Страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5.14 а) На рис. 9;

б) на рис. 10;

в) на рис. 11;

г) на рис. 12.

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $r$ выглядит следующим образом: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$. Для решения задачи необходимо для каждого рисунка определить координаты центра и радиус окружности и подставить их в общую формулу.

а) На рис. 9;

Из рисунка 9 видно, что центр окружности находится в точке с координатами $(0, -1)$. Следовательно, $x_0 = 0$ и $y_0 = -1$. Радиус окружности можно определить как расстояние от центра до любой точки на окружности. Например, до точки $(1, -1)$ или до начала координат $(0, 0)$. Расстояние от центра $(0, -1)$ до точки $(0, 0)$ равно 1. Таким образом, радиус $r = 1$.

Подставим найденные значения в уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = 1^2$

$x^2 + (y + 1)^2 = 1$

Ответ: $x^2 + (y + 1)^2 = 1$.

б) На рис. 10;

На рисунке 10 центр окружности расположен в точке с координатами $(-1, 0)$. Следовательно, $x_0 = -1$ и $y_0 = 0$. Радиус окружности — это расстояние от центра до точки на окружности, например, до точки $(1, 0)$. Расстояние между точками $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ равно 2. Таким образом, радиус $r = 2$.

Подставим найденные значения в уравнение окружности:

$(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

$(x + 1)^2 + y^2 = 4$

Ответ: $(x + 1)^2 + y^2 = 4$.

в) На рис. 11;

На рисунке 11 центр окружности находится в точке с координатами $(0, 2)$. Следовательно, $x_0 = 0$ и $y_0 = 2$. Окружность касается оси абсцисс (оси x) в точке $(0, 0)$. Расстояние от центра $(0, 2)$ до точки касания $(0, 0)$ равно 2. Значит, радиус $r = 2$.

Подставим найденные значения в уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

$x^2 + (y - 2)^2 = 4$

Ответ: $x^2 + (y - 2)^2 = 4$.

г) на рис. 12.

На рисунке 12 центр окружности расположен в точке с координатами $(2, 1)$. Следовательно, $x_0 = 2$ и $y_0 = 1$. Окружность касается оси ординат (оси y) в точке $(0, 1)$. Расстояние от центра $(2, 1)$ до точки касания $(0, 1)$ равно 2. Значит, радиус $r = 2$.

Подставим найденные значения в уравнение окружности:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$.

5.15 Составьте уравнение окружности:

а) с центром в точке $(-5; 2)$, касающейся оси $y$;

б) с центром в точке $(12; -5)$, проходящей через начало координат;

в) с центром в точке $(-4; -6)$, касающейся оси $x$;

г) с центром в точке $(2; 1)$, проходящей через точку $(-4; -7)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Центр окружности задан координатами $(x_0, y_0) = (-5, 2)$.

Поскольку окружность касается оси $y$ (оси ординат), её радиус $R$ равен расстоянию от центра до этой оси. Расстояние от точки с координатами $(-5, 2)$ до оси $y$ (линии $x=0$) равно абсолютному значению абсциссы (координаты $x$) центра.

Таким образом, радиус $R = |x_0| = |-5| = 5$.

Подставляем координаты центра и найденный радиус в общее уравнение окружности:

$(x - (-5))^2 + (y - 2)^2 = 5^2$

$(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 25$

Ответ: $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 25$

Центр окружности задан координатами $(x_0, y_0) = (12, -5)$.

Окружность проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Радиус $R$ равен расстоянию от центра окружности до любой точки на ней, в данном случае до начала координат. Квадрат радиуса $R^2$ можно найти по формуле расстояния между двумя точками:

$R^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

$R^2 = (0 - 12)^2 + (0 - (-5))^2 = (-12)^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.

Подставляем координаты центра и квадрат радиуса в уравнение:

$(x - 12)^2 + (y - (-5))^2 = 169$

$(x - 12)^2 + (y + 5)^2 = 169$

Ответ: $(x - 12)^2 + (y + 5)^2 = 169$

Центр окружности задан координатами $(x_0, y_0) = (-4, -6)$.

Поскольку окружность касается оси $x$ (оси абсцисс), её радиус $R$ равен расстоянию от центра до этой оси. Расстояние от точки с координатами $(-4, -6)$ до оси $x$ (линии $y=0$) равно абсолютному значению ординаты (координаты $y$) центра.

