Страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5.22 a) $ \begin{cases} y = -\frac{3}{x}, \\ y + x = -2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} xy = 4, \\ 2x - y = 2; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y = -\frac{8}{x}, \\ x = 2 - y; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} xy = 6, \\ 3x - 2y = 0. \end{cases} $

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = -\frac{3}{x} \\ y + x = -2 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$ (-\frac{3}{x}) + x = -2 $
Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что следует из первого уравнения):
$ -3 + x^2 = -2x $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ x^2 + 2x - 3 = 0 $
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя уравнение $y = -3/x$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = -\frac{3}{1} = -3$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = -\frac{3}{-3} = 1$.
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(1, -3)$ и $(-3, 1)$.
Ответ: $(1, -3), (-3, 1)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy = 4 \\ 2x - y = 2 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$ y = 2x - 2 $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x(2x - 2) = 4 $
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
$ 2x^2 - 2x = 4 $
$ 2x^2 - 2x - 4 = 0 $
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$ x^2 - x - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 2x - 2$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$.
Решениями системы являются пары чисел $(2, 2)$ и $(-1, -4)$.
Ответ: $(2, 2), (-1, -4)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y = -\frac{8}{x} \\ x = 2 - y \end{cases} $
Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$ y = -\frac{8}{2 - y} $
Умножим обе части на $(2 - y)$, при условии $y \neq 2$:
$ y(2 - y) = -8 $
$ 2y - y^2 = -8 $
Перенесем все члены в одну сторону и умножим на $-1$:
$ y^2 - 2y - 8 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а произведение равно $-8$. Корнями являются $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 2 - y$:
При $y_1 = 4$, $x_1 = 2 - 4 = -2$.
При $y_2 = -2$, $x_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.
Решениями системы являются пары чисел $(-2, 4)$ и $(4, -2)$.
Ответ: $(-2, 4), (4, -2)$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy = 6 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$ 2y = 3x \implies y = \frac{3x}{2} $
Подставим это выражение в первое уравнение:
$ x \left(\frac{3x}{2}\right) = 6 $
$ \frac{3x^2}{2} = 6 $
Умножим обе части на 2:
$ 3x^2 = 12 $
Разделим на 3:
$ x^2 = 4 $
Отсюда находим два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя $y = \frac{3x}{2}$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = \frac{3(2)}{2} = 3$.
При $x_2 = -2$, $y_2 = \frac{3(-2)}{2} = -3$.
Решениями системы являются пары чисел $(2, 3)$ и $(-2, -3)$.
Ответ: $(2, 3), (-2, -3)$.

5.23 Сколько решений имеет система уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 2x - 1, \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1, \\ y = \sqrt{x + 1}? \end{cases}$

а)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = x; \end{cases} $

Для нахождения количества решений подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x)^2 = 1$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $y = x$, каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Таким образом, мы имеем две пары решений: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Геометрически, это точки пересечения окружности с центром в начале координат и радиусом 1, и прямой $y=x$, проходящей через центр окружности.

Ответ: 2 решения.

б)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} y = 2x - 1, \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9; \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(x - 1)^2 + ((2x - 1) + 2)^2 = 9$

$(x - 1)^2 + (2x + 1)^2 = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 2x + 1) + (4x^2 + 4x + 1) = 9$

$5x^2 + 2x + 2 = 9$

$5x^2 + 2x - 7 = 0$

Чтобы определить количество решений этого квадратного уравнения, найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 4 + 140 = 144$

Поскольку $D = 144 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня для $x$. Каждому из этих корней будет соответствовать одно значение $y$ (из уравнения $y = 2x - 1$). Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

в)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x^2$: $x^2 = y + 2$. Подставим это в первое уравнение:

$(y + 2) + y^2 = 4$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Можно использовать теорему Виета или формулу корней. Корнями являются:

$y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$:

1. При $y = 1$: $x^2 = 1 + 2 = 3$, что дает два значения $x = \pm\sqrt{3}$. Это дает два решения: $(\sqrt{3}, 1)$ и $(-\sqrt{3}, 1)$.

2. При $y = -2$: $x^2 = -2 + 2 = 0$, что дает одно значение $x = 0$. Это дает одно решение: $(0, -2)$.

В общей сложности система имеет $2 + 1 = 3$ решения.

Ответ: 3 решения.

г)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1, \\ y = \sqrt{x + 1}; \end{cases} $

Проанализируем области определения и значений для каждого уравнения.

Первое уравнение — это окружность с центром в точке $(-2, 2)$ и радиусом $R=1$. Точки на этой окружности имеют координаты $x$ в диапазоне от $-2-1$ до $-2+1$, то есть $x \in [-3, -1]$. Координаты $y$ находятся в диапазоне от $2-1$ до $2+1$, то есть $y \in [1, 3]$.

Второе уравнение $y = \sqrt{x+1}$ задает функцию, область определения которой $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Область значений этой функции $y \ge 0$.

