Страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

194. Что называют мгновенной скоростью точки, движущейся прямолинейно по закону $s = f(t)$, в момент времени $t$?

Мгновенная скорость точки в конкретный момент времени $t$ — это величина, характеризующая быстроту изменения её положения именно в этот момент. Чтобы дать строгое определение, рассмотрим движение точки, описываемое законом $s = f(t)$, где $s$ — это координата точки на прямой (пройденный путь), а $t$ — время.

Для начала рассмотрим среднюю скорость движения за некоторый малый промежуток времени. Пусть в момент времени $t$ точка находилась в положении $f(t)$. Спустя промежуток времени $\Delta t$, в момент $t + \Delta t$, точка окажется в положении $f(t + \Delta t)$.

Приращение пути за это время составит $\Delta s = f(t + \Delta t) - f(t)$. Тогда средняя скорость $v_{\text{ср}}$ на промежутке времени $[t, t + \Delta t]$ вычисляется как отношение приращения пути к приращению времени:

$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$

Эта формула дает нам среднюю скорость за интервал $\Delta t$. Чтобы найти скорость точно в момент времени $t$ (мгновенную скорость), нужно сделать этот интервал времени бесконечно малым, то есть рассмотреть предел, к которому стремится средняя скорость при $\Delta t \to 0$.

Таким образом, мгновенная скорость $v(t)$ в момент времени $t$ определяется как предел отношения приращения пути $\Delta s$ к приращению времени $\Delta t$, когда $\Delta t$ стремится к нулю:

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$

В математическом анализе этот предел называется производной функции $f(t)$ по переменной $t$ и обозначается как $f'(t)$ или $s'(t)$. Следовательно, мгновенная скорость — это производная от закона движения по времени. Это и есть физический смысл производной.

$v(t) = s'(t) = f'(t)$

Ответ: Мгновенной скоростью точки, движущейся прямолинейно по закону $s = f(t)$, в момент времени $t$ называют производную функции пути $f(t)$ по времени $t$. Это предел отношения приращения пути к приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю: $v(t) = f'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$.

195. Какова мгновенная скорость $v$ в момент времени $t$ для тел, законы прямолинейного движения которых таковы:

а) $s(t) = 5t + 3$;

б) $s(t) = 3t^2 + 4$?

Мгновенная скорость $v$ в момент времени $t$ является первой производной от закона движения (координаты) $s(t)$ по времени. Физический смысл производной в данном контексте — это скорость изменения положения тела.

Формула для нахождения мгновенной скорости: $v(t) = s'(t)$.

а) Дан закон прямолинейного движения: $s(t) = 5t + 3$.

Для нахождения мгновенной скорости $v(t)$ необходимо найти производную функции $s(t)$ по переменной $t$.

$v(t) = s'(t) = (5t + 3)'$

Используем правила дифференцирования:

• Производная суммы функций равна сумме их производных: $(f(t) + g(t))' = f'(t) + g'(t)$.
• Производная линейной функции $(kt)'$ равна $k$.
• Производная константы $(C)'$ равна нулю.

Применяя эти правила, получаем:

$v(t) = (5t)' + (3)' = 5 + 0 = 5$

Таким образом, мгновенная скорость тела постоянна и равна 5 (единиц скорости).

Ответ: $v(t) = 5$.

б) Дан закон прямолинейного движения: $s(t) = 3t^2 + 4$.

Для нахождения мгновенной скорости $v(t)$ также найдем производную функции $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t) = (3t^2 + 4)'$

Используем те же правила дифференцирования, а также правило для степенной функции $(at^n)' = a \cdot n \cdot t^{n-1}$.

Применяя правила, получаем:

$v(t) = (3t^2)' + (4)' = 3 \cdot 2 \cdot t^{2-1} + 0 = 6t$

В этом случае мгновенная скорость тела зависит от времени $t$ и равна $6t$ (единиц скорости).

Ответ: $v(t) = 6t$.

196. Дан закон прямолинейного движения материальной точки:

a) $s(t) = 2t$;

б) $s(t) = 2t + 3.$

Вычислите мгновенную скорость $v$ точки в момент $t_0 = 0; 1; 5.$

Выразите $v$ как функцию $t$ и постройте график этой функции, если $t \in [0; 5].$

Мгновенная скорость $v(t)$ материальной точки определяется как первая производная от функции её перемещения $s(t)$ по времени $t$. Формула для нахождения скорости:
$v(t) = s'(t)$.

