Страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Расскажите, в чём состоит метод решения неравенств, называемый методом интервалов, и примените его для решения неравенства:

a) $x(x+1)(x-2) < 0$;

б) $(x-1)(x-3)(x+4) \ge 0$.

Метод интервалов (или метод промежутков) — это алгоритм для решения неравенств вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \geq 0$ или $f(x) \leq 0$. Он особенно эффективен для рациональных неравенств. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Привести неравенство к виду, где в одной части стоит функция $f(x)$, а в другой — ноль.
2. Найти область определения функции $f(x)$.
3. Найти нули функции, то есть решить уравнение $f(x) = 0$. Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x)$ обращается в ноль.
4. Нанести на числовую ось нули функции и точки, в которых функция не определена (если они есть). Эти точки разобьют числовую ось на несколько интервалов.
5. Если неравенство строгое (со знаками $ < $ или $ > $), то нули функции на оси отмечаются "выколотыми" (пустыми) точками, что означает, что они не входят в решение. Если неравенство нестрогое (со знаками $ \leq $ или $ \geq $), точки отмечаются "закрашенными" (сплошными), что означает, что они являются частью решения.
6. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно выбрать любую "пробную" точку из каждого интервала, подставить ее в $f(x)$ и определить знак результата. Если функция $f(x)$ представляет собой произведение или частное множителей вида $(x-a)$ в нечетных степенях, то знаки на интервалах будут чередоваться. В этом случае достаточно определить знак в самом правом интервале и расставить остальные, чередуя их.
7. Выбрать интервалы, знак на которых соответствует знаку неравенства. Например, для $f(x) > 0$ выбираются интервалы со знаком "+".
8. Записать ответ в виде объединения выбранных интервалов, учитывая, включать ли концы интервалов (в зависимости от того, "выколотые" или "закрашенные" точки).

а) Решим неравенство $x(x + 1)(x - 2) < 0$.

1. Неравенство уже приведено к нужному виду. Пусть $f(x) = x(x + 1)(x - 2)$. Нам нужно найти, где $f(x) < 0$.

2. Находим нули функции $f(x)$, решая уравнение $x(x + 1)(x - 2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$.

3. Наносим эти точки на числовую ось. Так как неравенство строгое ($ < $), все точки будут выколотыми.

4. Точки $-1$, $0$, $2$ разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

5. Определим знак функции $f(x)$ в каждом интервале.

• В интервале $(2; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=3$: $f(3) = 3(3+1)(3-2) = 3 \cdot 4 \cdot 1 = 12 > 0$. Знак "+".
• Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.
• В интервале $(0; 2)$ знак будет "−".
• В интервале $(-1; 0)$ знак будет "+".
• В интервале $(-\infty; -1)$ знак будет "−".

6. Нам нужны интервалы, где $f(x) < 0$. Это интервалы со знаком "−".
Выбираем интервалы $(-\infty; -1)$ и $(0; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 2)$.

б) Решим неравенство $(x - 1)(x - 3)(x + 4) \geq 0$.

1. Неравенство уже приведено к нужному виду. Пусть $f(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 4)$. Нам нужно найти, где $f(x) \geq 0$.

2. Находим нули функции $f(x)$, решая уравнение $(x - 1)(x - 3)(x + 4) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $x_3 = -4$.

3. Наносим эти точки на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($ \geq $), все точки будут закрашенными.

4. Точки $-4$, $1$, $3$ разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -4]$, $[-4; 1]$, $[1; 3]$ и $[3; +\infty)$.

5. Определим знак функции $f(x)$ в каждом интервале.

• В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=4$: $f(4) = (4-1)(4-3)(4+4) = 3 \cdot 1 \cdot 8 = 24 > 0$. Знак "+".
• Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.
• В интервале $(1; 3)$ знак будет "−".
• В интервале $(-4; 1)$ знак будет "+".
• В интервале $(-\infty; -4)$ знак будет "−".

6. Нам нужны интервалы, где $f(x) \geq 0$. Это интервалы со знаком "+" и сами точки, где $f(x)=0$.
Выбираем интервалы $[-4; 1]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-4; 1] \cup [3; +\infty)$.