Таким образом, радиус $R = |y_0| = |-6| = 6$.

Подставляем координаты центра и найденный радиус в общее уравнение окружности:

$(x - (-4))^2 + (y - (-6))^2 = 6^2$

$(x + 4)^2 + (y + 6)^2 = 36$

Ответ: $(x + 4)^2 + (y + 6)^2 = 36$

Центр окружности задан координатами $(x_0, y_0) = (2, 1)$.

Окружность проходит через точку $(-4, -7)$. Радиус $R$ равен расстоянию от центра окружности до этой точки. Найдем квадрат радиуса $R^2$ по формуле расстояния между точками $(2, 1)$ и $(-4, -7)$:

$R^2 = (-4 - 2)^2 + (-7 - 1)^2 = (-6)^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$.

Подставляем координаты центра и квадрат радиуса в уравнение:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 100$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 100$

5.16 Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $AB$, если:

а) $A(-4; 7)$, $B(6; -3)$;

б) $A(-1; -6)$, $B(7; 0)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Чтобы составить уравнение окружности, зная координаты концов ее диаметра $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, необходимо найти:

1. Координаты центра окружности $O(x_0; y_0)$, который является серединой диаметра $AB$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_0 = \frac{x_A + x_B}{2}$; $y_0 = \frac{y_A + y_B}{2}$.
2. Квадрат радиуса окружности $R^2$. Радиус равен расстоянию от центра $O$ до любой из точек на окружности, например, до точки $A$. Квадрат расстояния вычисляется по формуле: $R^2 = (x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2$.

После нахождения центра и радиуса их значения подставляются в общее уравнение окружности.

а) Даны точки $A(-4; 7)$ и $B(6; -3)$.

1. Найдем координаты центра окружности $O(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_0 = \frac{7 + (-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Центр окружности — точка $O(1; 2)$.

2. Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра $O(1; 2)$ до точки $A(-4; 7)$:

$R^2 = (-4 - 1)^2 + (7 - 2)^2 = (-5)^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.

3. Составим уравнение окружности, подставив координаты центра $O(1; 2)$ и $R^2=50$:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 50$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 50$

б) Даны точки $A(-1; -6)$ и $B(7; 0)$.

1. Найдем координаты центра окружности $O(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_0 = \frac{-6 + 0}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Центр окружности — точка $O(3; -3)$.

2. Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра $O(3; -3)$ до точки $B(7; 0)$:

$R^2 = (7 - 3)^2 + (0 - (-3))^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

3. Составим уравнение окружности, подставив координаты центра $O(3; -3)$ и $R^2=25$:

$(x - 3)^2 + (y - (-3))^2 = 25$

$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$

5.17 Составьте уравнение окружности:

a) с центром на оси $x$, проходящей через точки $(-4; 4)$ и $(-2; 0);

б) с центром на оси $y$, проходящей через точки $(8; 0)$ и $(-6; 2)$.

а) с центром на оси x, проходящей через точки (-4; 4) и (-2; 0);

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

По условию, центр окружности находится на оси $x$, следовательно, его координата $y_0 = 0$. Уравнение окружности принимает вид: $(x - x_0)^2 + y^2 = R^2$.

Окружность проходит через точки A(-4; 4) и B(-2; 0). Это означает, что координаты этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точек в уравнение, чтобы составить систему:

Для точки A(-4; 4): $(-4 - x_0)^2 + 4^2 = R^2 \Rightarrow (x_0 + 4)^2 + 16 = R^2$.

Для точки B(-2; 0): $(-2 - x_0)^2 + 0^2 = R^2 \Rightarrow (x_0 + 2)^2 = R^2$.

Так как правые части уравнений равны, приравняем их левые части:

$(x_0 + 4)^2 + 16 = (x_0 + 2)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_0$:

$x_0^2 + 8x_0 + 16 + 16 = x_0^2 + 4x_0 + 4$

$x_0^2 + 8x_0 + 32 = x_0^2 + 4x_0 + 4$

$8x_0 - 4x_0 = 4 - 32$

$4x_0 = -28$

$x_0 = -7$

Таким образом, центр окружности C имеет координаты (-7; 0).

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $x_0 = -7$ в любое из уравнений системы (удобнее во второе):

$R^2 = (x_0 + 2)^2 = (-7 + 2)^2 = (-5)^2 = 25$.

