Страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

191. Задача Евклида (IV в. до н. э.). Докажите, что если a, b, c, d — положительные числа и a — наибольшее число в пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то верно неравенство $a + d > b + c$.

По условию задачи даны четыре положительных числа $a, b, c, d$, которые образуют пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Также известно, что $a$ — наибольшее из этих чисел. Требуется доказать неравенство $a + d > b + c$.

Для доказательства мы будем использовать свойства пропорций и неравенств.

1. Начнем с преобразования исходной пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Так как по условию $b$ и $c$ — положительные числа (а значит, не равны нулю), мы можем поменять местами средние члены пропорции, получив равносильную пропорцию: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.

2. Из условия известно, что $a$ — наибольшее число. Это означает, что $a > c$. Поскольку $c$ — положительное число, мы можем разделить обе части неравенства $a > c$ на $c$, получив $\frac{a}{c} > 1$.

3. Из равенства $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ (из п. 1) и неравенства $\frac{a}{c} > 1$ (из п. 2) следует, что $\frac{b}{d} > 1$. Так как $d$ — положительное число, мы можем умножить обе части этого неравенства на $d$, сохранив знак неравенства. Получаем $b > d$.

4. Теперь воспользуемся свойством производных пропорций, которое гласит, что если $\frac{x}{y} = \frac{z}{w}$, то $\frac{x}{y} = \frac{x-z}{y-w}$ (при условии, что $y \neq w$). Применительно к нашей исходной пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, и учитывая, что мы доказали $b > d$ (а значит $b \neq d$), мы можем записать: $\frac{a}{b} = \frac{a-c}{b-d}$.

5. Снова используем условие, что $a$ — наибольшее число. В частности, $a > b$. Так как $b$ — положительное число, отсюда следует, что $\frac{a}{b} > 1$.

6. Сопоставляя результаты из пунктов 4 и 5, мы получаем: $\frac{a-c}{b-d} = \frac{a}{b}$ и $\frac{a}{b} > 1$. Следовательно, $\frac{a-c}{b-d} > 1$.

7. В пункте 3 мы установили, что $b > d$, а это значит, что разность $b-d$ является положительным числом. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства $\frac{a-c}{b-d} > 1$ на положительный множитель $(b-d)$, при этом знак неравенства не изменится: $a-c > b-d$.

8. Чтобы прийти к искомому неравенству, прибавим к обеим частям полученного неравенства $a-c > b-d$ сумму $(c+d)$: $(a-c) + (c+d) > (b-d) + (c+d)$. После упрощения получаем: $a+d > b+c$.

Таким образом, требуемое неравенство доказано.

Ответ: утверждение задачи доказано.