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$x \in [-1, \frac{10}{3}] \cap (\frac{7}{11}, \frac{2}{3})$.

Поскольку интервал $(\frac{7}{11}, \frac{2}{3})$ полностью содержится в отрезке $[-1, \frac{10}{3}]$, их пересечением будет сам интервал $(\frac{7}{11}, \frac{2}{3})$.

Ответ: $(\frac{7}{11}; \frac{2}{3})$.

9 Найдите длину отрезка, служащего решением двойного неравенства

$2 \le \frac{4x - 7}{5} \le 4.$

Укажите середину отрезка.

Для ответа на поставленные вопросы необходимо сначала решить данное двойное неравенство, чтобы найти концы отрезка, который является его решением.

Исходное неравенство:

$$2 \le \frac{4x - 7}{5} \le 4$$

Выполним равносильные преобразования, чтобы выразить $x$.

1. Умножим все три части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$$2 \cdot 5 \le 4x - 7 \le 4 \cdot 5$$

$$10 \le 4x - 7 \le 20$$

2. Прибавим 7 ко всем частям неравенства.

$$10 + 7 \le 4x \le 20 + 7$$

$$17 \le 4x \le 27$$

3. Разделим все части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$$\frac{17}{4} \le x \le \frac{27}{4}$$

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[a, b]$, где $a = \frac{17}{4}$ и $b = \frac{27}{4}$.

Найдите длину отрезка, служащего решением двойного неравенства

Длина отрезка $[a, b]$ находится по формуле $L = b - a$.

Подставим значения концов нашего отрезка:

$$L = \frac{27}{4} - \frac{17}{4} = \frac{27 - 17}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$$

Ответ: 2.5

Укажите середину отрезка

Середина отрезка $[a, b]$ находится по формуле $M = \frac{a + b}{2}$.

Подставим значения концов нашего отрезка:

$$M = \frac{\frac{17}{4} + \frac{27}{4}}{2} = \frac{\frac{17 + 27}{4}}{2} = \frac{\frac{44}{4}}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$$

Ответ: 5.5

10 Найдите все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств

$\begin{cases}\frac{x-1}{2} - \frac{2x+3}{3} + \frac{x}{6} < 2 - \frac{x+5}{2}, \\1 - \frac{x+5}{8} + \frac{4-x}{2} < 3x - \frac{x+1}{4}.\end{cases}$

Для того чтобы найти все целые числа, удовлетворяющие системе, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство системы:

$\frac{x - 1}{2} - \frac{2x + 3}{3} + \frac{x}{6} < 2 - \frac{x + 5}{2}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 6, которое равно 6:

$6 \cdot \frac{x - 1}{2} - 6 \cdot \frac{2x + 3}{3} + 6 \cdot \frac{x}{6} < 6 \cdot 2 - 6 \cdot \frac{x + 5}{2}$

$3(x - 1) - 2(2x + 3) + x < 12 - 3(x + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3x - 3 - 4x - 6 + x < 12 - 3x - 15$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x - 4x + x) + (-3 - 6) < -3x + (12 - 15)$

$0 \cdot x - 9 < -3x - 3$

$-9 < -3x - 3$

Перенесем слагаемое с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x < 9 - 3$

$3x < 6$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется):

$x < 2$

Решением первого неравенства является интервал $(-\infty; 2)$.

2. Решим второе неравенство системы:

$1 - \frac{x + 5}{8} + \frac{4 - x}{2} < 3x - \frac{x + 1}{4}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 8, 2 и 4, которое равно 8:

$8 \cdot 1 - 8 \cdot \frac{x + 5}{8} + 8 \cdot \frac{4 - x}{2} < 8 \cdot 3x - 8 \cdot \frac{x + 1}{4}$

$8 - (x + 5) + 4(4 - x) < 24x - 2(x + 1)$

Раскроем скобки:

$8 - x - 5 + 16 - 4x < 24x - 2x - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(-x - 4x) + (8 - 5 + 16) < (24x - 2x) - 2$

$-5x + 19 < 22x - 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$19 + 2 < 22x + 5x$

$21 < 27x$

Разделим обе части на 27 и запишем неравенство в привычном виде:

$x > \frac{21}{27}$

Сократим дробь:

$x > \frac{7}{9}$

Решением второго неравенства является интервал $(\frac{7}{9}; +\infty)$.

3. Найдем целые решения системы:

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} x < 2 \\ x > \frac{7}{9} \end{array} \right.$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $\frac{7}{9} < x < 2$.

Нам нужно найти все целые числа ($x \in \mathbb{Z}$), которые находятся в интервале $(\frac{7}{9}, 2)$.

Поскольку $\frac{7}{9} \approx 0.78$, единственное целое число, которое больше $\frac{7}{9}$ и меньше 2, это 1.

Ответ: 1