а)

Дан закон прямолинейного движения: $s(t) = 2t$.

1. Выразим скорость $v$ как функцию $t$.
Для этого найдём производную от функции перемещения $s(t)$:
$v(t) = s'(t) = (2t)' = 2$.
Функция скорости имеет вид $v(t) = 2$. Это означает, что движение является равномерным, то есть скорость точки постоянна и не зависит от времени.

2. Вычислим мгновенную скорость $v$ в моменты времени $t_0 = 0; 1; 5$.
Поскольку скорость постоянна и равна 2, то в любой момент времени она будет иметь то же значение:
При $t_0 = 0$: $v(0) = 2$.
При $t_0 = 1$: $v(1) = 2$.
При $t_0 = 5$: $v(5) = 2$.

3. Построим график функции скорости $v(t)=2$ при $t \in [0; 5]$.
Графиком функции $v(t) = 2$ является прямая линия, параллельная оси времени $t$ и проходящая через точку $v=2$. Для заданного интервала $t \in [0; 5]$ график представляет собой горизонтальный отрезок, который соединяет точки с координатами $(0, 2)$ и $(5, 2)$.

Ответ: Функция скорости $v(t) = 2$. Скорость в моменты времени $t_0 = 0; 1; 5$ равна 2. График функции $v(t)$ на отрезке $[0; 5]$ — это горизонтальный отрезок с концами в точках $(0, 2)$ и $(5, 2)$.

б)

Дан закон прямолинейного движения: $s(t) = 2t + 3$.

1. Выразим скорость $v$ как функцию $t$.
Найдём производную от функции перемещения $s(t)$:
$v(t) = s'(t) = (2t + 3)' = (2t)' + (3)' = 2 + 0 = 2$.
Функция скорости $v(t) = 2$. Скорость также является постоянной величиной. Слагаемое "+3" в законе движения определяет начальное положение точки ($s(0)=3$), но не оказывает влияния на её скорость.

2. Вычислим мгновенную скорость $v$ в моменты времени $t_0 = 0; 1; 5$.
Поскольку $v(t) = 2$ для любого $t$:
При $t_0 = 0$: $v(0) = 2$.
При $t_0 = 1$: $v(1) = 2$.
При $t_0 = 5$: $v(5) = 2$.

3. Построим график функции скорости $v(t)=2$ при $t \in [0; 5]$.
График скорости для данного закона движения полностью совпадает с графиком из пункта а), так как функция скорости идентична. Это горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(5, 2)$.

Ответ: Функция скорости $v(t) = 2$. Скорость в моменты времени $t_0 = 0; 1; 5$ равна 2. График функции $v(t)$ на отрезке $[0; 5]$ — это горизонтальный отрезок с концами в точках $(0, 2)$ и $(5, 2)$.

197. а) Что называют производной функции $f(x)$ в точке $x$?

б) Чему равна мгновенная скорость тела, движущегося по закону $s = f(t)$?

в) Чему равна производная постоянной?

г) Чему равна производная функции $y = kx + b$?

а) Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называют предел отношения приращения функции $\Delta f$ в этой точке к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю. Приращение функции $\Delta f$ вычисляется как $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Таким образом, производная $f'(x_0)$ определяется формулой:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Геометрически производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Физически производная характеризует скорость изменения функции.

Ответ: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

б) Мгновенная скорость тела, движущегося прямолинейно по закону $s = f(t)$, где $s$ — это путь, а $t$ — время, представляет собой скорость изменения пути по времени в данный момент. Это физический смысл производной. Следовательно, мгновенная скорость $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t) = f'(t)$

Ответ: производной функции пути по времени, то есть $s'(t)$ или $f'(t)$.

в) Производная постоянной функции, то есть функции вида $f(x) = C$, где $C$ — константа, всегда равна нулю. Это следует из определения производной: приращение постоянной функции всегда равно нулю ($\Delta f = C - C = 0$), поэтому и предел отношения будет равен нулю.

$f'(x) = (C)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C - C}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0$

Геометрически график функции $y=C$ — это горизонтальная прямая, угол наклона которой к оси Ох равен 0, соответственно и тангенс угла наклона (производная) равен 0.

Ответ: нулю.

г) Для нахождения производной линейной функции $y = kx + b$ воспользуемся правилами дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель можно выносить за знак производной.