2. Верно ли такое решение неравенства $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$: так как $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$, то, перейдя к обратным числам, получим $x \ge 3$? Решите неравенство $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$, применяя правила и метод интервалов. Сравните полученное решение с найденным выше ($x \ge 3$). Почему результаты получились различными?

Верно ли такое решение неравенства $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$: так как $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$, то, перейдя к обратным числам, получим $x \ge 3$?

Нет, такое решение неверно. Оно является неполным.

Правило, по которому при переходе к обратным числам знак неравенства меняется на противоположный (из $a \le b$ следует $\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}$), справедливо только в том случае, когда обе части неравенства, $a$ и $b$, имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).

В неравенстве $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$ правая часть $\frac{1}{3}$ положительна. Левая часть $\frac{1}{x}$ может быть как положительной, так и отрицательной.

1. Если $x > 0$, то $\frac{1}{x} > 0$. В этом случае обе части неравенства положительны, и мы можем применить указанное правило: перейти к обратным числам, изменив знак неравенства. Получим $x \ge 3$. Учитывая исходное условие $x > 0$, решением в этом случае будет $x \ge 3$.
2. Если $x < 0$, то $\frac{1}{x} < 0$. В этом случае неравенство $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$ выполняется всегда, так как любое отрицательное число меньше любого положительного. Следовательно, все $x < 0$ являются решениями.

Предложенное решение $x \ge 3$ учитывает только первый случай и полностью теряет вторую часть решения $x < 0$.

Ответ: Нет, решение неверно, так как оно не учитывает случай, когда $x < 0$.

Решите неравенство $\frac{1}{x} \le \frac{1}{3}$, применяя правила и метод интервалов.

Для решения неравенства методом интервалов перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{3} \le 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot x}{3x} \le 0$

$\frac{3 - x}{3x} \le 0$

Теперь найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3 - x = 0 \implies x = 3$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет входить в решение.
Нуль знаменателя: $3x = 0 \implies x = 0$. Эта точка не входит в область допустимых значений (ОДЗ), поэтому она всегда исключается из решения.

Нанесем точки $0$ и $3$ на числовую ось. Точка $0$ будет выколотой, а точка $3$ — закрашенной. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $[3, \infty)$.

Определим знак выражения $f(x) = \frac{3 - x}{3x}$ в каждом интервале:

• При $x \in (-\infty, 0)$, например $x = -1$: $f(-1) = \frac{3 - (-1)}{3(-1)} = \frac{4}{-3} < 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (0, 3)$, например $x = 1$: $f(1) = \frac{3 - 1}{3(1)} = \frac{2}{3} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (3, \infty)$, например $x = 4$: $f(4) = \frac{3 - 4}{3(4)} = \frac{-1}{12} < 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы и точку $x=3$, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [3, \infty)$.

Сравните полученное решение с найденным выше ($x \ge 3$). Почему результаты получились различными?

Предложенное решение: $x \ge 3$, или в виде интервала $[3, \infty)$.

Решение, полученное методом интервалов: $x < 0$ или $x \ge 3$, или в виде интервалов $(-\infty, 0) \cup [3, \infty)$.

Результаты различны, потому что первое решение ($x \ge 3$) является лишь частью полного правильного решения. В нем потерян интервал $(-\infty, 0)$.

Причина различия заключается в некорректном применении свойства неравенств в первом способе. "Переворачивание" дробей с изменением знака неравенства возможно только для чисел одного знака. Предложенное решение неявно предполагает, что $\frac{1}{x} > 0$, то есть $x > 0$. Этот подход игнорирует случай, когда $x$ является отрицательным числом. Если $x < 0$, то $\frac{1}{x}$ — отрицательное число, и оно в любом случае меньше положительного числа $\frac{1}{3}$.

Метод интервалов является универсальным. Он сводит неравенство к сравнению выражения с нулем и анализирует знак этого выражения на всей числовой оси, учитывая все возможные случаи и область допустимых значений. Поэтому он дает полный и правильный ответ.