Чтобы система имела решения, должны существовать значения $x$, которые принадлежат областям определения обоих графиков.

Для окружности: $x \in [-3, -1]$.

Для функции: $x \in [-1, \infty)$.

Единственное значение $x$, которое может удовлетворять обоим условиям, — это $x = -1$.

Найдем значение $y$ для каждого уравнения при $x = -1$:

- Из второго уравнения: $y = \sqrt{-1+1} = \sqrt{0} = 0$. Получаем точку $(-1, 0)$.

- Подставим $x=-1$ в первое уравнение: $(-1+2)^2 + (y-2)^2 = 1$, что приводит к $1^2+(y-2)^2=1$, то есть $(y-2)^2=0$, откуда $y=2$. Получаем точку $(-1, 2)$.

Поскольку при $x=-1$ мы получаем разные значения $y$ ($0 \neq 2$), графики не имеют общих точек.

Ответ: 0 решений.

5.24 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4, \\ y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x = 1, \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 9, \\ y = -1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 16, \\ x = 2. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4, \\ y = 0; \end{cases} $

Первое уравнение $ (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 $ — это уравнение окружности. Общий вид уравнения окружности: $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $, где $ (h, k) $ — координаты центра, а $ r $ — радиус. Для данного уравнения центр окружности находится в точке C$(-1, -2)$, а радиус $ r = \sqrt{4} = 2 $.

Второе уравнение $ y = 0 $ — это уравнение оси абсцисс (оси Ox).

Графическое решение системы заключается в нахождении координат точек пересечения графиков этих уравнений, то есть окружности и прямой. Чтобы найти эти точки, подставим $ y = 0 $ в уравнение окружности:

$ (x + 1)^2 + (0 + 2)^2 = 4 $
$ (x + 1)^2 + 4 = 4 $
$ (x + 1)^2 = 0 $
$ x + 1 = 0 $
$ x = -1 $

Получилось единственное решение $ x = -1 $. Это означает, что прямая $ y = 0 $ касается окружности в одной точке с координатами $ (-1, 0) $.

Ответ: $ (-1, 0) $.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x = 1, \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9; \end{cases} $

Первое уравнение $ x = 1 $ — это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси ординат (оси Oy) и проходящей через точку $ (1, 0) $.

Второе уравнение $ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 $ — это уравнение окружности с центром в точке C$ (1, -2) $ и радиусом $ r = \sqrt{9} = 3 $.

Графически, прямая $ x = 1 $ проходит через центр окружности. Следовательно, она пересекает окружность в двух точках. Для нахождения их координат подставим $ x = 1 $ в уравнение окружности:

$ (1 - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 $
$ 0^2 + (y + 2)^2 = 9 $
$ (y + 2)^2 = 9 $
$ y + 2 = \pm 3 $

Получаем два возможных значения для $ y $:
1) $ y + 2 = 3 \Rightarrow y = 1 $
2) $ y + 2 = -3 \Rightarrow y = -5 $

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $ (1, 1) $ и $ (1, -5) $.

Ответ: $ (1, 1), (1, -5) $.

в)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 9, \\ y = -1; \end{cases} $

Первое уравнение $ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 9 $ — это уравнение окружности с центром в точке C$ (3, -1) $ и радиусом $ r = \sqrt{9} = 3 $.

Второе уравнение $ y = -1 $ — это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс (оси Ox) и проходящей через точку $ (0, -1) $.

Графически, прямая $ y = -1 $ проходит через центр окружности. Следовательно, она пересекает окружность в двух точках. Для нахождения их координат подставим $ y = -1 $ в уравнение окружности:

$ (x - 3)^2 + (-1 + 1)^2 = 9 $
$ (x - 3)^2 + 0^2 = 9 $
$ (x - 3)^2 = 9 $
$ x - 3 = \pm 3 $

Получаем два возможных значения для $ x $:
1) $ x - 3 = 3 \Rightarrow x = 6 $
2) $ x - 3 = -3 \Rightarrow x = 0 $

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $ (6, -1) $ и $ (0, -1) $.

Ответ: $ (0, -1), (6, -1) $.

г)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 16, \\ x = 2. \end{cases} $

Первое уравнение $ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 16 $ — это уравнение окружности с центром в точке C$ (-2, 2) $ и радиусом $ r = \sqrt{16} = 4 $.

Второе уравнение $ x = 2 $ — это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси Oy.

Для графического решения найдем точки пересечения окружности и прямой. Подставим $ x = 2 $ в уравнение окружности:

$ (2 + 2)^2 + (y - 2)^2 = 16 $
$ 4^2 + (y - 2)^2 = 16 $
$ 16 + (y - 2)^2 = 16 $
$ (y - 2)^2 = 0 $
$ y - 2 = 0 $
$ y = 2 $

Получилось единственное решение $ y = 2 $. Это означает, что прямая $ x = 2 $ касается окружности в одной точке с координатами $ (2, 2) $.

Ответ: $ (2, 2) $.