Подставляем найденные координаты центра $(x_0, y_0) = (-7, 0)$ и $R^2=25$ в общее уравнение окружности:

$(x - (-7))^2 + (y - 0)^2 = 25$

$(x + 7)^2 + y^2 = 25$

Ответ: $(x + 7)^2 + y^2 = 25$.

б) с центром на оси y, проходящей через точки (8; 0) и (-6; 2).

По условию, центр окружности находится на оси $y$, следовательно, его координата $x_0 = 0$. Уравнение окружности принимает вид: $x^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Окружность проходит через точки C(8; 0) и D(-6; 2). Подставим их координаты в уравнение:

Для точки C(8; 0): $8^2 + (0 - y_0)^2 = R^2 \Rightarrow 64 + y_0^2 = R^2$.

Для точки D(-6; 2): $(-6)^2 + (2 - y_0)^2 = R^2 \Rightarrow 36 + (2 - y_0)^2 = R^2$.

Приравняем выражения для $R^2$:

$64 + y_0^2 = 36 + (2 - y_0)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y_0$:

$64 + y_0^2 = 36 + 4 - 4y_0 + y_0^2$

$64 + y_0^2 = 40 - 4y_0 + y_0^2$

$64 = 40 - 4y_0$

$24 = -4y_0$

$y_0 = -6$

Таким образом, центр окружности C имеет координаты (0; -6).

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив $y_0 = -6$ в первое уравнение системы:

$R^2 = 64 + y_0^2 = 64 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100$.

Подставляем найденные координаты центра $(x_0, y_0) = (0, -6)$ и $R^2=100$ в уравнение окружности:

$x^2 + (y - (-6))^2 = 100$

$x^2 + (y + 6)^2 = 100$

Ответ: $x^2 + (y + 6)^2 = 100$.

5.18 Найдите решения уравнения:

a) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0;$

б) $\sqrt{2x - 1} + |2y + 3| = 0;$

в) $(3x - 4)^2 + y^2 = 0;$

г) $\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} + |z - 2| = 0.$

а) В уравнении $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$ оба слагаемых являются квадратами действительных чисел. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 2)^2 \ge 0$ и $(y - 3)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Таким образом, мы можем составить систему уравнений: $ \begin{cases} (x + 2)^2 = 0 \\ (y - 3)^2 = 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем: $x + 2 = 0 \implies x = -2$
$y - 3 = 0 \implies y = 3$
Следовательно, единственное решение уравнения — пара чисел $(-2, 3)$.
Ответ: $x = -2, y = 3$.

б) В уравнении $\sqrt{2x - 1} + |2y + 3| = 0$ первое слагаемое — это арифметический квадратный корень, который по определению не может быть отрицательным ($\sqrt{2x - 1} \ge 0$). Второе слагаемое — это модуль числа, который также всегда неотрицателен ($|2y + 3| \ge 0$).
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. Это приводит к системе: $ \begin{cases} \sqrt{2x - 1} = 0 \\ |2y + 3| = 0 \end{cases} $
Решаем каждое уравнение системы: $\sqrt{2x - 1} = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$
$|2y + 3| = 0 \implies 2y + 3 = 0 \implies 2y = -3 \implies y = -\frac{3}{2}$
Решением является пара чисел $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}, y = -\frac{3}{2}$.

в) Уравнение $(3x - 4)^2 + y^2 = 0$ аналогично пункту а). Оба слагаемых являются неотрицательными, так как представляют собой квадраты действительных чисел: $(3x - 4)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$.
Их сумма может быть равна нулю только если каждое из них равно нулю. Получаем систему: $ \begin{cases} (3x - 4)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} $
Находим решения для каждого уравнения: $3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}$
$y^2 = 0 \implies y = 0$
Таким образом, решением является пара чисел $(\frac{4}{3}, 0)$.
Ответ: $x = \frac{4}{3}, y = 0$.