$y' = (kx + b)' = (kx)' + (b)'$

Мы знаем, что производная постоянной $b$ равна нулю ($(b)' = 0$), а производная $x$ равна единице ($(x)' = 1$). Тогда:

$y' = k \cdot (x)' + 0 = k \cdot 1 = k$

Геометрически, производная — это тангенс угла наклона касательной. Графиком функции $y = kx + b$ является прямая, у которой угловой коэффициент $k$ постоянен для любой точки. Касательная к прямой в любой точке совпадает с самой прямой, следовательно, ее угловой коэффициент (производная) равен $k$.

Ответ: $k$.

198. Какова производная в точке x функции:

а) $y = 2x + 3;$

б) $y = -2 - 3x;$

в) $y = 2x^2 - 3x + 1;$

г) $y = -x^2 + 2x - 1?$

а)

Дана функция $y = 2x + 3$.
Для нахождения производной функции $y$ по переменной $x$, воспользуемся основными правилами дифференцирования:
1. Производная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их производных: $(u \pm v)' = u' \pm v'$.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$.
3. Производная константы равна нулю: $(C)' = 0$.
4. Производная независимой переменной $x$ равна единице: $(x)' = 1$.

Применим эти правила к нашей функции:
$y' = (2x + 3)' = (2x)' + (3)'$.
Находим производную каждого слагаемого:
$(2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2$.
$(3)' = 0$.
Складываем полученные результаты:
$y' = 2 + 0 = 2$.

Ответ: $2$

б)

Дана функция $y = -2 - 3x$.
Используя те же правила дифференцирования, находим производную:
$y' = (-2 - 3x)' = (-2)' - (3x)'$.
Находим производную каждого слагаемого:
$(-2)' = 0$ (как производная константы).
$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.
Следовательно, производная функции равна:
$y' = 0 - 3 = -3$.

Ответ: $-3$

в)

Дана функция $y = 2x^2 - 3x + 1$.
Для решения этой задачи, помимо уже перечисленных правил, нам понадобится правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Находим производную функции, применяя правила к каждому слагаемому:
$y' = (2x^2 - 3x + 1)' = (2x^2)' - (3x)' + (1)'$.
Вычисляем производную для каждого члена:
$(2x^2)' = 2 \cdot (x^2)' = 2 \cdot (2x^{2-1}) = 4x$.
$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.
$(1)' = 0$.
Собираем все вместе:
$y' = 4x - 3 + 0 = 4x - 3$.

Ответ: $4x - 3$

г)

Дана функция $y = -x^2 + 2x - 1$.
Находим производную функции, используя те же правила:
$y' = (-x^2 + 2x - 1)' = (-x^2)' + (2x)' - (1)'$.
Вычисляем производную для каждого члена:
$(-x^2)' = -1 \cdot (x^2)' = -1 \cdot (2x^{2-1}) = -2x$.
$(2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2$.
$(-1)' = 0$.
Складываем результаты:
$y' = -2x + 2 - 0 = -2x + 2$.

Ответ: $-2x + 2$

199. Закон прямолинейного движения точки определяется функцией:

a) $y = 3t$;

б) $y = 3t^2 + 1$.

Какова скорость её движения в момент времени $t$, в частности $t = 2$?

Скорость движения точки — это первая производная от функции, описывающей её положение (координату) $y$, по времени $t$. То есть, чтобы найти скорость $v(t)$, нужно вычислить производную $y'(t)$.

а)

Закон движения точки задан функцией $y = 3t$.
Найдём производную этой функции по времени $t$, чтобы определить скорость движения:
$v(t) = y'(t) = (3t)' = 3$.
Скорость в этом случае постоянна и не зависит от времени. Таким образом, в любой момент времени $t$, в том числе и при $t = 2$, скорость будет равна 3.
Ответ: Скорость в момент времени $t$ равна $v(t)=3$; в частности, при $t = 2$ скорость равна 3.

б)

Закон движения точки задан функцией $y = 3t^2 + 1$.
Найдём производную этой функции по времени $t$:
$v(t) = y'(t) = (3t^2 + 1)' = (3t^2)' + (1)' = 3 \cdot 2t + 0 = 6t$.
В данном случае скорость является функцией времени $v(t) = 6t$. Чтобы найти скорость в конкретный момент времени $t = 2$, подставим это значение в полученное выражение:
$v(2) = 6 \cdot 2 = 12$.
Ответ: Скорость в момент времени $t$ определяется по формуле $v(t) = 6t$; в частности, при $t = 2$ скорость равна 12.

200. а) Что называют первообразной для функции $f(x)$?

б) Однозначно ли определяется первообразная для данной функции?

а) Первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке называется такая функция $F(x)$, производная которой для всех $x$ из этого промежутка равна $f(x)$. Другими словами, для всех $x$ из рассматриваемого промежутка должно выполняться равенство:
$F'(x) = f(x)$
Процесс нахождения первообразной является операцией, обратной дифференцированию. Например, для функции $f(x) = \cos(x)$ первообразной будет функция $F(x) = \sin(x)$, поскольку $(\sin(x))' = \cos(x)$.
Ответ: Первообразной для функции $f(x)$ называют такую функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$.

б) Нет, первообразная для данной функции определяется не однозначно. Если функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, то и любая функция вида $G(x) = F(x) + C$, где $C$ — произвольное постоянное число (константа), также будет являться первообразной для $f(x)$.
Это объясняется свойством производной: производная постоянной равна нулю. Давайте проверим:$G'(x) = (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$.
Так как производная $G(x)$ равна $f(x)$, то $G(x)$ также является первообразной. Это означает, что у функции существует бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на константу. Совокупность всех первообразных функции $f(x)$ называют неопределенным интегралом и записывают как $\int f(x)dx = F(x) + C$.
Например, для функции $f(x) = 2x$ первообразными являются не только $x^2$, но и $x^2+1$, $x^2-10$, и в общем виде $x^2+C$.
Ответ: Нет, первообразная для данной функции определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной $C$.

201. Чему равна первообразная для функции:

а) $f(x) = 0$;

б) $f(x) = 1$;

в) $f(x) = x$;

г) $f(x) = ax + b$?

а) Первообразная для функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Для функции $f(x) = 0$ нам нужно найти функцию, производная которой равна нулю. Из правил дифференцирования известно, что производная любой постоянной величины (константы) равна нулю. Следовательно, первообразной для $f(x) = 0$ будет любая константа $C$.
Математически это записывается как интеграл:
$F(x) = \int 0 \,dx = C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Проверка: $F'(x) = (C)' = 0$.
Ответ: $F(x) = C$

б) Для нахождения первообразной функции $f(x) = 1$, мы ищем функцию $F(x)$, производная которой равна 1. Это можно сделать с помощью интегрирования. Используем основную формулу интегрирования для степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Представим $f(x) = 1$ как $x^0$.
$F(x) = \int 1 \,dx = \int x^0 \,dx = \frac{x^{0+1}}{0+1} + C = x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Проверка: $F'(x) = (x+C)' = (x)' + (C)' = 1 + 0 = 1$.
Ответ: $F(x) = x + C$

в) Для функции $f(x) = x$, которая является степенной функцией $x^1$, мы применяем ту же формулу интегрирования.
$F(x) = \int x \,dx = \int x^1 \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Проверка: $F'(x) = (\frac{x^2}{2} + C)' = \frac{1}{2}(x^2)' + (C)' = \frac{1}{2} \cdot 2x + 0 = x$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + C$

г) Для нахождения первообразной линейной функции $f(x) = ax + b$, мы используем свойства линейности неопределенного интеграла: интеграл суммы равен сумме интегралов, и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
$F(x) = \int (ax + b) \,dx = \int ax \,dx + \int b \,dx$.
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
$\int ax \,dx = a \int x^1 \,dx = a \frac{x^2}{2}$.
$\int b \,dx = b \int x^0 \,dx = b x$.
Складываем результаты и добавляем одну общую произвольную постоянную $C$:
$F(x) = a\frac{x^2}{2} + bx + C$.
Проверка: $F'(x) = (a\frac{x^2}{2} + bx + C)' = a(\frac{x^2}{2})' + (bx)' + (C)' = a\frac{2x}{2} + b + 0 = ax + b$.
Ответ: $F(x) = \frac{ax^2}{2} + bx + C$

202. Для решения каких физических задач применяется первообразная?

Первообразная, или неопределенный интеграл, является фундаментальным инструментом в физике. Его применение основано на том, что многие физические законы связывают одни величины как производные (скорость изменения) других. Если известна зависимость скорости изменения некоторой величины, то для нахождения самой величины или её полного изменения за определенный промежуток необходимо выполнить обратную операцию — интегрирование (нахождение первообразной). Рассмотрим основные типы таких задач.

1. Механика: определение пути и скорости

В кинематике первообразная используется для нахождения координаты тела по известной зависимости его скорости от времени, а также скорости по известной зависимости ускорения от времени.