Ответ: Результаты получились различными, потому что первый способ решения теряет часть ответа ($x < 0$) из-за неправомерного применения правила перехода к обратным числам, которое справедливо только для чисел одного знака. Метод интервалов является более общим и позволяет найти все решения неравенства.

5.1 Является ли пара чисел (3; 1) решением уравнения:

а) $3x + y = 10;$

б) $x^2 - 2y = 1;$

в) $5x^3 - y = 134;$

г) $\frac{x}{y} + 2 = -5y?$

Чтобы определить, является ли пара чисел $(3; 1)$ решением уравнения, необходимо подставить значения $x=3$ и $y=1$ в каждое уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

а) $3x + y = 10$
Подставляем $x=3$ и $y=1$:
$3 \cdot 3 + 1 = 10$
$9 + 1 = 10$
$10 = 10$
Равенство верное, значит, пара чисел $(3; 1)$ является решением этого уравнения.
Ответ: да.

б) $x^2 - 2y = 1$
Подставляем $x=3$ и $y=1$:
$3^2 - 2 \cdot 1 = 1$
$9 - 2 = 1$
$7 = 1$
Равенство неверное, значит, пара чисел $(3; 1)$ не является решением этого уравнения.
Ответ: нет.

в) $5x^3 - y = 134$
Подставляем $x=3$ и $y=1$:
$5 \cdot 3^3 - 1 = 134$
$5 \cdot 27 - 1 = 134$
$135 - 1 = 134$
$134 = 134$
Равенство верное, значит, пара чисел $(3; 1)$ является решением этого уравнения.
Ответ: да.

г) $\frac{x}{y} + 2 = -5y$
Подставляем $x=3$ и $y=1$:
$\frac{3}{1} + 2 = -5 \cdot 1$
$3 + 2 = -5$
$5 = -5$
Равенство неверное, значит, пара чисел $(3; 1)$ не является решением этого уравнения.
Ответ: нет.

5.2 Какая из следующих пар чисел является решением уравнения $2x^2 - y^2 = 1$:

а) $(1; 1);$

б) $(2; \sqrt{7});$

в) $(\frac{1}{2}; 4);$

г) $(\sqrt{3}; \sqrt{5})?$

Чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением уравнения $2x^2 - y^2 = 1$, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

а) Проверим пару $(1; 1)$. Подставляем $x = 1$ и $y = 1$ в уравнение:

$2 \cdot 1^2 - 1^2 = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.

Получено верное равенство $1 = 1$. Следовательно, эта пара чисел является решением уравнения.

Ответ: является решением.

б) Проверим пару $(2; \sqrt{7})$. Подставляем $x = 2$ и $y = \sqrt{7}$ в уравнение:

$2 \cdot 2^2 - (\sqrt{7})^2 = 2 \cdot 4 - 7 = 8 - 7 = 1$.

Получено верное равенство $1 = 1$. Следовательно, эта пара чисел является решением уравнения.

Ответ: является решением.

в) Проверим пару $\left(\frac{1}{2}; 4\right)$. Подставляем $x = \frac{1}{2}$ и $y = 4$ в уравнение:

$2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 16 = \frac{1}{2} - 16 = -15,5$.

Получено неверное равенство $-15,5 \neq 1$. Следовательно, эта пара чисел не является решением уравнения.

Ответ: не является решением.

г) Проверим пару $(\sqrt{3}; \sqrt{5})$. Подставляем $x = \sqrt{3}$ и $y = \sqrt{5}$ в уравнение:

$2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$.

Получено верное равенство $1 = 1$. Следовательно, эта пара чисел является решением уравнения.

Ответ: является решением.

Постройте график уравнения:

5.3 a) $2x + 3y = 6$;

б) $4x - 5y = 20$;

в) $6x - y = 12$;

г) $7x + 2y = 14$.

а) $2x + 3y = 6$

Данное уравнение является линейным, его график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек, для чего определим точки пересечения прямой с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $y$), подставив в уравнение $x = 0$:
$2 \cdot 0 + 3y = 6$
$3y = 6$
$y = 2$
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0; 2)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $x$), подставив в уравнение $y = 0$:
$2x + 3 \cdot 0 = 6$
$2x = 6$
$x = 3$
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(3; 0)$.