г) В уравнении $\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} + |z - 2| = 0$ все три слагаемых в левой части неотрицательны:

• $\sqrt{x} \ge 0$ (при этом область определения требует $x \ge 0$)
• $\sqrt{y - 1} \ge 0$ (при этом область определения требует $y - 1 \ge 0$, то есть $y \ge 1$)
• $|z - 2| \ge 0$

Сумма трех неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Составляем систему уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x} = 0 \\ \sqrt{y - 1} = 0 \\ |z - 2| = 0 \end{cases} $
Решаем эту систему: $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$
$\sqrt{y - 1} = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1$
$|z - 2| = 0 \implies z - 2 = 0 \implies z = 2$
Все найденные значения удовлетворяют областям определения. Следовательно, решением является тройка чисел $(0, 1, 2)$.
Ответ: $x = 0, y = 1, z = 2$.

5.19 Является ли пара чисел (2; 3) решением системы уравнений:

а) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ 2x + y = 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y = 5, \\ 3x - 1 = y; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + 3y = 13, \\ y + x = 1; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ 5x - 2y = 4? \end{cases} $

Для того чтобы определить, является ли пара чисел $(2; 3)$ решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x=2$ и $y=3$ в каждое уравнение системы. Если в результате подстановки оба уравнения системы обращаются в верные числовые равенства, то пара является решением. Если хотя бы одно из уравнений обращается в неверное равенство, то пара не является решением системы.

а)

Подставим значения $x=2$ и $y=3$ в систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ 2x + y = 7; \end{cases}$

Проверка первого уравнения: $x^2 + y^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. Получаем верное равенство $13 = 13$.

Проверка второго уравнения: $2x + y = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$. Получаем верное равенство $7 = 7$.

Так как оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(2; 3)$ является решением данной системы.

Ответ: является.

б)

Подставим значения $x=2$ и $y=3$ в систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y = 5, \\ 3x - 1 = y; \end{cases}$

Проверка первого уравнения: $x^2 + y = 2^2 + 3 = 4 + 3 = 7$. Получаем неверное равенство $7 = 5$.

Поскольку уже первое уравнение не является верным равенством, можно заключить, что пара чисел $(2; 3)$ не является решением данной системы.

Ответ: не является.

в)

Подставим значения $x=2$ и $y=3$ в систему уравнений $\begin{cases} x^2 + 3y = 13, \\ y + x = 1; \end{cases}$

Проверка первого уравнения: $x^2 + 3y = 2^2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13$. Получаем верное равенство $13 = 13$.

Проверка второго уравнения: $y + x = 3 + 2 = 5$. Получаем неверное равенство $5 = 1$.

Так как второе уравнение не обратилось в верное равенство, пара чисел $(2; 3)$ не является решением данной системы.

Ответ: не является.

г)

Подставим значения $x=2$ и $y=3$ в систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ 5x - 2y = 4; \end{cases}$

Проверка первого уравнения: $x^2 + y^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. Получаем неверное равенство $13 = 4$.

Поскольку первое уравнение не является верным равенством, пара чисел $(2; 3)$ не является решением данной системы. (Хотя второе уравнение, $5 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 10 - 6 = 4$, является верным).

Ответ: не является.

5.20 Какая из следующих пар чисел является решением системы уравнений

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y - 2x = 1: \end{cases}$

а) (0; 1);

б) (-1; -1);

в) (1; 0);

г) (1; 1)?

Для того чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба уравнения. Решением является та пара, при подстановке которой оба уравнения превращаются в верные числовые равенства.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y - 2x = 1 \end{cases} $$

а) (0; 1)

Проверим пару (0; 1), где $x=0$, $y=1$.

Подставляем в первое уравнение: $x^2 + y^2 = 0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$. Получаем $1 = 1$. Равенство верное.

Подставляем во второе уравнение: $y - 2x = 1 - 2 \cdot 0 = 1 - 0 = 1$. Получаем $1 = 1$. Равенство верное.

Оба равенства верны, следовательно, эта пара является решением системы.

Ответ: пара (0; 1) является решением.

б) (-1; -1)

Проверим пару (-1; -1), где $x=-1$, $y=-1$.

Подставляем в первое уравнение: $x^2 + y^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$. Получаем $2 = 1$. Равенство неверное.

Поскольку первое уравнение не выполняется, данная пара не является решением системы.

Ответ: пара (-1; -1) не является решением.

в) (1; 0)

Проверим пару (1; 0), где $x=1$, $y=0$.

Подставляем в первое уравнение: $x^2 + y^2 = 1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. Получаем $1 = 1$. Равенство верное.

Подставляем во второе уравнение: $y - 2x = 0 - 2 \cdot 1 = -2$. Получаем $-2 = 1$. Равенство неверное.