Скорость $v(t)$ — это производная координаты $x(t)$ по времени $t$: $v(t) = x'(t)$. Следовательно, зная закон изменения скорости $v(t)$ и начальное положение тела $x_0 = x(t_0)$, можно найти его координату в любой момент времени $t$ через первообразную:

$x(t) = \int v(t) dt = F(t) + C$, где $F(t)$ — одна из первообразных для $v(t)$, а константа интегрирования $C$ находится из начальных условий: $x_0 = F(t_0) + C$.

Перемещение тела $\Delta x$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ равно определенному интегралу от скорости:

$\Delta x = x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$.

Аналогично, ускорение $a(t)$ — это производная скорости $v(t)$: $a(t) = v'(t)$. Значит, изменение скорости $\Delta v$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ можно найти, интегрируя ускорение:

$\Delta v = v(t_2) - v(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} a(t) dt$.

Ответ: В механике первообразная применяется для вычисления пути, пройденного телом при неравномерном движении, и для нахождения скорости тела при движении с переменным ускорением.

2. Вычисление работы переменной силы

Если на тело действует сила, величина которой меняется в зависимости от положения тела, то работа этой силы не может быть вычислена простым умножением силы на перемещение. Работа $A$, совершаемая переменной силой $F(x)$ при перемещении тела вдоль оси $x$ из точки $x_1$ в точку $x_2$, вычисляется как определенный интеграл:

$A = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.

Геометрически эта работа равна площади криволинейной трапеции под графиком зависимости $F(x)$. Примеры таких сил — сила упругости пружины ($F = kx$) или сила гравитационного притяжения ($F(r) = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$).

Ответ: Первообразная (в виде определенного интеграла) используется для расчета работы, совершаемой силой, которая изменяется в процессе движения тела.

3. Электродинамика: заряд и потенциал

В электродинамике интегрирование также находит широкое применение.

Сила тока $I(t)$ определяется как скорость прохождения заряда через поперечное сечение проводника: $I(t) = q'(t)$. Чтобы найти полный заряд $q$, прошедший через сечение за интервал времени от $t_1$ до $t_2$, нужно проинтегрировать силу тока:

$q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) dt$.

Напряженность электрического поля $E$ и потенциал $\varphi$ связаны соотношением $E = -\frac{d\varphi}{dx}$ (в одномерном случае). Следовательно, разность потенциалов между двумя точками $x_1$ и $x_2$ можно найти, проинтегрировав напряженность поля:

$\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = - \int_{x_1}^{x_2} E(x) dx$.

Ответ: В электродинамике с помощью первообразной можно вычислить заряд, прошедший по цепи при переменном токе, или разность потенциалов в неоднородном электрическом поле.

4. Термодинамика и другие задачи

Помимо перечисленных, первообразная используется для решения множества других физических задач. Например, для вычисления работы, совершаемой газом при изменении его объема в термодинамике ($A = \int_{V_1}^{V_2} p(V) dV$); для нахождения массы неоднородного тела, например, стержня с переменной линейной плотностью $\lambda(x)$ ($m = \int_a^b \lambda(x) dx$); а также для определения координат центра масс и моментов инерции тел сложной формы или с неравномерным распределением массы. Таким образом, нахождение первообразной — это универсальный математический метод для решения физических задач, в которых требуется найти суммарный эффект от действия переменной величины.

Ответ: Первообразная применяется для нахождения работы газа, массы неоднородных тел, центра масс и во многих других задачах, где нужно просуммировать действие непрерывно изменяющейся величины.

203. Чему равна первообразная для функции:

а) $y = 2$;

б) $y = 3x - 2$;

в) $y = x + 1;$

г) $y = -x - 4$;

д) $y = 2 - 2x?$

а)

Чтобы найти первообразную для функции $y=2$, мы должны найти функцию $F(x)$, производная которой равна 2. Это соответствует нахождению неопределенного интеграла.

Используем основное правило интегрирования для константы $\int k \, dx = kx + C$:

$F(x) = \int 2 \, dx = 2x + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования), так как производная любой константы равна нулю.

Проверим результат, взяв производную от найденной первообразной:

$F'(x) = (2x + C)' = 2 \cdot 1 + 0 = 2$.

Производная $F'(x)$ совпадает с исходной функцией $y=2$, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = 2x + C$

б)

Для нахождения первообразной функции $y = 3x - 2$ воспользуемся правилами интегрирования суммы (разности) и степенной функции ($\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$).