Чтобы построить график, необходимо отметить на координатной плоскости точки $(0; 2)$ и $(3; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(3; 0)$.

б) $4x - 5y = 20$

Данное уравнение является линейным, его график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек, определив точки пересечения прямой с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью $y$, подставив $x = 0$:
$4 \cdot 0 - 5y = 20$
$-5y = 20$
$y = -4$
Первая точка имеет координаты $(0; -4)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $x$, подставив $y = 0$:
$4x - 5 \cdot 0 = 20$
$4x = 20$
$x = 5$
Вторая точка имеет координаты $(5; 0)$.

Чтобы построить график, необходимо отметить на координатной плоскости точки $(0; -4)$ и $(5; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0; -4)$ и $(5; 0)$.

в) $6x - y = 12$

Данное уравнение является линейным, его график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек, определив точки пересечения прямой с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью $y$, подставив $x = 0$:
$6 \cdot 0 - y = 12$
$-y = 12$
$y = -12$
Первая точка имеет координаты $(0; -12)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $x$, подставив $y = 0$:
$6x - 0 = 12$
$6x = 12$
$x = 2$
Вторая точка имеет координаты $(2; 0)$.

Чтобы построить график, необходимо отметить на координатной плоскости точки $(0; -12)$ и $(2; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0; -12)$ и $(2; 0)$.

г) $7x + 2y = 14$

Данное уравнение является линейным, его график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек, определив точки пересечения прямой с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью $y$, подставив $x = 0$:
$7 \cdot 0 + 2y = 14$
$2y = 14$
$y = 7$
Первая точка имеет координаты $(0; 7)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $x$, подставив $y = 0$:
$7x + 2 \cdot 0 = 14$
$7x = 14$
$x = 2$
Вторая точка имеет координаты $(2; 0)$.

Чтобы построить график, необходимо отметить на координатной плоскости точки $(0; 7)$ и $(2; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0; 7)$ и $(2; 0)$.

5.4 a) $2y - x^2 = 0;$

б) $\frac{3}{x} - y = 0;$

В) $y + \frac{x^2}{3} = 0;$

Г) $\frac{1}{x} - \frac{y}{4} = 0.$

а) Чтобы выразить y через x в уравнении $2y - x^2 = 0$, нужно изолировать переменную y в левой части уравнения.
Сначала перенесем член $-x^2$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$2y = x^2$
Далее, разделим обе части полученного уравнения на коэффициент при y, то есть на 2:
$y = \frac{x^2}{2}$
Это уравнение задает квадратичную функцию.
Ответ: $y = \frac{x^2}{2}$

б) В уравнении $\frac{3}{x} - y = 0$ необходимо выразить y через x. Область допустимых значений для x: $x \neq 0$.
Перенесем -y в правую часть уравнения, поменяв знак:
$\frac{3}{x} = y$
Запишем уравнение в стандартном виде функции:
$y = \frac{3}{x}$
Это уравнение задает функцию обратной пропорциональности.
Ответ: $y = \frac{3}{x}$

в) Рассмотрим уравнение $y + \frac{x^2}{3} = 0$. Чтобы выразить y, изолируем его в левой части.
Перенесем член $\frac{x^2}{3}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$y = -\frac{x^2}{3}$
Это уравнение задает квадратичную функцию.
Ответ: $y = -\frac{x^2}{3}$

г) В уравнении $\frac{1}{x} - \frac{y}{4} = 0$ выразим y через x. Область допустимых значений для x: $x \neq 0$.
Перенесем член $-\frac{y}{4}$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$\frac{1}{x} = \frac{y}{4}$
Чтобы найти y, умножим обе части уравнения на 4:
$4 \cdot \frac{1}{x} = y$
Запишем результат в стандартном виде:
$y = \frac{4}{x}$
Это уравнение задает функцию обратной пропорциональности.
Ответ: $y = \frac{4}{x}$