Поскольку второе уравнение не выполняется, данная пара не является решением системы.

Ответ: пара (1; 0) не является решением.

г) (1; 1)

Проверим пару (1; 1), где $x=1$, $y=1$.

Подставляем в первое уравнение: $x^2 + y^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$. Получаем $2 = 1$. Равенство неверное.

Поскольку первое уравнение не выполняется, данная пара не является решением системы.

Ответ: пара (1; 1) не является решением.

Таким образом, единственной парой чисел из предложенных, которая является решением системы уравнений, является пара под буквой а).

Решите графически систему уравнений:

5.21 a)

$\begin{cases} x = -1, \\ x^2 + y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y = 3, \\ x - y + 1 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - y = 3, \\ y = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 - y = 4, \\ 2x + y = -1. \end{cases}$

а)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} x = -1, \\ x^2 + y = 4; \end{cases} $$ Для решения системы графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. График первого уравнения $x = -1$ — это вертикальная прямая, которая проходит через точку $(-1, 0)$ на оси абсцисс и параллельна оси ординат (оси Oy).

2. Второе уравнение $x^2 + y = 4$ преобразуем к виду $y = -x^2 + 4$. Это уравнение параболы. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(x_v, y_v)$, где $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$, а $y_v = -0^2 + 4 = 4$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.

Построив оба графика, мы ищем их точку пересечения. Прямая $x = -1$ пересекает параболу $y = -x^2 + 4$. Чтобы найти координаты точки пересечения, подставим значение $x = -1$ во второе уравнение: $y = -(-1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$. Следовательно, графики пересекаются в одной точке с координатами $(-1, 3)$.

Ответ: $(-1, 3)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y = 3, \\ x - y + 1 = 0; \end{cases} $$ Построим графики для каждого уравнения.

1. Первое уравнение $x^2 + y = 3$ можно записать в виде $y = -x^2 + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 3)$.

2. Второе уравнение $x - y + 1 = 0$ можно переписать как $y = x + 1$. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек, например, $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

Теперь построим оба графика в одной системе координат. Точки, в которых парабола и прямая пересекаются, будут решениями системы. Визуально можно определить две точки пересечения. Для точности найдем их координаты, приравняв правые части уравнений: $-x^2 + 3 = x + 1$ $x^2 + x - 2 = 0$ Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 1 = 2$. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 1 = -1$. Таким образом, точки пересечения: $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: $(1, 2), (-2, -1)$.

в)

Решим графически систему: $$ \begin{cases} x^2 - y = 3, \\ y = 6; \end{cases} $$

1. Преобразуем первое уравнение $x^2 - y = 3$ к виду $y = x^2 - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1). Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.

2. Второе уравнение $y = 6$ задает горизонтальную прямую, параллельную оси Ox и проходящую через точку $(0, 6)$ на оси Oy.

Построим графики параболы и прямой в одной системе координат. Точки их пересечения являются решениями системы. Чтобы найти их координаты, подставим $y = 6$ в уравнение параболы: $6 = x^2 - 3$ $x^2 = 9$ $x_1 = 3$, $x_2 = -3$. Таким образом, мы имеем две точки пересечения с координатами $(3, 6)$ и $(-3, 6)$.

Ответ: $(3, 6), (-3, 6)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y = 4, \\ 2x + y = -1; \end{cases} $$ Для графического решения построим графики обоих уравнений.

1. Первое уравнение $x^2 - y = 4$ преобразуется в $y = x^2 - 4$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -4)$.

2. Второе уравнение $2x + y = -1$ преобразуется в $y = -2x - 1$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$; если $x=1$, то $y=-3$. Точки: $(0, -1)$ и $(1, -3)$.

Построим параболу и прямую в одной координатной плоскости. Точки пересечения их графиков и будут решениями системы. Для нахождения точных координат приравняем выражения для $y$: $x^2 - 4 = -2x - 1$ $x^2 + 2x - 3 = 0$ Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Найдем соответствующие значения $y$: Для $x_1 = 1$, $y_1 = -2(1) - 1 = -3$. Для $x_2 = -3$, $y_2 = -2(-3) - 1 = 6 - 1 = 5$. Следовательно, точки пересечения графиков: $(1, -3)$ и $(-3, 5)$.

Ответ: $(1, -3), (-3, 5)$.