$F(x) = \int (3x - 2) \, dx = \int 3x \, dx - \int 2 \, dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

$\int 3x \, dx = 3 \int x^1 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{3}{2}x^2$

$\int 2 \, dx = 2x$

Объединим результаты и добавим константу интегрирования $C$:

$F(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2x + C$

Проверка: $F'(x) = (\frac{3}{2}x^2 - 2x + C)' = \frac{3}{2} \cdot 2x - 2 + 0 = 3x - 2$.

Результат проверки совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2x + C$

в)

Находим первообразную для функции $y = x + 1$, используя те же правила.

$F(x) = \int (x + 1) \, dx = \int x \, dx + \int 1 \, dx$

Применяем правило для степенной функции к первому слагаемому и правило для константы ко второму:

$\int x^1 \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$

$\int 1 \, dx = x$

Суммируем и добавляем константу $C$:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + x + C$

Проверка: $F'(x) = (\frac{x^2}{2} + x + C)' = \frac{1}{2} \cdot 2x + 1 + 0 = x + 1$.

Результат проверки совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + C$

г)

Находим первообразную для функции $y = -x - 4$.

$F(x) = \int (-x - 4) \, dx = \int (-x) \, dx - \int 4 \, dx$

Вычисляем интегралы:

$\int (-x) \, dx = - \int x^1 \, dx = -\frac{x^{1+1}}{1+1} = -\frac{x^2}{2}$

$\int 4 \, dx = 4x$

Собираем все вместе:

$F(x) = -\frac{x^2}{2} - 4x + C$

Проверка: $F'(x) = (-\frac{x^2}{2} - 4x + C)' = -\frac{1}{2} \cdot 2x - 4 + 0 = -x - 4$.

Результат проверки совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^2}{2} - 4x + C$

д)

Находим первообразную для функции $y = 2 - 2x$.

$F(x) = \int (2 - 2x) \, dx = \int 2 \, dx - \int 2x \, dx$

Вычисляем интегралы:

$\int 2 \, dx = 2x$

$\int 2x \, dx = 2 \int x^1 \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \frac{x^2}{2} = x^2$

Объединяем результаты:

$F(x) = 2x - x^2 + C$

Проверка: $F'(x) = (2x - x^2 + C)' = 2 - 2x + 0 = 2 - 2x$.

Результат проверки совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = 2x - x^2 + C$

204. Скорость материальной точки определяется формулой:

а) $v(t) = 3;$

б) $v(t) = 2t;$

в) $v(t) = 2t + 1.$

Задайте формулой закон движения материальной точки $s(t)$, если известно, что $s(0) = 0.$

Закон движения материальной точки $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$, поскольку скорость — это производная от координаты по времени ($v(t) = s'(t)$). Следовательно, чтобы найти $s(t)$, нужно вычислить интеграл от $v(t)$: $s(t) = \int v(t) dt$. Константу интегрирования $C$, которая появляется при вычислении неопределенного интеграла, мы найдем, используя начальное условие, что в момент времени $t=0$ координата точки была равна нулю, то есть $s(0) = 0$.

а) Дана формула скорости $v(t) = 3$.
Найдем закон движения $s(t)$ как первообразную от $v(t)$: $s(t) = \int 3 dt = 3t + C$.
Теперь используем начальное условие $s(0) = 0$ для нахождения константы $C$: $s(0) = 3 \cdot 0 + C = 0$ $0 + C = 0 \implies C = 0$.
Подставив $C=0$ в общее решение, получаем искомый закон движения.
Ответ: $s(t) = 3t$.

б) Дана формула скорости $v(t) = 2t$.
Найдем закон движения $s(t)$ как первообразную от $v(t)$: $s(t) = \int 2t dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C = t^2 + C$.
Теперь используем начальное условие $s(0) = 0$ для нахождения константы $C$: $s(0) = 0^2 + C = 0$ $0 + C = 0 \implies C = 0$.
Подставив $C=0$ в общее решение, получаем искомый закон движения.
Ответ: $s(t) = t^2$.

в) Дана формула скорости $v(t) = 2t + 1$.
Найдем закон движения $s(t)$ как первообразную от $v(t)$: $s(t) = \int (2t + 1) dt = \int 2t dt + \int 1 dt = t^2 + t + C$.
Теперь используем начальное условие $s(0) = 0$ для нахождения константы $C$: $s(0) = 0^2 + 0 + C = 0$ $0 + C = 0 \implies C = 0$.
Подставив $C=0$ в общее решение, получаем искомый закон движения.
Ответ: $s(t) = t^2 + t$.